直接驅動XY平臺零相位誤差跟蹤新型交叉耦合控制*

趙希梅 郭慶鼎 翟惠萍

(沈陽工業大學電氣工程學院，遼寧沈陽 110870)

隨著復雜型面零件加工質量要求的不斷提高，輪廓加工精度已成為其重要的精度指標。XY平臺系統的輪廓誤差是由輪廓運動所涉及的X、Y兩軸的位置誤差共同決定。在直線電動機直接驅動XY平臺的系統中，參數不確定性、進給系統的機電延遲以及兩軸驅動系統參數不匹配等因素對XY平臺的輪廓加工精度產生重要的影響。

傳統多軸控制器的控制方法，是采取各軸獨立控制方式。對于輪廓誤差的改善是增加位置跟蹤控制的精度，降低跟蹤誤差，進而間接地降低路徑誤差。此種控制方式除了PID控制外，有前饋控制、預見控制和零相位誤差跟蹤控制等。Masory提出速度前饋控制以改善跟蹤誤差，加入前饋控制補償，只補償被控系統的傳遞函數，使輸入與輸出的傳遞函數之積為1，但由于相位的前移而使系統頻寬增大，且可讓位置跟蹤誤差減小，以補償參數不一致所造成的影響。Tomizuka提出零相位誤差跟蹤控制法則，使得理論上跟蹤誤差為零。而以上的方法均需了解各軸的參數，才能設計最佳的控制器。由于各軸的參數不一致，且系統模式經常是非線性時變的，因而不易準確測出系統的參數。而又有負載干擾對系統的影響，使得前饋控制等方法的魯棒性較差，無法有效地改善系統的跟蹤誤差。

為提高XY平臺系統的輪廓精度，許多研究方法側重于設計良好的反饋控制器以減小單軸的跟蹤誤差，進而減小整個系統的輪廓誤差，但這種方法對提高輪廓精度并不總是有效的。Koren首先提出了交叉耦合控制器(cross－coupled controller——CCC)以直接減小輪廓誤差的思想，其方法是將整個多軸運動系統看成是一個單一系統而含多個變數，借由各軸間彼此的影響來相互補償，使響應快的軸減慢，響應慢的軸加快，增加兩軸的匹配程度，進而減小其路徑誤差。文獻［4－5］設計了CCC以提高多軸數控機床的輪廓精度。已有的研究表明，傳統交叉耦合控制系統較之常規的非耦合控制系統有更好的輪廓精度，但傳統交叉耦合控制器不足之處在于對任意曲線軌跡輪廓誤差系數的計算量較大，控制器設計復雜。

本文采用永磁同步直線電動機(PMLSM)直接驅動XY平臺，利用零相位誤差跟蹤控制與新型交叉耦合控制相結合的策略對兩軸的運動進行協調控制，實現跟蹤精度與輪廓精度的同時提高。在單軸控制回路中引入ZPETC以補償伺服系統的滯后效應，提高系統的跟蹤精度。新型交叉耦合控制器作用于兩軸之間，將輪廓誤差作為直接被控目標，根據各軸的反饋信息，進行實時補償控制，可有效提高輪廓精度。

1 XY平臺的輪廓誤差分析

考慮XY平面的圓弧跟蹤，由兩臺PMLSM直接驅動軸向相互垂直的XY兩軸進行平面運動，以完成精密軌跡運動。

Pref為軌跡上的參考位置，P為刀具實際位置，要求P到軌跡上P'的距離最小，而以來近似圓弧的輪廓誤差。圖1為其相關幾何關系圖，ε為輪廓誤差，e為跟蹤誤差，εx、εy分別為輪廓誤差在X軸和Y軸上的分量，ex、ey分別為跟蹤誤差在X軸和Y軸上的分量。

輪廓誤差ε為

目的是希望實際加工位置能達到參考位置，所以除了補償各軸的跟蹤誤差ex、ey外，必須另外補償［－εx– εy］T的向量，－ εx和 － εy的大小為

使得實際加工點達到參考指令點，以使得合成軌跡趨近于預設的輪廓。

2 XY平臺系統設計

基于ZPETC和新型交叉耦合控制的系統框圖如圖2所示，Xd和Yd、Xa和Ya分別表示各軸的位置輸入和輸出，εx和 εy為X、Y軸的擾動項，Ⅰ、Ⅱ表示X、Y軸的零相位跟蹤控制器，Ⅲ表示新型交叉耦合控制器。

2.1 零相位誤差跟蹤控制(ZPETC)

XY平臺驅動系統在跟蹤控制時，由于存在著電磁慣性和機械慣性使輸出響應和輸入指令之間存在滯后現象，兩信號間存在著較大的相位誤差。為補償時間延時對系統跟蹤精度的影響，采用Tomizuka提出的零相位誤差跟蹤控制(ZPETC)［7］，它是一種結合零、極點對消和相位對消，能在較大的帶寬范圍內對閉環動態系統進行逆處理的前饋控制［8］。

下面將針對包含不可對消零點的系統來設計ZPETC。考慮如下離散閉環傳遞函數

所設計的ZPETC如圖3及式(6)所示。

所以由y*(k)到y(k)的傳遞函數為

當z=ejωT時，輸入指令與輸出響應之間不存在相位差，可達到零相位跟蹤控制。當ω→0時，z→1，所以系統在甚低頻時有y(k)→y*(k)。上式的相位差在整個頻域內趨近于零，在一定頻帶內其幅值接近1。

2.2 新型交叉耦合控制

傳統軌跡跟蹤控制方法為將各軸的控制器分開設計，而且軸與軸之間各自獨立控制，彼此之間不互相影響，由于軸與軸之間動態特性的不同，且系統模型通常呈現時變現象，因此無法滿足輪廓誤差對精度的要求。因此本文研究交叉耦合控制系統，利用直角坐標平面軌跡圖，由幾何關系推導出必須額外補償的控制量，借助這種補償方式人為地使各軸之間產生互相影響，使響應快的軸變慢，響應慢的軸變快。

2.2.1 傳統交叉耦合控制

圖4為交叉耦合控制結構框圖，其中eq(1)和eq(2)即為上述的式(2)和(3)。

由圖4可以明顯得知除了各軸的跟蹤誤差外，中間的交叉耦合控制器計算出輪廓誤差的X軸與Y軸分量 εx、εy，分別乘以交叉耦合控制器增益Gx、Gy后，再補償到X軸與Y軸上，至于交叉耦合控制器的增益Gx、Gy調整法則，目前并沒有一定的規則可循，只知道和規劃路徑存在一定的關系，因此一般使用常數增益來調整:

其中:Kcx、Kcy為各軸PID參數中的Kp值;W為一常數定值。另外也有利用PID控制器取代Gx、Gy的一般常數增益，并使用試湊法求得最小輪廓誤差的PID參數。

2.2.2 新型交叉耦合控制

新型交叉耦合控制結構框圖如圖2中虛框Ⅲ所示。根據交叉耦合原理，除了各軸的跟蹤誤差ex、ey外，必須另外補償［εxεy］T的向量使得合成向量接近于預設路徑與參考指令點。參考Koren提出交叉耦合控制結構，另外補償的值為經過一常數增益，加上單軸控制回路運算完的值，再輸出命令給電動機，即使以PID控制器取代常數增益值，依然必須針對不同條件作PID參數的修正。

然而從直觀上看，可以讓輪廓誤差補償值先和跟蹤誤差作運算，再經由PID控制器處理。因此本文在補償運算上作部分修改，讓補償值εx和跟蹤誤差ex先作加減運算，其中因為跟蹤誤差和輪廓誤差補償值非為同等地位參數，因此輪廓誤差補償值需先乘一權重常數，才得以和跟蹤誤差作運算，之后再經PID控制器處理，然后輸出給電動機。

在傳統PID交叉耦合控制結構中，控制器設計方法為利用自動調整求得X、Y軸上的PID參數，再依實驗數據做稍微修正，然后再利用試湊法求取交叉耦合控制器參數。本文中將交叉耦合運算位置稍微變動后，就可以比原來結構更容易設計控制器參數，且得到更好的效果。

交叉耦合控制器(Kc)的設計，一般而言為一大于0的常數，理論上隨著Kc值增大，輪廓誤差將逐漸減小至0;實際上Kc會有一極限值，當Kc大于極限值時，會發生實際軌跡在參考軌跡左右快速震蕩，并造成機械臺振動。因此當一般常數Kc無法達到要求的精度時，可以將Kc設計為一時變參數，使Kc與輪廓誤差成正比，借以進一步修正輪廓誤差。這里所謂時變參數方法為先求出非耦合時的輪廓誤差曲線，利用Curvefitting求得時間和誤差的曲線方程式，再將方程式放到Kc的位置，取代成為時變的參數。

3 仿真結果及分析

為了驗證所提出的控制方法的有效性，進行了圓弧輪廓控制的仿真和實驗研究，采用兩臺參數相同的PMLSM作為XY平臺的驅動部件進行研究。電動機參數為Mn=11.0 kg，B=8 N·s/m，Kf=29 N/A，圓弧軌跡跟蹤條件為:進給速率200 mm/s，角速度為2π，圓弧角度為180°。Kp=13.96，KI=232.69，KD=0.21，Kc=0.3。圖5、圖6分別為PID+CCC、ZPETC+CCC和ZPETC+新型CCC三種情況下的圓弧輪廓誤差仿真和實驗曲線。其中，曲線a表示在PID+CCC條件下的輪廓誤差;曲線b表示在ZPETC+CCC條件下的輪廓誤差;曲線c表示在ZPETC+新型CCC條件下的輪廓誤差。從仿真和實驗結果可以明顯地看出，在相同的條件下，采用ZPETC+新型CCC的控制策略最佳，能提高系統的跟蹤性能，并能消除各坐標軸間參數不匹配的影響，能十分有效地減小輪廓誤差。從仿真曲線看輪廓誤差達到170 μm左右，實驗曲線看輪廓誤差達到230 μm左右，得到很好的效果。

4 結語

基于ZPETC與新型CCC相結合的控制策略有效地削弱機械系統的時間延遲效應、負載擾動以及兩軸驅動系統參數不匹配等因素對直線電動機直接驅動XY平臺輪廓加工精度的影響。ZPETC實現了快速準確跟蹤;新型CCC作用于兩軸之間，將輪廓誤差作為直接被控量進行實時補償控制，解決了兩軸驅動系統參數不匹配問題，有效地提高了輪廓精度并簡化了控制器設計。此控制方案在保證系統跟蹤性和魯棒性的同時大幅度減小了系統輪廓誤差。仿真和實驗結果表明了此方案是有效的。

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