一種比例尺蒙特卡羅濾波算法＊

趙 新，寧小磊，梁 興

（中國華陰兵器試驗中心，陜西華陰 714200）

0 引言

隨著計算機技術的發展，一種基于Monte Carlo方法的粒子濾波器［1－13］（particle filter，PF）為解決非線性非高斯濾波問題提供了新途徑，其基本思想是用一組帶有權值的粒子集表示解決問題時需要的后驗概率密度，然后用這一近似的表示來計算系統的狀態估計［3］。然而，在粒子濾波器的設計過程中，普遍存在計算量較大和粒子退化等問題，限制了其在工程領域中的實際應用。常用的解決退化問題的方法有重采樣和適當選取建議分布。重采樣雖然在一定程度上可以解決粒子退化問題，但卻因此帶來了粒子枯竭的問題。為此，文中提出了一種新的比例尺粒子濾波算法（scale particle filter，SPF）。該算法按粒子重要性權值將粒子集劃分成好（重要性權值大）粒子群和較差（重要性權值?。┝Ｗ尤?，然后對好粒子和差粒子求取比例尺加權值，從而生成一些備選粒子，并通過重要性權值的優選實現重采樣后粒子集多樣性的增加。

1 基本粒子濾波器算法及其缺陷

設非高斯、非線性隨機狀態空間模型為［5－9］：

式中：xk和zk分別是k時刻的系統狀態變量和量測值；映射分別是系統狀態轉移模型函數和量測模型函數；ωk和vk分別是過程噪聲和觀測噪聲。狀態估計問題描述可歸結為利用所有可能得到的觀測序列遞歸的估計當前時刻狀態xk的后驗概率分布由于包括序貫估計的完全信息，進而可得到系統狀態估計所需參數如均值、方差等信息。）一般由下列方法可以得到：

然而，式（2）～式（4）所示Bayes遞推過程中的積分一般不可積。粒子濾波通過采用Monte Carlo采樣技術實現了上述積分運算，具體過程可描述為以下兩個階段：

1中隨機抽取的樣本。

圖1給出了基本粒子濾波器算法的迭代過程。

圖1 基本粒子濾波器方法

建議分布的選取是設計粒子濾波的關鍵技術之一，它對濾波算法效率的影響是明顯的，尤其關系到粒子權值的退化速度。Doucet［13］等給出了一個最優的建議分布它能使粒子權重的方差為0，但遺憾的是一般從中抽樣是困難的。在實際應用中，建議分布通常選取為先驗狀態轉移概率的形式，它使粒子的采樣和權值的遞推計算容易實現，但沒有引入系統最近觀測信息，具有一定的盲目性，容易引起粒子退化，使得重要性采樣后粒子重要性權值方差加大，多數粒子的權值趨于0，只有少數粒子的權值趨于1。這就浪費了有限的計算資源，降低了系統狀態的推理精度?？朔嘶瘑栴}的一個有效方法是在權重規格化處理后，根據權重進行重采樣。重采樣過程將權重高的粒子復制多份，權重微小的粒子則被刪除，粒子被復制的概率與權重成正比，從而把計算資源按照粒子權值進行分配。但重采樣容易引起粒子多樣性的喪失，使大量粒子成為權值較大粒子的子代，極大減少了參與估計的支撐集樣本，引起粒子枯竭現象，降低了濾波效果。

2 比例尺粒子濾波器算法

樣本集“多樣性”變差會導致粒子濾波出現退化現象，以下給出一種改善樣本集多樣性的策略，使好樣本被保留參與狀態估計，以提高粒子濾波的估計與跟蹤能力。

2.1 算法思想

比例尺粒子濾波算法的基本思路是：在重要性抽樣后，將粒子集按權值遞增的順序進行排序；然后，選擇一些權值較大的粒子作為榜樣群，剩余的粒子作為候選粒子；接著，對榜樣群和候選群中的粒子序貫求取以初始設置的比例尺為參數的加權值，生成一些候選粒子；最后，依據粒子重要性權值對重要性抽樣生成的候選粒子和比例尺加權生成的粒子實現粒子優選。優選法則為：重要性權值大者，優選晉級；重要性權值小者，優選失敗，給以淘汰。

2.2 算法步驟

比例尺粒子濾波算法描述如下：

步驟2重要性采樣。當k≥1時：

3）按粒子重要性權值將粒子集劃分為好粒子集和較差粒子集

其中：xk′為好粒子群；N′為好粒子的個數；xk″為較差粒子群；N″為較差粒子的個數。它們的確定方法可以初始設置時給以確定，也可以根據粒子退化情況動態自適應的確定。

4）比例尺加權求取備選粒子

方法是從好粒子群選擇一個最好的粒子，然后序貫的從較差粒子群中抽取粒子按下式以生成備選粒子：

5）計算粒子權值

6）歸一化權值

7）優選粒子

步驟4結果輸出。按下式對結果進行估計：

其中：δ（）·為在xik的狄拉克delta函數。

步驟5令k＝k＋1，返回步驟2。

2.3 算法分析

1）算法有效性分析。比例尺粒子濾波算法在重要性抽樣之后，通過初始設置比例參數，對重要性采樣粒子集某些粒子求取加權值，生成一些備選粒子，并通過重要性權值的度量，實現了粒子的優選，使較好的粒子參與狀態估計，從而緩解了粒子退化對濾波結果的影響。同時，這些備選粒子包括了粒子集中的好粒子和較差粒子信息，充分利用了粒子濾波的信息，所以能夠最大限度的改進粒子濾波性能。

2）算法復雜度分析。比例尺粒子濾波算法，僅在重要性抽樣之后對某些粒子實行比例加權計算，其計算量相對于基本粒子濾波算法僅增加了（）O N″，可見，這種改進策略基本上不增加算法的復雜度。此外，如果基本粒子濾波器沒有出現粒子退化現象，可以避過比例尺加權計算步驟，進一步降低運算量。當然，此時運行此步可以提高算法精度。

3）算法實用性分析。比例尺粒子濾波算法原理簡單，工程實現方便，但卻能有效緩解粒子退化現象對粒子濾波造成的不良影響，因此，很有前景。同時，根據粒子濾波的具體情況，可以一直運行，亦可以根據需要間斷運行；此外，比例尺加權系數和參與計算的粒子數也可以根據具體情況自適應的調整。所有這些都反映了比例尺粒子濾波算法的優勢，使其更具有工程應用前景。

3 數字仿真

文中使用一個廣泛使用的非線性模型檢驗比例尺粒子濾波算法的有效性。該模型運動模型和觀測模型為［8］：

一般用均方根誤差（RMSE）來度量粒子濾波算法的誤差，單次運行的RMSE按式（14）計算：

多次獨立實驗時，采用RMSE的均值對濾波結果進行度量，即：

其中：M為濾波迭代步數；Tf為Monte Carlo仿真次數；xk為第k步的狀態真值；＾xk為第k步的狀態估計。

圖2 不同非線性濾波算法產生的狀態估計曲線

圖3 不同非線性濾波算法產生的RMSE隨仿真次數的變化曲線

圖2給出了不同粒子濾波器進行一次獨立實驗所產生的狀態估計結果，可以看出，SPF所估計的狀態能較好的與真實狀態吻合，這說明該算法是有效的。

圖3給出了經過100次獨立實驗、不同非線性濾波算法狀態估計的RMSE隨粒子數變化的柱狀圖，可以非常明顯地看出：比例尺粒子濾波算法的估計精度優于EKF和基本粒子濾波算法，且濾波器比較穩定。其中，EKF100次估計的，其方差為149.9207；基本粒子濾波算法100次估計的，其方差為0.9359；比例尺粒子濾波算法100次估計的，其方差為0.1808。

4 結束語

粒子濾波器在解決非線性非高斯濾波問題方面具有明顯的優勢，目前已吸引眾多學者進行研究。文中針對粒子濾波的退化和枯竭問題，提出一種新型粒子濾波器——比例尺粒子濾波算法（SPF），該算法通過比例尺加權策略為粒子濾波生成一些備選粒子，并使用重要性權值對其進行了優選，從而得到更好的支持粒子集參與狀態估計。仿真結果表明，比例尺粒子濾波在濾波精度和算法穩定性上均優于基本粒子濾波。

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