四階常微分算子特征值的重數相等

林運春

（1．內蒙古工業大學 理學院，內蒙古 呼和浩特 010051;2．肇慶學院 計算機學院，廣東 肇慶 526061）

四階常微分算子特征值的重數相等

林運春1，2

（1．內蒙古工業大學 理學院，內蒙古 呼和浩特 010051;2．肇慶學院 計算機學院，廣東 肇慶 526061）

借助解析重數和幾何重數的基本定義及邊界條件的幾何結構，證明了自伴的四階常微分算子特征值的解析重數與幾何重數是相等的,該結論是對常型Sturm-Liouville問題相關結果的推廣．

四階常微分算子；自伴邊條件；解析重數；幾何重數

常型的Sturm-Liouville問題是一個經典問題，對其特征值解析重數和幾何重數關系的研究，已經有很多非常好的結論和方法．文獻[1]證明了在分離型自伴邊界條件下，特征值的解析重數和幾何重數相等;文獻[2]證明了在混合自伴邊界條件下，特征值的解析重數和幾何重數相等．遺憾的是文獻[1]的方法不能推廣到四階常微分算子上來．文獻[3]利用邊界條件空間的幾何結構，對常型Sturm-Liouville算子的重數問題給了一個巧妙的證明．更重要的是，這個方法可以推廣到四階常微分算子上來．本文中，筆者利用文獻[3]中的方法，證明了四階自伴常微分算子特征值的解析重數與幾何重數相等．

考慮四階常微分方程

在邊界條件

下形成的邊值問題．其中

λ∈C叫做譜參數．對于一個區間J?R,Lloc((a,b),R)表示在區間J上所有的緊子區間上都Lebesgue可積的實值函數構成的空間．區間端點a,b均為正則點;否則，可假定奇異端點a和b都是極限圓形，即對某個（所有）λ∈C，式(1)所有的解都屬于加權Hilbert空間Lω2((a,b),C)，ω是權函數．

本文中，筆者研究的是該邊值問題在邊界條件(2)自伴的情況下特征值重數的關系．

1 預備知識

對于任意的m,n∈N，用Mm,n(C)表示m×n型復矩陣組成的矢量空間，(C)是Mm,n(C)中最大秩為

其中:A(apq→apq＋s)表示在邊界條件A中以apq＋s代替apq．通常把這12條曲線都記為B(s)．都有B(0)＝A．設Λ是通過λ*的連續特征值分支，因為λ*的幾何重數為1，由引理3，Λ(B(s))在s＝0處可微．下面證明Δ′(λ*)≠0．

對上述12條曲線，邊界條件B(s)對應的特征記為ΔB(s)，則ΔB(s)(Λ(B(s)))＝0,等式兩邊在s＝0處對s求微分，利用鏈式法則得

1)1≤p≤2,3≤q≤4．

當p＝1,q＝4和p＝2,q＝3時，

本文在導師王忠教授的悉心指導下完成，筆者在此表示感謝．

[1] EASTHAME M,KONG Q,WU Hongyou,et al.Inequalities among eigenvalues of Sturm-Liouville problems[J].JInequal Appl,1999(3):25-43.

[2] KONG Q,WU Hongyou,ZETTL A.Geometric aspects of Sturm-Liouville problem I.Structures on spaces of boundary conditions[J].ProcRoySocEdinburgh SectA,2000,130:561-589.

[3] WANG Zong,WU Hongyou.Equality of multiplicities of a Sturm-Liouville eigenvalue[J].JMath Anal Appl,2005,306:540-547.

[4] CAO Xifang,WU Hongyou.Geometric aspects of High-order eigenvalue problems I.Structures on spaces of boundary conditions[J].IJMMS,2004,13:647-678.

[5] 曹之江.常微分算子[M].上海:上?？茖W技術出版社,1987:29-32.

Equality of Multiplicities of a 4-Order Ordinary Differential Operator Eigenvalue

LIN Yunchun1，2

(1.College of Science,Inner Mongolia University of Technology,Hohhot,Inner Mongolia 010051,China;2.School of Computer Science,Zhaoqing University,Zhaoqing,Guangdong 526061,China)

By virtue of analytic and geometric multiplicities'basic definition and the geometric structure on the space of boundary conditions,the equality between analytic and geometric multiplicities of an adjoint forth-order ordinary differential operator are proved,which is an analogue to the case of the regular Sturm-Liouville problem.

forth-order ordinary differential operator;self-adjoint boundary conditions;analytic multiplicities;geometric multiplicities

O175．9

A

1009－8445（2011）02－0008－07

（責任編輯：陳 靜）

2010－10－15

肖漢敏(1980－),男,廣東興寧人,肇慶學院電子信息與機電工程學院講師,博士．