風暴潮災害綜合財產險精算定價模型探析

趙 昕，王曉婷

（中國海洋大學，山東青島 266100）

0 引言

中國海岸線漫長，南北跨度較大，且面臨臺風多發的太平洋洋面，每年會遭受多次臺風風暴潮。同時由于沿海城市多是我國經濟發達省份，風暴潮往往給沿海城市及居民等造成巨大經濟損失，對我國災害管理體系提出巨大考驗與挑戰。目前我國在自然災害管理過程中具有典型的政府主體性、資金配置財政性、管理方式計劃性等特點。這種風險管理機制固然有其自身的優越性，例如國家對救災資源調動較為迅速和集中等。但相對而言，政府面臨巨大的財政壓力，且僅依靠社會救助無法滿足災害損失的補償。面對風暴潮災害頻發的現狀，迫切需要依托經濟市場的手段解決自然災害所帶來的損失，風暴潮災害保險成為應對風暴潮災害的首要選擇。

風暴潮災害保險沒有成立主要是由于我國保險市場發展不完善，但更重要的是風暴潮災害一直被視為一種巨災保險，單純依靠市場化保險公司無法承擔如此巨大風險。但從風暴潮災害常造成的巨大損失來看似乎如此，但與地震等自然災害不同的是，由于風暴潮災害的多發性，其造成大額損失的概率極低，并且每次損失的地理分布也不集中，并不符合巨災的特點。本文擬從風暴潮損失的分布擬合入手，判別風暴潮損失的損失特征，并討論風暴潮災害保險建立的可行性，進而依據保險精算理論對風暴潮災害保險進行定價研究，從而探討風暴潮災害保險的現實可行性，為相關部門提供對策建議。

1 風暴潮災害損失特征分析

在風暴潮災害保險進行定價時，首先需要確定風暴潮災害保險的損失特征，即此種自然災害保險是否具有右尾特征，也就是說是否屬于巨災保險，進而確定是否需要對保險分布的尾部進行處理，從而選擇適合的保險精算方法進行保險定價。傳統保險一般認為風暴潮災害屬于巨災風險，但一直未給出相關證明，本文從損失分布擬合的角度探尋風暴潮災害保險的損失分布特點，以確定風暴潮災害保險的尾部特征是否真正屬于巨災風險的范疇，為后文風暴潮災害保險定價提供依據。

損失分布理論主要研究在以致發生某一損失的條件下，相應損失量的分布情況。其主要目的是確定風險的嚴重程度以便管理。分布擬合要解決三個主要問題：

第一是要判斷所研究的數據來自哪一種分布模型；

第二是確定分布中的未知參數。也就是在假設數據來自某類分布模型時，如何確定其中的未知參數；

第三是指出擬合的效果，通常通過統計顯著性檢驗來完成。

1.1 損失分布的擬合

第一步，根據經驗分布[1]以及經驗剩余期望函數[2]形狀選擇合適的分布模型，主要有帕累托分布、伽馬分布、威布爾分布、指數分布、正態分布等。

1.1.1 經驗分布

經驗分布就是累計頻率，設有樣本X1,…,Xn，及x軸的分割點c0＜c1＜c2＜…＜ck-1＜ck，且一般有：c0≤min(xi)，ck≥max(xi)，cj(j=1,2…,k-1)不與任何樣本xi重合。分割點c0＜c1＜c2＜…＜ck-1＜ck不要求等距離，但必須使連接[c0,Fn(c0)=0]，[c1,Fn(c1)]，…[ck-1,Fn(ck-1)],[ck,Fn(ck)]等點的折線較好地擬合經驗分布函數Fn(x)。

Fn(x)是x的跳躍增函數，在每個無重復值xi處跳躍1n，0≤Fn(x)≤1。當x1,…,xn互不相等時，把這n個值按從小到大的順序排列，記為x(1)＜x(2)＜…＜x(n)，則

當X1,…,Xn是某總體X～F(x)的獨立同分布的樣本時，統計學上可以證明Fn(x)依概率收斂到F(x)，所以當n比較大時，可以用Fn(x)近似代替F(x)。

1.1.2 經驗密度函數

對于分組數據，按照前面的定義構造經驗分布函數是不可能的。但是仍然能夠估計函數的分布情況。定義分組數據的經驗密度函數為

其中，nj為區間[cj-1,cj)內函數值的頻數。

由此得到的圖形稱為直方圖，這種方法的最大優點在于，直方圖代表了密度函數，并且直方圖下方圖形的面積可以用來得到經驗概率值。

1.1.3 剩余期望函數

由于非壽險中常考慮巨災損失引起的準備金、再保險安排等問題，損失分布的尾部常常受到特別關注，常常只考慮一定金額值以上的期望值，即用尾部期望函數也就是剩余期望函數來描述它。

設X是一個隨機變量，密度函數為f(x)，分布函數為F(x)，對給定的實數d，定義剩余期望函數為

e[X;d]表示隨機變量X比d的高出值的平均水平，也就是在X≥d的條件下求X-d的期望值。如果X表示產品的使用壽命，則e[X;d]就表示產品使用時間d后剩余的平均壽命。因此e[X;d]反映的是隨機變量尾部的性質，是對隨機變量做了“掐頭”的處理。剩余期望函數e[X;d]的增減性與分布的具體形式有關，這條性質對分布擬合中選擇模型很有幫助。

以下介紹由樣本值計算經驗剩余期望函數值的方法，根據總體剩余期望函數的計算公式，得經驗剩余期望函數的計算公式為

當xi互不相等時，順序統計量x(1)＜x(2)＜…＜x(n)，上式在d=x(k)的值為

第二步，對選用的分布中的參數做出初步估計，一般采用矩估計法或百分位數法等。如果原始數據數目較多，可以考慮采用分組數據進行簡化計算。另外也可以運用相關軟件對參數進行精確估計，例如極大似然估計法、最小距離法、最小Χ2法等，不過這些方法都有其適用范圍，應該視具體情況而定。

第三步，檢驗損失分布擬合。對未分組數據可以采用剩余期望函數值比較法，對于分組數據可以對損失分布進行擬合優度檢驗。

1.2 風暴潮損失特征的判別

中國是全球少數幾個同時受臺風風暴潮和溫帶風暴潮危害的國家之一，風暴潮災一年四季、從南到北均可發生，風暴潮災害每年給我國帶來巨大損失。下文根據國家公布的風暴潮災害損失數據，采用自2000年以來連續54次風暴潮災害的直接經濟損失數據對其分布進行擬合。值得說明的是，風暴潮災害的直接經濟損失數據包含了眾多標的物的損失，包括漁船保險、船東保險這普遍意義上的漁業互助險所承保的損失，同時包括了被保險界認為是不可保的海水養殖等在內的其他標的物損失。總之，風暴潮災害直接經濟損失數據屬于風暴潮災害綜合保險的經驗損失數據，給我們提供了一種用綜合保險來補償風暴潮損失的新的保險保障思路。

首先對發生的54次致災風暴潮損失數據進行去通脹處理，以使不同年份數據之間具有可比性。并將數據從小到大排列如表1。

根據公式（1）及（4）計算經驗分布和經驗剩余期望。運用SPSS 軟件繪制出二者的散點圖（圖1、圖2），通過二者的散點圖可以較好地選擇適合的分布模型[3],[4]。

表1 處理后的風暴潮損失數據

圖1 損失分布的散點圖

圖2 經驗剩余期望散點圖

圖3 各分布的剩余期望函數曲線

通過比較兩幅散點圖可以看出，累計概率的尾部趨向平坦，密度概率呈下降趨勢。由圖2風暴潮損失數據的剩余期望可以看出，尾部并沒有表現出明顯的變化趨勢，很難看出同圖3中常見分布函數的剩余期望函數曲線相似，或許表明風暴潮損失分布不具有厚尾特征。因此可以考慮采用密度函數對風暴潮損失數據進行進一步分析。

將初始數據按照Sturges提出的經驗公式（5）確定組數，并根據實際情況采取非等距型將數據分成下列6組：(0,1]、(1,10]、(10,30]、(30,50]、(50,100]、(100,114]。得到其概率分布為

K=1+lgnlg2 （5）

通過圖4可以看出其概率分布符合保險精算常用分布中的對數正態分布趨勢，因此根據對數正態分布進行擬合。運用1stOpt1.0軟件，采用牛頓迭代法經過11次迭代，所得擬合結果為

其中，a=5.9123，b=-5.4594，R2=0.9979，曲線擬合圖如圖5。

進而對對數正態擬合函數進行參數檢驗，χ2=0.001798，F=1873.7779，順利通過擬合優度檢驗，由此可以判斷對數正態分布是風暴潮損失分布的有效擬合曲線。

通過上文對風暴潮災害損失分布的擬合分析可知，潮災害損失分布屬于對數正態分布，由對數正態分布的矩存在性可以看出其尾部較輕，不符合巨災風險所常有的右尾特征，因此風暴潮災害風險不屬于巨災風險，可以用一般非壽險精算方法對其進行定價研究。

圖4 頻率分布直方圖

圖5 對數正態分布擬合圖

2 風暴潮災害保險的定價

通過上文的研究發現，風暴潮災害損失分布的有效分布為對數正態分布。對數正態分布是財產險的常用分布之一，根據其矩存在性可以推出對數正態分布的尾部較輕，不屬于巨災風險分布的范疇[5]，可以采用一般非壽險精算方法對其進行定價研究。由于風暴潮災害保險僅屬于理論研究階段，未投入實際應用，其附加風險保費無法確定。因此，本文主要對風暴潮災害保險的純保費進行定價研究。

根據非壽險精算理論相關結論，理論純保費根據其平均賠款額確定，設賠償金額Y是一個隨機變量，它是另一個隨機變量——損失金額X的總數，即Y=f(x)，設X的概率密度為p(x)，則每一賠案的評價賠款額為

在實際財產保險中，若被保險人將標的足額投保，即保險金額等于標的的實際價值，標的的總價值為S，則賠償金額的評價賠款額為

另外，被保險人也可以采取絕對免配額、相對免賠額、不足額投保等方式，本文暫不討論。

同時根據信度理論可以對平均賠款額進行校正，推導略，可得校正后的平均賠款額m

其中，Z=n(n+k)，μ為先驗估計，xˉ為通過觀察得到的平均值。

通過原始數據易得xˉ=21.3237①，Z=0.9643。μ可以根據前文擬合所得的對數正態分布函數以及公式（6）得到。其中S值的確定成為關鍵，理論上保險標的上限S應該是無窮大的，根據對數正態分布的一階矩為

顯然實際情況下市場無法承擔如此龐大的災害損失。風暴潮災害畢竟屬于自然災害的一種形式，不可避免的會出現損失極端大的情況，在我國目前保險市場不發達的情況下，為了避免風險極大狀況下保險公司紛紛倒閉的情況，可以對風暴潮災害損失賠付設定一個上限，當損失超過此上限后，超過部分由國家財政或者民間團體救助等方式進行，以此來保證風暴潮災害保險的順利開展。

鑒于對54次風暴潮損失數據的分析，可以采取S=200。通過MATLAB 2008編程計算，μ=3.5329，根據式（7）可得，每次風暴潮損失的平均賠款額為20.6883億元。為粗略估算沿海個體居民所繳保費，可假設保費籌集區域為風暴潮災害頻發的南方七省（臺灣省除外），同時不考慮企業或政府等個體購買保單情況，以七省總人口數α來近似作為被保險人購買保單總數，且保單為同質保單，則沿海七省2009年底總人口為α=3.35億人。由此可得每人在每次風暴潮發生時僅需付給y=mα=6.17元。即沿海7省每人僅需付6.17元即可享受一次風暴潮災害帶來的損失補償；另外以平均每年n=5次臺風計算，則沿海居民每年所需繳納的風暴潮保險保費為

即沿海7省每人每年僅付30.88元可應對單次風暴潮總損失最高達200億元的保險補償。這對沿海飽受風暴潮影響的居民來說具有重要意義，同時可以大大減少國家財政壓力。

3 結論

本文將風暴潮造成的直接經濟損失都包括在內，即包括了漁船、沿海養殖、陸上財產等的風險，所發行的風暴潮災害保險屬于財產綜合險。經過擬合發現風暴潮災害并不具有巨災的性質，可以按照一般非壽險精算方法進行保險定價。這樣可避免因單獨承保沿海養殖等保險所存在的巨災的性質，通過綜合保險的形式最大程度的包含了眾多風暴潮災害風險，為科學確定沿海居民的風暴潮災害損失補償。

在此基礎上，本文利用非壽險精算方法對風暴潮災害保險進行定價，研究發現沿海居民每年所需繳納的風暴潮保險保費30.88元即可應對總損失最高達200億元的保險補償，明顯增強了沿海居民對風暴潮災害保險的應對能力，通過市場化手段提高了對風暴潮災害的災后補償。

[1]卓志,李恒琦,張運剛等.保險精算通論[M].成都：西南財經大學出版社，2006.

[2]王曉軍等.保險精算學[M].北京:中國人民大學出版社,1999.

[3]姚眾志.論精算方法在火災等可保風險中的預警作用[J].保險研究,2008，（增刊2）.