齊次線性方程組基礎解系的求法

韓新社

（武漢船舶職業技術學院公共課部，湖北武漢 430050）

1 引言

線性方程組是線性代數課程中一項重要內容，齊次線性方程組的基礎解系，不僅對解方程本身是不可缺少的，且它在其它方面，特別是在矩陣的秩方面也有廣泛的應用。對學生而言，矩陣的秩是一個難點。對于一個初學者來說，判斷方程組是否有非零解是沒問題的，但是想能正確而又快速的找到它的基礎解系卻并不容易。針對這個問題，我們下面給出求基礎解系的一個簡單方法，以及尋找過程中的注意事項。

齊次線性方程組是指

其矩陣形式為AX＝0

其中A＝（aij）mxn為方程組（1）的系數矩陣，X＝（x1，x2，…xn）T。

我們知道，求齊次線性方程組的基礎解系通常都是先對系數矩陣A進行初等行變換化成行簡化階梯形矩陣，看方程組是否有無窮多個解。若有，寫出方程組（1）的含有n—r（r＝秩 A）個自由未知量的一般解，然后通過給自由未知量賦值得到方程組（1）的n—r個線性無關的解向量，即為方程組（1）的一個基礎解系。

本文利用矩陣的初等行變換給出了求齊次線性方程組基礎解系的一種比較簡便實用方法，使基礎解系隱含在一個矩陣之中。

2 主要結論

定義l若矩陣C滿足下列兩個條件

1）C的非零行全在C的上方，零行全在C的下方；

2）非零行的第一個非零元素（稱為首非零元）的列標隨行標的增大而嚴格增大；則稱C為階梯形矩陣。

定義2設D為階梯形矩陣，若矩陣D滿足下列兩個條件

1）D的非零行的首非零元均為1；

2）首非零元所在列的其余元素均為零；則稱矩陣D為行簡化階梯形矩陣。

引理l［1］［2］［3］設 A是 mxn矩陣，若矩陣A經若干次初等行變換化為矩陣B，則存在m階可逆矩陣P，使得

定理1設A是方程組（1）的系數矩陣，且秩A＝r，若

其中Cr，m為階梯型矩陣，且秩C＝r。則Dn－r，n中的n－r個行向量α1，α2…，αn－r就是方程組（1）的一個基礎解系。

證明 由引理1，存在n階可逆矩陣P，使得

因為 P可逆，由（4）式知 Dn－r，n是行滿秩矩陣，即Dn－r，n的行向量αi（i＝1，2，…，n－r）線性無關。將（4）式代入（3）式得

由（7）式知（Dn－r，n）T的列向量，即Dn－r，n的行向量αi（i＝1，2，…，n－r）就是方程組（1）的解向量。

因為Dn－r，n的行向量αi（i＝1，2，…，n－r）線性無關，所以α1，α2，…，αn－r就是方程組（1）的一個基礎解系。

3 應用舉例

例1求齊次方程組

的一個基礎解系。

解法1（用文獻［1］－［3］的方法）

先對方程組的系數矩陣進行初等行變換，將其化為行簡化階梯形矩陣：

則原方程組與下面的方程組同解

由定理1，秩 A＝2。則Dn－r，n中的n－r＝2個行向量α1，α2就是方程組（1）的一個基礎解系：

在上述兩種解法中，顯然解法2更為簡潔。

1 北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組編.高等代數［M］.高等教育出版社，2004：140－147。

2 張禾瑞，郝炳新.高等代數（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，1999：255－261，194－195。

3 劉仲奎，楊永保.高等代數［M］.北京：高等教育出版社，2003：272－277，79－80。

4 劉樹利等.計算機數學基礎［M］.北京：高等教育出版社.2000：85－90。

5 陳建莉.線性方程組解法新探［J］.紡織高校基礎科學學報，2008，21（2）：238－241。