邏輯斯特模型在社會(huì)學(xué)量化研究中的應(yīng)用

儲(chǔ)慶，羅強(qiáng)強(qiáng)

（1.中央民族大學(xué)民族學(xué)與社會(huì)學(xué)學(xué)院，北京100081；2.安慶師范學(xué)院，安徽安慶246133）

邏輯斯特模型在社會(huì)學(xué)量化研究中的應(yīng)用

儲(chǔ)慶1,2，羅強(qiáng)強(qiáng)1

（1.中央民族大學(xué)民族學(xué)與社會(huì)學(xué)學(xué)院，北京100081；2.安慶師范學(xué)院，安徽安慶246133）

隨著對(duì)社會(huì)科學(xué)研究科學(xué)性要求的不斷提高，越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始使用量化方法進(jìn)行社會(huì)科學(xué)研究。從發(fā)表于國(guó)內(nèi)學(xué)術(shù)雜志的一些量化研究文章來(lái)看，存在著諸多對(duì)量化研究的誤解和一些對(duì)統(tǒng)計(jì)模型使用和解釋上的偏差。文章以社會(huì)科學(xué)研究中最為常用模型—邏輯斯特模型為例，詳細(xì)解析了模型使用前提和參數(shù)意義，避免了科學(xué)方法的誤用。

科學(xué)方法；線性回歸；邏輯斯特；社會(huì)學(xué)

縱觀社會(huì)學(xué)學(xué)科重建30年來(lái)的發(fā)展，可以看出社會(huì)學(xué)研究中的科學(xué)性在不斷加強(qiáng)，尤其是從近七、八年來(lái)發(fā)表在《中國(guó)社會(huì)科學(xué)》、《社會(huì)學(xué)研究》中的社會(huì)學(xué)論文更可以看出這一明顯的趨勢(shì)。雖然很多研究者在實(shí)際研究中使用的一些統(tǒng)計(jì)模型，但是仔細(xì)研讀這些論文，還是會(huì)發(fā)現(xiàn)很多作者對(duì)一些模型的前提假設(shè)并不甚了解，對(duì)一些模型參數(shù)的實(shí)質(zhì)意義與統(tǒng)計(jì)意義的區(qū)分比較模糊，這樣導(dǎo)致一些明顯有誤的解釋。本文將以在社會(huì)學(xué)量化研究中最為常用的模型之一邏輯斯特（Logistic）模型為例，系統(tǒng)分析社會(huì)學(xué)量化研究中模型使用的前提和參數(shù)的實(shí)際意義，避免科學(xué)方法的誤用。

1 線性回歸模型的回顧

1.1 線性回歸模型的基本假定

回歸分析是一種利用兩個(gè)變量或幾個(gè)變量之間的關(guān)系，從而一個(gè)變量（因變量、響應(yīng)變量、結(jié)果變量）能被另一個(gè)或幾個(gè)變量（自變量、解釋變量、預(yù)測(cè)變量）所預(yù)測(cè)。線性回歸就是用一條直線來(lái)擬合一個(gè)變量與另一個(gè)或幾個(gè)變量之間的關(guān)系。線性回歸分析也是對(duì)數(shù)據(jù)的一種簡(jiǎn)化。在線性回歸分析中，研究者利用自變量的一個(gè)線性函數(shù)來(lái)盡可能地預(yù)測(cè)因變量的一批觀測(cè)值。顯而易見(jiàn)，這種預(yù)測(cè)不可能完全準(zhǔn)確。從形式上看，回歸分析將觀測(cè)值分解為兩個(gè)部分[1]：

因變量的實(shí)際觀測(cè)值＝回歸線性方程所解釋的部分＋隨機(jī)部分

回歸線性方程解釋的部分是研究者認(rèn)為自變量與因變量之間存在的結(jié)構(gòu)關(guān)系，隨機(jī)部分包括現(xiàn)有方程中未能包括的其它結(jié)構(gòu)關(guān)系、測(cè)量誤差和“噪音”。對(duì)于個(gè)觀測(cè)值有：

對(duì)于方程(1)來(lái)說(shuō)，xiβ相當(dāng)于回歸線性方程所解釋的部分，亦即研究者假設(shè)的自變量與因變量的結(jié)構(gòu)關(guān)系，εi為隨機(jī)部分。方程(1)是對(duì)所有觀測(cè)值的完全擬合，而研究者的目的在于對(duì)復(fù)雜社會(huì)現(xiàn)象的簡(jiǎn)化，因此方程(1)只有理論意義，而無(wú)實(shí)際意義。

對(duì)于實(shí)際研究來(lái)說(shuō)，不是預(yù)測(cè)具體的個(gè)觀測(cè)值，而是對(duì)一定條件下yi均值的預(yù)測(cè)，即E(y|xi)。為了簡(jiǎn)化模型，必須對(duì)(1)式進(jìn)行一些必要限制。

(1)隨機(jī)部分的期望為零，即E(εi)=0;

(2)隨機(jī)部分的協(xié)方差為零，即Cov(εi,εj)=0,i≠j；

(3)隨機(jī)部分等方差，即Var(εi)=σ2；

(4)隨機(jī)部分服從正態(tài)分布，即εi～N（0，σ2）。

在上述四項(xiàng)假定的情況下，我們可以得到關(guān)于E（y|xi）數(shù)學(xué)方程式：

由于因變量Y是隨機(jī)變量εi的線性函數(shù)，因此對(duì)εi的基本假定均適用于Y，只是Y的均值和方差與εi不一樣而已。

1.2 線性回歸模型的局限

線性回歸模型以其簡(jiǎn)潔性和解釋的方便性，在實(shí)際生產(chǎn)生活中有著廣泛的應(yīng)用。利用線性回歸分析，可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行描述，對(duì)生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行控制和預(yù)測(cè)。在應(yīng)用線性回歸模型時(shí)，研究者應(yīng)對(duì)線性回歸模型的假定條件保持足夠警醒。現(xiàn)實(shí)中的大多時(shí)候研究不能直接應(yīng)用線性回歸模型，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一定的變換。實(shí)際研究中，線性回歸模型的局限性主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面。

(1)模型的基本假定不足

線性回歸模型最為基本的前提條件就是因變量與自變量之間的關(guān)系是線性。這一點(diǎn)在社會(huì)科學(xué)中不一定滿足。比如工作年限對(duì)收入的影響就不是線性，剛工作時(shí)收入會(huì)隨著工作年限的增長(zhǎng)而增加，但到一定工作年限后收入會(huì)隨著年齡的增長(zhǎng)而下降，這是一個(gè)二次曲線關(guān)系。線性回歸模型還假定因變量（也即殘差）之間互相獨(dú)立，且服從同一分布。在實(shí)際社會(huì)現(xiàn)象中，這項(xiàng)假定中的一項(xiàng)或幾項(xiàng)常常不滿足。比如社會(huì)科學(xué)中最為常見(jiàn)的收入變量，顯而易見(jiàn)的是剛開(kāi)始參加工作的時(shí)候人們之間的收入差異比較小，工作一定年限后人們之間的收入差異會(huì)加大——收入作為因變量不符合等方差的假設(shè)。遇到類似不符合線性回歸模型基本假定的時(shí)候，處理的思路有二：一是采用其它模型擬合數(shù)據(jù)；二是通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換，以使其符合線性回歸模型的基本假定。由于線性回歸模型具有的簡(jiǎn)潔性和解釋的便利性，在可能的情況下，研究者都是采用后一種處理策略。比如對(duì)第一種情況，可以在工作年限變量上加上二次項(xiàng)，對(duì)于后一種情況，可以對(duì)收入取對(duì)數(shù)。如設(shè)收入為因變量y，工作年限為自變量x，若直接應(yīng)用線性回歸有：

顯然（3）式不符合線性回歸的基本假定，為使其符合線性假定，作如下變換有：

令y'=1ny,x1=x,x2=x2，則有：

式(5)即是標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸方程。

(2)與社會(huì)現(xiàn)象的實(shí)際狀況不符

所謂與社會(huì)現(xiàn)象的實(shí)際狀況不符常常是與線性回歸模型的基本假定不符聯(lián)系在一起的。這種與社會(huì)現(xiàn)實(shí)狀況的不符，正是社會(huì)科學(xué)研究中廣泛采用Logistic模型的原因之一。由線性回歸方程可以看出，對(duì)因變量Y的取值沒(méi)有任何限制，即Y的取值區(qū)間在[-∞,+∞]。但是，研究者所關(guān)注的一些社會(huì)現(xiàn)象常常是“是”和“否”的問(wèn)題，即0和1變量。比如研究人們的婚姻意愿，研究者關(guān)心的結(jié)果只有兩個(gè)取值：結(jié)婚和不結(jié)婚。在此情況下，若強(qiáng)行應(yīng)用線性回歸模型，有可能使因變量取值超出[0,1]的取值區(qū)間，沒(méi)有實(shí)際意義。面對(duì)這種情況，同樣有兩種方式出來(lái)：一是換模型，二是進(jìn)行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換。社會(huì)學(xué)研究中，最為常用的是進(jìn)行邏輯斯特（Logit）轉(zhuǎn)換。

2 邏輯斯特（Logistic）回歸模型

Logit模型廣泛應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)和生物科學(xué)中，在人口學(xué)和流行病學(xué)研究時(shí)，對(duì)某一因素對(duì)某些結(jié)果的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的評(píng)估中尤其有用。邏輯斯特轉(zhuǎn)換可以解釋為成功對(duì)失敗之發(fā)生比的對(duì)數(shù)，下面將從最簡(jiǎn)單的二分類變量開(kāi)始對(duì)這一模型進(jìn)行探討。

2.1 二分類變量的邏輯斯特回歸模型

2.1.1 Logit轉(zhuǎn)換

在社會(huì)科學(xué)研究中，研究者面對(duì)的因變量很多時(shí)候是分類變量。最常見(jiàn)的分類變量就是二分類變量，又稱（0，1）變量。習(xí)慣上二分類變量的結(jié)果通常被描述為成功或失敗，比如一個(gè)高中畢業(yè)生能否上大學(xué)：上大學(xué)了就是成功，賦值為1，未能上大學(xué)認(rèn)為是失敗，賦值為0。對(duì)于二分類因變量，研究者的目標(biāo)是以一組自變量為條件來(lái)估計(jì)或預(yù)測(cè)成功或失敗的概率。這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為，對(duì)概率p的回歸分析。

由于概率取值區(qū)間是[0,1]，因此直接對(duì)概率進(jìn)行線性回歸肯定不合適。這就要求能通過(guò)某種方式，對(duì)概率p進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使得轉(zhuǎn)換后的一個(gè)關(guān)于概率p的函數(shù)符合線性回歸的基本假定，從而進(jìn)行（廣義）線性回歸分析。Logitic回歸模型就是對(duì)概率p進(jìn)行Logit轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換的公式為：

公式(6)可以看作廣義線性模型框架內(nèi)的一個(gè)鏈接函數(shù)，得到的Logti模型為：

對(duì)(7)式進(jìn)行變換，即可得到概率p:

經(jīng)過(guò)Logit轉(zhuǎn)換后，對(duì)于x和β的所有可能取值，概率p始終在區(qū)間[0,1]內(nèi)。隨著p接近0，Logit(p)趨近于-∞；隨著p接近1，Logit(p)趨近于+∞。使用一般化線性模型理論的術(shù)語(yǔ)，則Logit鏈接使模型在未知參數(shù)上呈現(xiàn)線性形式。

2.1.2 比數(shù)、比數(shù)比和相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)

從一般線性回歸模型的角度來(lái)思考，則得到事件的概率即8式后，似乎研究者的工作已經(jīng)結(jié)束。Logistic回歸模型之所以在社會(huì)科學(xué)得到非常廣泛的應(yīng)用，一個(gè)重要的原因在于logit（p）可以很容易的擴(kuò)展為用來(lái)描述某一群體相對(duì)于另一群體的成功的比數(shù)之比。

⑴比數(shù)

在社會(huì)科學(xué)研究中，研究的興趣可能并不主要在于事件發(fā)生的概率。比如還以前述上大學(xué)為例，研究的目的不在于一個(gè)人上大學(xué)的概率是多少，更令人感興趣的問(wèn)題時(shí)上大學(xué)與不上大學(xué)的兩組人之間比較。上大學(xué)與不上大學(xué)的概率比為pi/(1-pi)，由1.6式可知，這恰好是logit轉(zhuǎn)換。比數(shù)定義為一個(gè)結(jié)果的概率對(duì)另一個(gè)結(jié)果的概率之比，公式為：

⑵比數(shù)比

線性回歸模型的目的是在于用自變量來(lái)預(yù)測(cè)因變臉。線性回歸模型得到極大的采用，就在于回歸系數(shù)解釋的簡(jiǎn)潔性和實(shí)質(zhì)性意義：在保持其它自變量不變的情況下，回歸系數(shù)代表某一自變量增加一個(gè)單位因變量的增加量。Logistic回歸模型中的系數(shù)是否也具有類似的意義呢？

假設(shè)要研究性別與個(gè)人是否上大學(xué)的關(guān)系，Logit模型如下：

p為上大學(xué)的概率，xsex為性別，男性=1，女性=0，βkxk為其它控制變量。

研究者關(guān)注的是男女兩性在上大學(xué)這一事件上是否有差異。分別令xsex=0和1，可以得到關(guān)于男性和女性上大學(xué)的對(duì)數(shù)比數(shù)的線性回歸方程：

為得到男性與女性上大學(xué)的差異，將（12）式減去（11）式，有：

對(duì)(13)式進(jìn)行變換：

ωm/ωf即為比數(shù)比,比數(shù)比具有與線性回歸系數(shù)類似的意義：在保持其它變量不變的情況下，男性上大學(xué)的比數(shù)是女性上大學(xué)的比數(shù)的expβ1倍。

⑶相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)

比數(shù)比是與相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)概念密切聯(lián)系在一起，從理解上來(lái)說(shuō)，相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的概念要比比數(shù)比的概念更為直觀，更容易理解。風(fēng)險(xiǎn)是指在一定時(shí)間間隔內(nèi)（通常稱之為暴露期——explore）的概率。比如，假設(shè)100個(gè)人抽煙的人處在患肺癌的風(fēng)險(xiǎn)之中，觀察10年，發(fā)現(xiàn)有15人得了癌癥，則風(fēng)險(xiǎn)是15/ 100，或0.15。假定要研究抽煙與肺癌之間的關(guān)系，前述觀察的100人均分為兩組，結(jié)果發(fā)現(xiàn)控制組（戒煙）得肺癌的有5人，實(shí)驗(yàn)組（不戒煙）得肺癌的10人，則可以兩組患肺癌的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)為：

若以前述的比數(shù)比的概念構(gòu)造，則為：

事件發(fā)生的概率很小的時(shí)候，即r戒煙→0，r不戒煙→0，比數(shù)比將非常接近于相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)。而在生物統(tǒng)計(jì)學(xué)和流行病學(xué)中的患病研究時(shí)，患病率一般來(lái)說(shuō)都是非常小的，因此比數(shù)比的概念得到了廣泛的應(yīng)用。對(duì)于社會(huì)科學(xué)的研究者來(lái)說(shuō)，弄清楚相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的概念，有益于加深對(duì)比數(shù)比涵義的理解。

2.2 多項(xiàng)邏輯斯特回歸模型

前面討論的只是二分類變量的Logit模型，從思路來(lái)說(shuō)很容易將之?dāng)U展到一般分類變量（分類類別≥3）的情況，需要注意是，當(dāng)涉及到3個(gè)或以上的分類時(shí)，需要考慮這些類別之間是否包含序次信息。

2.2.1 多分類定類變量的Logit回歸模型

假設(shè)因變量分為三個(gè)類別，三個(gè)類別的概率分別記為：p1,p2,p3。與二分類變量略微不同的是，對(duì)于多分類變量，研究者需要先確定一個(gè)參照組。為不失一般性，這里制定第一類別為參照組。則可以建立多項(xiàng)邏輯斯特回歸模型：

系數(shù)的解釋與二分類變量類似，只是此事的比數(shù)比是相對(duì)于參照組的比數(shù)比。

2.2.2 多分類定序變量的Logit回歸模型

當(dāng)分類變量是定序變量時(shí)，當(dāng)然也可以不考慮其包好的次序信息，直接應(yīng)用上述定類變量的Logit回歸模型。考慮變量自身的次序信息后，可以有三中稍微不同的處理方式。

⑴基線Logit模型

基線Logit模型實(shí)質(zhì)與定類的Logit模型一樣，只是在選擇參考類別時(shí)，會(huì)考慮到序次信息，一般選擇最低或最高序次作為參照。

⑵相鄰Logit模型

相鄰Logit模型的基本想法是比較一對(duì)相鄰的類別，一般式可以表達(dá)為：

⑶累積Logit模型

累積Logit模型是用累積概率來(lái)計(jì)算比數(shù)，以某一類別為分界點(diǎn)，計(jì)算其上的概率與其下的概率的比率，一般表達(dá)式為：

3 小結(jié)

以上只是從便于理解和實(shí)際應(yīng)用的角度，對(duì)邏輯斯特模型在社會(huì)學(xué)量化研究中的分析。在分析的過(guò)程中，筆者的分析始終圍繞兩方面來(lái)進(jìn)行。第一，構(gòu)建模型的目的是什么，或者說(shuō)模型的適用范圍是什么？第二，這一模型解決問(wèn)題的基本思路是什么？至于模型背后復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程，則不在本文論述之列。這兩點(diǎn)本質(zhì)上也是對(duì)利用模型進(jìn)行量化研究的研究者的根本要求。研究者只有明了模型前提條件和基本思路，才能在實(shí)際科學(xué)研究中應(yīng)用自如。否則，只能是照貓畫(huà)虎，得出一些令人啼笑皆非的所謂研究發(fā)現(xiàn)。

在終極的分析中，一切知識(shí)都是歷史；在抽象的意義下，一切的科學(xué)都是數(shù)學(xué)；在理性的基礎(chǔ)上，所有的判斷都是統(tǒng)計(jì)學(xué)（C.R.勞，2004:2）。不僅是社會(huì)學(xué)的量化研究，可以說(shuō)所有的科學(xué)研究，在其最為本質(zhì)的意義上都是對(duì)復(fù)雜的社會(huì)現(xiàn)象進(jìn)行簡(jiǎn)化和抽象。因此，在構(gòu)建模型的時(shí)候，不能本末倒置：社會(huì)現(xiàn)象本身是“本”，模型是“末”。換句話說(shuō)就是，模型只是對(duì)現(xiàn)有觀測(cè)數(shù)據(jù)的一種擬合——即使模型對(duì)數(shù)據(jù)完全擬合，也可能該模型是對(duì)現(xiàn)象本身的歪曲。

[1][美]丹尼爾·A.鮑威斯（Daniel A.Powers）,謝宇[M].分類數(shù)據(jù)分析的統(tǒng)計(jì)方法，2009.

[2]郭志剛主編.社會(huì)統(tǒng)計(jì)分析方法——SPSS軟件應(yīng)用[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，1999.

[3]王濟(jì)川，郭志剛.Logistic回歸模型：方法與應(yīng)用[M].北京：高等教育出版社，2001.

[4][美]C.R.勞.統(tǒng)計(jì)與真理——怎樣運(yùn)用偶然性[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

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（責(zé)任編輯/浩天）

C91

A

1002－6487（2011）05－0023-03

教育部人文社會(huì)科學(xué)研究資助項(xiàng)目（09YJC850006）

儲(chǔ)慶（1981－），男，安徽岳西人，博士生，研究方向：社會(huì)學(xué)理論與方法。

羅強(qiáng)強(qiáng)（1981-），男，寧夏西吉人，博士生，研究方向：環(huán)境社會(huì)學(xué)。