用3D畫板優化螞蟻爬行最短路線的課件制作

☆宗 曉 唐劍嵐

（廣西師范大學數學科學學院，廣西桂林 541004）

立體幾何中的“螞蟻爬行最短路線”是個經典問題，該課件的制作方法多樣，但是縱觀各種方法，皆是在二維的平面上解決問題，這樣制作的圖形缺乏立體感，教師不易操作，學生不易觀看，而且方法原理復雜，學生不易理解。運用3D幾何畫板優化螞蟻爬行最短路線的課件制作，操作便捷，原理簡單，立體視覺化效果好。本文將通過螞蟻爬行圓錐體這個案例來說明運用3D幾何畫板優化螞蟻爬行最短路線課件的制作。

案例（如圖1）：在一個有蓋的圓錐形的紙杯的杯口點A處有一只螞蟻，它的家在圓錐的側面某點F處，求螞蟻沿紙杯表面爬行回家的最短距離？

圖1

一、題意分析

螞蟻沿著圓錐表面爬行回家有多種路線，總結分為兩大類：沿著圓錐側面和沿著圓錐的底面。根據兩點之間線段最短的原理，這兩大類中，最短路線分別是路線1：｜AF｜，路線 2：｜AE｜＋｜EF｜，其中｜AF｜為平面截圓錐側面的軌跡（如圖2）。

二、制作步驟

1.制作圓錐

利用【3d基本工具】｜【正交視圖定點】，在正交視圖中構造圓錐底面圓心center″及點Z作為圓周上的一點，構造圓。構造正交視圖中圓center″圓周上的點Y；選中點Y和三維坐標系中的點Y，構造【軌跡】。在正交視圖中構造圓錐頂點C。選擇三維坐標系中的線段CY和正交視圖中的點Y，構造【軌跡】。隱藏點Y、Z和線段CY。

2.制作圓錐體側面上的軌跡

（1）在正交視圖中圓 center″上構造 3點 A、D、E，以及弧AE和弧上點B；構造弧AB及弧上的點G。在三維坐標系中，連接線段 CA、CD、CE、CG，運用【3d基本工具】｜【線段上的定點】，構造線段CE、CD上的點F、H。

（2）作【直線】FH，ED，交于點 I；作【直線】FA，EA，EG。連接點 I、A，交直線 EG 于點 J；連接 FJ，交線段CG于點K。選中點K和正交視圖中的點G，構造【軌跡】。隱藏線段CD、所有直線及直線的交點。

（3）在正交視圖中，構造弧AG，并且其上的點L；連接三維視圖中的線段CL，選中CL和正交視圖中的點L，構造【軌跡】。將正交視圖中的點G、L與點B重合，分別【右鍵】｜【屬性】，取消【可以被選中】和【顯示標簽】。

（4）在正交視圖中構造【移動按鈕B→E】和【移動按鈕B→A】，命為“圓錐側面展開”和“圓錐側面恢復”。

3.計算圓錐的側面展開圖圓心角

在正交視圖中【度量】弧AE和【度量】弧AB。運用【3d基本工具】｜【獲取點的坐標】得到點E、C兩點的空間坐標；通過空間兩點間距離公式，【計算】｜母線EC｜。利用圓錐的側面展開圖的圓心角公式：錐的側面展開圖。【計算】｜CF｜，【計算】利用【縮放】｜縮放比例，構造點 F，【度量】｜AF｜。隱藏×1弧度，【計算】圓錐側面展開的圓心角度數和圓錐側面展開到母線CE處的圓心角度數。

4.制作圓錐側面展開圖

（1）在界面的空白處構造一點C，【平移（｜EC｜/－90°）】得到點A；將線段AC以C為圓心，【旋轉（側面展開圖的圓心角）】得到點B，【旋轉（母線處的圓心角度數）】到點E，【構造（扇形CAB）】，扇形CAB即是圓圓錐側面展開圖。

（2）按照在空白處構造圓錐側面展開圖的方法，在圓錐上以線段CA為起點，做圓錐的側面展開。

5.螞蟻爬行路線

（1） 在三維坐標系中計算｜AE｜、｜EF｜。路線 1：｜AF｜，路線 2：｜AE｜＋｜EF｜，并用不同的顏色標注出。

6.制作按鈕，美化界面

制作路線 1、2的【顯示/隱藏】按鈕，命為路線 1、2，兩條路線、長度和按鈕路線1、2的總的【顯示/隱藏】按鈕，命為螞蟻爬行路線。把不必要出現的地方隱藏。

最后的效果如圖2：

圖2

三、課件操作

在操作課件時，通過按鈕路線1、2直觀地展示兩條路線。移動線段CE上的點F來變化路線1、2的長度，其中點P是分界點，點F在線段CP上時，路線1最短，點F在線段PE上時，路線2最短。教師可以操控圓錐側面展開/恢復按鈕來展示側面展開的過程，還可以手動拖動正交視圖上的點B，動態展示圓錐的側面展開過程，圓錐底面圓展開的弧長等于扇形的周長等。此外，通過操控扇形滑竿，可以從不同角度來觀看圓錐的側面展開。這樣操作，突出教學重點和突破難點，有助于學生空間想象力的培養。

四、課件特點

本制作方法異于二維制作的方法之處：

（1）立體效果好，圓錐體形象直觀。這是利用3D幾何畫板制作的最大優勢，將圓錐側面以及側面展開部分填色，使得圓錐更立體逼真。

（2）構造爬行軌跡。通過Desargues定理，構造過圓錐的平面，進而構造圓錐體表面上的軌跡,這是以往課件所沒有的。

（3）制作思想簡單，凸顯數學本質。縱觀螞蟻爬行最短路線的課件，基本思想都是要借助構造圖形來解決問題，而利用3D幾何畫板可以將這些步驟省略。

[1]李燕清,任莎莎,唐劍嵐.圓錐側面展開圖課件的改進及應用[J].中小學電教,2009,(5).

[2]范冬生,傅恬.立體幾何圖形展開問題的課件及其制作[J].中學教學參考,2010,(20).

[3]馬玉峰.Desargues定理及其逆定理的應用推廣[J].甘肅聯合大學學報(自然科學版),2011,(2).