也談反比例函數中的不變性問題

430030 湖北省武漢市華中科技大學同濟附中 李 鑫 王凱旋

也談反比例函數中的不變性問題

430030 湖北省武漢市華中科技大學同濟附中 李 鑫 王凱旋

文［1］提出反比例函數中的幾個不變性問題，筆者最近也在思考反比例函數的一些性質，受此篇文章的影響，結合自己的所思，對文［1］提出的問題進行了更一般性的總結.

1 坐標乘積不變性(反比例函數的基本不變性)

2 面積不變性

圖1

例2 如圖 2，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在反比例函數y=(k為常數，且k≠0)的圖象上，由坐標乘積不變性可得：SAA1OA2

點評 坐標乘積不變性和面積不變性可分別看作反比例函數的代數不變性和幾何不變性，它們反映了雙曲線的代數與幾何的統一性.也是雙曲線的核心性質.

3 定比平分不變性

圖2

圖3

證明 設 B(a，b)，則 BC=a，AB=b，

即E點是BC的t等分點時，F點是AB的t等分點.特別地，當E點是BC的中點時，F是AB的中點.

4 位置不變性

證明 如圖4，設點A的坐標為(x1，y1)，點 B 的坐標為(x2，y2)，

圖4

點評 如圖5，當點A，B在雙曲線的兩支上時，結論依然成立，證明方法相同.

5 線段長度不變性

證明 (1)如圖4，由位置不變性知HE∥AB，則四邊形HEDB和四邊形HEAC是平行四邊形.

(2)如圖5，由位置不變性知HE∥AB，則四邊形CEHB和四邊形AEHD是平行四邊形.

圖5

6 乘積不變性

圖6

證明 過點M，N分別作ME⊥y軸于E，NF⊥x軸于F.

設點P的坐標為P(x1，y1)，

1 郭海軍.例談反比例函數中的幾個不變性問題［J］.中學數學(下半月)2009.6

20111201)