基于區制轉移模型的中國短期利率動態行為研究

蔣祥林，李一凡

(復旦大學 金融研究院，上海 200433）

0 引言

短期利率動態行為對固定收益證券和利率衍生品的定價起著十分重要的作用，了解短期利率的動態有助于金融產品價格發現和利率風險管理。在實際經濟運行中，我國短期利率發生了顯著的結構性變化，利率波動性發生了明顯的分界。因此，有必要將這種結構性變化考慮到短期利率變動中。國內現有的區制轉移利率模型的實證研究中，大多采用了月度或周數據。但從固定收益債券及衍生產品的定價、風險測度等運用上看，我們更需要了解短期利率的日波動特征。因此，本文的實證研究中采用了銀行間7天同業拆借市場每天的收盤利率。

本文主要采用區制轉移的單因素擴散模型分析我國短期利率動態特征。首先將區制轉移引入到單因素模型的漂移項和波動項部分中，可以捕捉短期利率的結構轉移特征。然后，為估計利率水平和馬爾科夫轉移的聯合動態模型，采用A?t-Sahalia的方法給出了轉移密度函數近似的封閉函數表達式，并在此基礎上利用漢密爾頓算法得出對數似然函數。最后，運用短期利率的四種模型對我國銀行間短期拆借利率進行實證分析，考察不同數目區制約束下短期利率模型選擇，考察利率波動區制轉移特征，以及考察宏觀經濟與波動高持續性之間的內在關系。

1 短期利率模型

1.1 單因素擴散模型

本文采用的短期利率模型是CKLS單因素擴散模型

其中α0和α1是刻畫利率變化條件均值參數，β為利率波動，ρ度量利率波動對利率水平的敏感度，即為彈性參數。如果ρ≠0，則波動存在水平效應。模型（1）表明利率變化具有（α0+α1rt）的漂移率和β的擴散率。可以看出短

其中，密度參數qij表示，當時間趨于0并且qij＞0條件下，馬爾科夫過程從狀態i轉移到狀態j的概率速率。相應的時間間隔Δ內，轉移概率矩陣為：期利率變化的條件均值和方差都依賴于利率水平。模型表明利率的長期均值為-α0/α1，并且向長期均值回歸的速度由α1表示，α1值越大，均值回歸速度就越快。

1.2 含區制轉移的單因素擴散模型

本文在利率的CLKS隨機過程基礎上引入一個區制狀態變量，模型變化為：

其中，區制狀態變量用st表示，它服從連續時間2狀態一階馬爾科夫鏈過程，并假設用low（L）和high（H）表示短期利率的低波動和高波動的2種不同的區制狀態。那么，短期利率在任何時刻可能處在低波動區制或高波動區制。

區制轉移模型使得短期利率變化的漂移項和擴散項的均是狀態依賴的，其主要特點就是允許利率在不同區制狀態具有不同的條件均值和方差。

1.3 馬爾科夫鏈轉移概率矩陣

驅動2狀態的區制狀態變量st馬爾科夫鏈過程的轉移概率密度矩陣用表示如下：

轉移概率pij=P(st=j|st-1=i),i,j=L,H。馬爾科夫鏈的穩態概率密度：

本文假設轉移概率隨時間變化并且參數化為以下形式：

根據經驗，累計正態分布函數和Logistic函數，exp(x)/[1+exp(x)]都可以用來表示轉移概率。如果di為正（負），那么在下一期隨著短期利率的增大，經濟停留在相同狀態i下的概率增大（減少）。當dL=dH=0時，轉移矩陣就退化為時間不變的轉移概率矩陣。

2 極大似然估計方法

2.1 轉移密度函數

本文采用A?t-Sahalia(2002)的方法將未知函數形式的真實的轉移密度函數轉化為近似的封閉形式的函數表達式。

在每種區制狀態下，短期利率的動態行為服從模型（1）。在這一部分，將忽略區制狀態st，先得到轉移密度函數p(rt+Δ|rt,st)的近似封閉式函數形式，該封閉函數將用于下面一部分似然函數的構造。

首先，將短期利率rt過程用下面的等式轉化為單位擴散過程Yt：

其次，采用Ito’s引理得到單位擴散過程Yt：

最后，將單位擴散過程Yt變換成轉移密度函數近似標準正態分布的擴散過程Zt，那么就可以對pz進行Hermite擴展，如下：

其中，φ(z)為標準正態密度函數。Hermite多項式是正

條件期望可以使用無窮小操作因子AY進行泰勒展開：

因此，對于無限可導函數f，有：

利用上面的公式，py可以用下面表達式近似：

可根據時間間隔Δ的冪級數排列重新改寫（8）式，得到近似密度函數PY的第K階擴展表達式為：

實際上，大多數情況下K=1或2就能得到非常精確的密度函數。本文采用K=1，根據ρ的取值不同，可以得到不同的Yt：

根據Ito’s引理得到單位擴散過程Yt,在（10）中的任何情況都有(Yt;θ)=1，但是uY(Yt;σ)可根據（6）式的到不同的表達式。利用等式（9），轉移密度函數在（10）中的任何情況下都能得到。只要得到轉移密度函數，通過變量變換就可以得到r的轉移密度函數：

漢密爾頓算法

利用貝葉斯公式，樣本的對數似然函數表達式為：

rt是在時刻{t=iΔ|i=0,1,…,n}的短期利率的觀察值。首先根據（Hamilton 1994）的作法定義一個新的狀態變量，如下：

那么s*t就是4狀態連續時間馬爾科夫鏈，有轉移矩陣：

rt和的聯合分布密度函數為：

2.3 平滑概率

根據極大似然估計的結果，得不到每一時刻經濟將處于何種狀態，本文采用平滑概率來推斷在任意時刻t,經濟處于高波動（H）還是低波動（L）的狀態。且平滑概率為：

其中IT代表全部信息集。

3 我國短期利率的實證分析

3.1 數據來源以及估計模型

3.2 實證結果

表1給出了上訴四個模型各參數的極大似然估計值及其標準誤差。從表1可以看出，模型1各參數估計值在5%水平上都很顯著，其它三個模型參數估計值在5%水平下大部分是顯著的。從模型2、3、4參數估計結果可以看出，兩種區制下均值回歸表現出顯著非對稱性。因為低波動區制狀態下，參數α0和α1在5%水平下不顯著的，因此在低波動區制時利率表現為未含趨勢的隨機游動過程，而在高波動區制狀態利率表現均值回歸行為。對于彈性參數ρ，可以發現在不同區制下均不為零，說明波動存在水平效應。

從表1可以看出，從單一區制狀態模型（模型1）到具有二種區制狀態模型（模型2、3、4），對數似然值顯著增大。與模型1相比較，模型2、模型3和模型4的似然比統計量（LRT）分別為368.38、377.61和377.714，三個似然比統計量分別服從χ2(6)、χ2(8)和χ2(8)，0.5%的置信水平下，χ2(6)和χ2(8)的臨界值分別為18.55和21.95。因此，根據似然比LR檢驗，拒絕只有一種區制的原假設。說明短期利率的動態行為具有二種區制。從模型2到模型3和模型4，服從χ2(2)對數似然比（LRT）統計量對應的p值分別為0.0099和0.0094。因此在1%的水平下，拒絕常數轉移概率的假設，說明馬爾科夫轉移概率是時變的。模型3和模型4的對數似然值幾乎相等，表明時變的轉移概率無論是使用Logistic函數還是使用標準正態累計分布函數，對于模型的擬合效果沒有影響。從表1可以看出，模型3和4中的馬爾科夫轉移概率的參數（c、d），dL在通常的顯著性水平均顯著不為零，dH在5%顯著性水平下均顯著為零，說明了轉移概率在底波動區制狀態下時時變的，而在高區制狀態下是常數，并且dL＞0。因此馬爾科夫轉移概率隨著利率水平的增大（減少），下一期停留在低波動區制狀態的概率將增大（減少）。

注：表中各參數估計值均是用matlab軟件得出。小括號里的數值為相應參數估計值的標準誤差，星號（*）表示對應參數估計值在5%水平下顯著。

圖1、圖2和圖3分別為7天同業拆借利率水平圖、7天同業拆借利率差分圖和模型4的高波動區制平滑概率時變圖。由于模型3和模型4參數估計得到的平滑概率時變圖幾乎相同，這里只給出了模型4高波動區制平滑概率時變圖。從圖2可以看出我國銀行拆借利率具有兩種波動區制，高波動區制和低波動區制。如果在時刻t所觀察到的區制狀態i的平滑概率大于0.5，則可認為利率波動處于區制狀態i。從圖3可以看出，2004年第三季度，我國銀行拆借利率處于高波動區制，從2004年第四季度到2005年初利率處于低波動區制，從2005年第二季度到2006年第一季度利率基本處于高波動區制，2006年下半年利率基本處于低波動區制，從2007年到2008年上半年利率又基本處于高波動區制，而2008年下半年利率又基本處于低波動區制，但是利率從2009年至觀察結束日這一期間出現高低兩種波動區制的頻繁交替。

顯然利率出現結構性動態行為與我國宏觀經濟狀況及貨幣政策有關。例如2005年第二季度到2006年第一季度的利率高波動區制可能與央行靈活的公開市場操作有關,即2005年3、4月份央行票據發行規模有所增加，對沖力度進一步加大；5～8月份，央行適當調整公開市場操作力度，引導貨幣市場利率適度下行；9～12月份，中國人民銀行適時加大公開市場操作力度，控制貨幣供應量增長速度，促進貨幣市場利率合理回升。也可能與央行分別在2005年3月17日將金融機構在中國人民銀行的超額存款準備金利率下調到0.99%，7月22日、8月23日和10月15日三次上調小額外幣存款利率上限的利率調控政策有關。還可能是受到國內消費需求較快增長，投資需求增速逐季加快宏觀經濟的影響。2007年到2008年上半年的利率高波動區制可能與2007年央行10次上調存款準備金率共5.5個百分點，2008年1月25日再次上調0.5個百分點，并6次上調金融機構人民幣存貸款基準利率的“從緊”貨幣政策以及我國投資增長過快，價格總水平上漲較快的國內宏觀經濟有關。事實上，宏觀經濟越不穩定，貨幣當局越可能對經濟進行調控，債券市場作出反應的可能性越大，從而未來的利率波動性越大。

而比較圖1和圖3可以看出，利率的高波動區制在低利率水平和高利率水平下均能發生。

4 結論

本文在單因素CKLS擴散模型基礎上引入了服從連續時間2狀態一階馬爾科夫鏈的區制狀態變量，對我國銀行間7日同業拆借收盤利率進行了實證研究。為實現帶有區制轉移變量的短期利率模型，本文采用A?t-Sahalia的方法給出了轉移密度函數p(rt+Δ|rt,st)的近似的封閉函數形式表達式，并利用漢密爾頓算法得出了所要優化的對數似然函數，以及使用極大似然估計得出模型各參數的估計值。

本文的研究發現我國短期利率的波動不僅存在水平效應還存在顯著的區制轉換。而且在單一區制模型中引入區制轉移變量后，似然比檢驗顯示模型的擬合能力有較大的提高，因此在研究我國短期利率的波動時不容忽視結構性變化。另外，本文還發現我國短期利率在兩種不同的區制狀態下，其漂移項呈現非對稱性，即在低波動區制時利率明顯表現為未含趨勢的隨機游走過程，而在高波動區制則表現為均值回歸過程。并且馬爾科夫轉移概率在高低兩種不同的區制狀態下也呈現非對稱性，即在利率低波動區制時轉移概率為時變函數，而在高波動區制時轉移概率為常數。通過平滑概率分析發現，我國的宏觀經濟環境以及央行的貨幣政策與我國短期利率的結構性動態行為密切相關。因此可以通過預測國內宏觀經濟和貨幣政策方向，來推斷我國短期利率在將來某一時期或某時刻處在何種區制狀態的概率，這對于經濟的穩定與發展，貨幣政策的實施及風險管理等方面有著重要指導作用。

圖1 IBO007每日觀察值

圖2 IBO007每日利差

圖3 平滑概率P（St=H|rt,…,r1）

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