學(xué)生從算術(shù)到方程思想形成的調(diào)查研究

430062 湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 徐勝茂

1 問題提出

法國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、解析幾何的創(chuàng)始人笛卡兒認(rèn)為：“一切問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，一切數(shù)學(xué)問題都可以轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，一切的代數(shù)問題都可以轉(zhuǎn)化為方程，于是，一切的問題均將迎刃而解.”

從數(shù)學(xué)科學(xué)本身看，方程是代數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，正是對(duì)于它的研究推動(dòng)了整個(gè)代數(shù)學(xué)的發(fā)展.從代數(shù)中關(guān)于方程的分類看，一元一次方程是最簡(jiǎn)單的代數(shù)方程，也是所有代數(shù)方程的基礎(chǔ).主要內(nèi)容包括：一元一次方程及其相關(guān)概念、解法及解決實(shí)際問題.，以方程為工具分析問題、解決問題，即建立方程模型是全章的重點(diǎn)，同時(shí)也是難點(diǎn).

前不久，在一所大學(xué)附中聽了一節(jié)關(guān)于一元一次方程的新課：從算式到方程.課堂上老師先將章前圖作為先行組織者引入新課，然后把全班分成7個(gè)小組，分組討論一元一次方程章前圖所提出的行程問題.結(jié)果前四個(gè)小組匯報(bào)解答方法的同學(xué)采用的都是算術(shù)法，直到第五組才開始去思考用方程求解.第六組和第七組方法一樣，形式上似乎是方程的方法，實(shí)際上還是用算術(shù)法.

這節(jié)課里，明顯感覺到大部分學(xué)生都習(xí)慣用算術(shù)法，難以從算術(shù)法的思想中轉(zhuǎn)變過來.如何讓方程的思想變成學(xué)生的自覺行為，實(shí)現(xiàn)“從算式到方程”的轉(zhuǎn)變?筆者設(shè)計(jì)了一份調(diào)查問卷來研究學(xué)生初學(xué)一元一次方程時(shí)究竟是傾向于方程法還是算術(shù)法，并對(duì)一元一次方程的教學(xué)提出一點(diǎn)建議.

本調(diào)查著重解決以下兩個(gè)問題：(1)初中生在初學(xué)一元一次方程時(shí)，喜歡用算術(shù)法解應(yīng)用題是否是一個(gè)普遍現(xiàn)象?學(xué)生對(duì)方程的理解又是怎樣的?(2)在用方程法解決應(yīng)用題時(shí)，學(xué)生的困惑在哪里?究竟是列方程還是解方程?

2 設(shè)計(jì)意圖

調(diào)查問卷分為兩部分共10個(gè)題，前7個(gè)題目為選擇題，其中第4題是多項(xiàng)選擇題，其余6題均為單選題.選擇題主要是考查學(xué)生對(duì)用方程法解應(yīng)用題的理解及實(shí)際運(yùn)用的情況的調(diào)查.后面的大題分為三個(gè)大題，第8題是讓學(xué)生用適當(dāng)?shù)姆椒ń鈶?yīng)用題，調(diào)查他們潛意識(shí)里是習(xí)慣用方程法還是算術(shù)法.第9題有3個(gè)小題，了解學(xué)生列方程時(shí)的主要困惑在于等量關(guān)系比較復(fù)雜還是題目所給數(shù)據(jù)太大.在題型方面設(shè)計(jì)了兩個(gè)可以直接設(shè)未知數(shù)的題目，一個(gè)間接設(shè)未知數(shù)的題目，考查學(xué)生設(shè)未知數(shù)這一步是否理解了.第10題了解學(xué)生用方程解應(yīng)用題時(shí)，在分析題意/設(shè)未知數(shù)，列出方程/求解方程/作答的情況.

3 研究方法與分析

筆者選擇了兩所農(nóng)村初中(分別簡(jiǎn)稱為乙校、甲校)學(xué)校各一個(gè)班，共75名學(xué)生與測(cè)試.在測(cè)試前，研究者向參與測(cè)試班級(jí)的數(shù)學(xué)任課老師了解學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)度并確認(rèn)學(xué)生已經(jīng)完成了課本上相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí).

3.1 選擇題調(diào)查結(jié)果與分析

前面7個(gè)選擇題的統(tǒng)計(jì)結(jié)果按以下方法統(tǒng)計(jì).單選題則是統(tǒng)計(jì)A，B，C，D每個(gè)選項(xiàng)各有多少人選擇.對(duì)于第四題的多選題則是在統(tǒng)計(jì)A，B，C，D每個(gè)選項(xiàng)各有多少人的基礎(chǔ)上再統(tǒng)計(jì)只選了C，D的學(xué)生又有多少人.下面的表格分別為乙校(表1)和甲校(表2)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果.

表1 乙校選擇題統(tǒng)計(jì)匯總表

表中的下劃線“/”表示沒有這一選項(xiàng).

表1中84%的學(xué)生選擇遇到應(yīng)用題時(shí)首先想到的是方程法，只有不足11%選擇用算術(shù)法.超過65%的人認(rèn)為列方程解應(yīng)用題的難點(diǎn)為解方程，26%的人認(rèn)為列方程解應(yīng)用題的難點(diǎn)是理解題意，大約8%的人認(rèn)為難點(diǎn)是設(shè)未知數(shù).在甲校的調(diào)查中沒有學(xué)生認(rèn)為找等量關(guān)系是難點(diǎn).約有34%的學(xué)生認(rèn)為列方程解應(yīng)用題有些難度，8%左右的學(xué)生認(rèn)為列方程解應(yīng)用題很簡(jiǎn)單，其他的學(xué)生保持中立的態(tài)度.

第4題則是考查學(xué)生對(duì)一元一次方程定義的理解.選項(xiàng)C是課本上的一個(gè)定義，選項(xiàng)D則上升了一個(gè)層次，領(lǐng)悟了方程的思想.81%的學(xué)生記住了課本上的概念和定義，對(duì)方程的理解沒有上升到方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界等量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，其中只有15.7%理解上升了一個(gè)層面.第5題的表明只有34%的學(xué)生有用方程解決數(shù)學(xué)問題的意識(shí)，第7題的調(diào)查結(jié)果與第二題的調(diào)查結(jié)果有些不相符合，64%的學(xué)生認(rèn)為不喜歡做等量關(guān)系太復(fù)雜的應(yīng)用題，而在第2題中沒有人認(rèn)為找等量關(guān)系式是列方程解應(yīng)用題的重點(diǎn).約有13%的學(xué)生不喜歡題目太長(zhǎng)的應(yīng)用題，18%的學(xué)生不喜歡做數(shù)據(jù)太大的應(yīng)用題.

表2 甲校選擇題統(tǒng)計(jì)匯總表

表2中62%的學(xué)生選擇遇到應(yīng)用題時(shí)首先想到的是方程法，約有29%學(xué)生選擇用算術(shù)法，還有極少數(shù)學(xué)生用拼湊法和圖表法.超過64%的人認(rèn)為列方程解應(yīng)用題的難點(diǎn)為找等量關(guān)系，13%的人認(rèn)為列方程解應(yīng)用題的難點(diǎn)是解方程，大約22%的人認(rèn)為難點(diǎn)是理解題意.在乙校的調(diào)查中沒有學(xué)生認(rèn)為設(shè)未知數(shù)是難點(diǎn).約有32%的學(xué)生認(rèn)為列方程解應(yīng)用題有些難度，11%左右的學(xué)生認(rèn)為列方程解應(yīng)用題很簡(jiǎn)單，其他的學(xué)生保持中立的態(tài)度.對(duì)于第4題方程的概念的理解，94.5%的學(xué)生記住了課本上的概念和定義，37.8%的學(xué)生的理解上升了一個(gè)層面.雖然有54%的學(xué)生認(rèn)為方程與實(shí)際生活聯(lián)系緊密，但還有許多學(xué)生沒有這種意識(shí).第5題的調(diào)查結(jié)果表明只有21%的學(xué)生有用方程解決數(shù)學(xué)問題的意識(shí).說明有的學(xué)生雖然有把生活與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來的意識(shí)，但缺乏用方程解決數(shù)學(xué)問題的意識(shí).

78%的學(xué)生不喜歡做等量關(guān)系太復(fù)雜的應(yīng)用題，13.5%的學(xué)生不喜歡做數(shù)據(jù)太大的應(yīng)用題，這一結(jié)果與第二題是相吻合的，第2題的調(diào)查結(jié)果表明大部分學(xué)生認(rèn)為找等量關(guān)系是難點(diǎn).

甲校的學(xué)生測(cè)驗(yàn)時(shí)間比乙校要早一周，在很多問題上調(diào)查的結(jié)果也不盡相同.比如說針對(duì)列方程解應(yīng)用題的難點(diǎn)，甲校的學(xué)生傾向于解方程為難點(diǎn)，而乙校認(rèn)為找等量關(guān)系為難點(diǎn).

3.2 主觀題調(diào)查結(jié)果與分析

第8題是讓學(xué)生用適當(dāng)?shù)姆椒ń鈶?yīng)用題，統(tǒng)計(jì)時(shí)先區(qū)分算術(shù)法、方程法以及沒有做的各有多少份.然后在方程法里面分為三欄，不會(huì)列方程、不會(huì)解方程和沒有答的.第9題是統(tǒng)計(jì)三方面的內(nèi)容：不會(huì)做、不會(huì)列和全對(duì)的.但由于乙校有部分學(xué)生沒看清題意，把列方程看成了解應(yīng)用題，所以有少數(shù)學(xué)生用表格法、列舉法和算術(shù)法來解答.第10題也是統(tǒng)計(jì)不會(huì)做、不會(huì)列和全對(duì)這三項(xiàng)，另外也有極少數(shù)學(xué)生沒看清題意，用算術(shù)方法進(jìn)行解答.統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表3和表4

表3 甲校主觀題匯總表

從表3中可以看出第8題中的第①題中有55.3%的學(xué)生選擇用方程法來解應(yīng)用題，不會(huì)做的學(xué)生比較多，占44.7%，這些學(xué)生既不會(huì)用方程做也不考慮用算術(shù)方法來解答.在用方程法解應(yīng)用題中，有2個(gè)學(xué)生不會(huì)列方程，有1個(gè)列了方程后不知道如何解方程.在第②題中52.6%的學(xué)生選擇用方程法來解答，其中有3個(gè)學(xué)生不會(huì)解方程，有2個(gè)學(xué)生沒有作答，只有15個(gè)學(xué)生做的是全對(duì)，有47.4%的學(xué)生沒有做.

第9題第①題的列方程不會(huì)做的占47.4%，不會(huì)列方程的占2.6%，全對(duì)的占50%.

后面兩題做得沒第①題好，第②題不會(huì)做的占68.4%，已經(jīng)超過了一大半，做全對(duì)的也僅僅只有23.7%.

第③題和第二題做的情況差不多.

第10題中的兩個(gè)小題和第9題的后兩題做的情況差不多，全對(duì)的僅23%，大部分學(xué)生不會(huì)做.

表4 乙校主觀題匯總表

從表4中可以看到乙校開始有少數(shù)學(xué)生用算術(shù)法來解答應(yīng)用題，并且做的情況比甲校好一些.對(duì)于第8題只有少數(shù)學(xué)生不會(huì)做，其中第①題不會(huì)做的只有1個(gè)人，第②題不會(huì)做的只有2個(gè)人.用方程法做全對(duì)的前一題占55.3%，后一題占63.2%.不會(huì)列方程的前一題占23.7%，后一題占18.4%.第9題則有學(xué)生沒有認(rèn)真讀題意，以為是解應(yīng)用題，所以有學(xué)生用表格法、算術(shù)法及列舉法來做.第9題的這三個(gè)小題做全對(duì)的人數(shù)越來越少.第1題全對(duì)占59.5%，第2題全對(duì)的占40.5%，而第3題全對(duì)的只有24.3%.第8題考查學(xué)生潛意識(shí)里面是會(huì)用方程法還是算術(shù)法來解決所遇到的問題.在大學(xué)附中聽課時(shí)，本章章前圖所提出的問題，大部分學(xué)生首先想到的是算術(shù)法.而在甲校的調(diào)查結(jié)果表明沒有學(xué)生用算術(shù)法，會(huì)的就用方程法，有一部分學(xué)生沒做，推測(cè)原因可能是方程的意識(shí)還沒有形成，算術(shù)方法已經(jīng)忘記了.另一種原因就是學(xué)生剛剛學(xué)了一元一次方程，故以為這一題也要用方程法來解.大部分學(xué)生用方程解法如下：

解設(shè)平均每天用10元錢的有x天，則每天用5元錢的有(7－x)天.依題意可得如下方程10x+5(7－x)=50，解得x=3.其中有2個(gè)用算術(shù)法，一種是用拼湊法，有學(xué)生按如下方式解答：

解10×3=30，50－30=20，20÷5=4，3+4=7.所以用10元錢的有3天，用5元錢的有4天.

還有一個(gè)同學(xué)試圖用雞兔同籠的思想來解答這個(gè)題目，解答過程如下：

解50÷10=5，7－5=2，10×2=20，50－20=30，30÷10=3.

第二小題也有2個(gè)學(xué)生用算術(shù)法來解答.解答過程如下：

解①55－1÷3=18，18+1=19，55－19=36;

②55÷3－1=37.5≈38，38÷3+1≈14.

學(xué)生想用算術(shù)法來解答這個(gè)題目，把兒子的年齡看作一份，父親的則是兒子的3倍少一，學(xué)生在這里理解有誤，認(rèn)為4倍的兒子的年齡應(yīng)該為(55－1)，實(shí)際上少一歲，則應(yīng)該是(55+1).學(xué)生頭腦里面的思維的可逆性不強(qiáng)，導(dǎo)致用算術(shù)法出現(xiàn)錯(cuò)誤.

從第8題的調(diào)查結(jié)果來看，農(nóng)村初中的學(xué)生用算術(shù)法十分少有，不在我們的預(yù)料之內(nèi).

第9題主要是了解學(xué)生主要是在做應(yīng)用題時(shí)哪一步時(shí)會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，不會(huì)列方程的主要是用含x的式子表示相關(guān)的量時(shí)出現(xiàn)問題.

第10題考查學(xué)生對(duì)解方程的掌握情況，隨著學(xué)生對(duì)方程內(nèi)容學(xué)習(xí)的深入，掌握的情況會(huì)越來越好.

4 小結(jié)

本次調(diào)查的范圍是兩所農(nóng)村中學(xué)，教學(xué)資源與城市相比有較大差距.因此這次調(diào)查只能反映這個(gè)地區(qū)的情況.這兩所學(xué)校里，用算術(shù)法解應(yīng)用題不是一個(gè)普遍現(xiàn)象，學(xué)生數(shù)學(xué)底子太薄，已經(jīng)忘記了用算術(shù)法應(yīng)該怎么做.所以不會(huì)用算術(shù)法做，也不會(huì)用方程法來解答.學(xué)生在用方程解應(yīng)用題時(shí)，主要是不會(huì)找等量關(guān)系，以及找完之后用含x的式子表示相關(guān)的量也有一定的困難.

5 建議

(1)起始課中，應(yīng)從學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，從算式開始，一步一步引導(dǎo)學(xué)生列出含未知數(shù)的式子表示有關(guān)的量，并進(jìn)一步依據(jù)相等關(guān)系列出含未知數(shù)的等式——方程.突出方程的根本特征——刻畫相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，引出方程的定義，并使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到方程是更方便、更有力的數(shù)學(xué)工具，從算術(shù)方法到代數(shù)方法是數(shù)學(xué)的進(jìn)步.

(2)要把“如何根據(jù)實(shí)際問題列方程”作為貫穿全章的中心問題，引導(dǎo)學(xué)生建立方程的意識(shí)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模的思想，學(xué)會(huì)分析題意，尋找相等關(guān)系，列出方程.

(3)落實(shí)求解一元一次方程的教學(xué)，使學(xué)生切實(shí)掌握一元一次方程的求解步驟，會(huì)用方程解決問題.