關(guān)于四邊形剪拼的探究

●張昌林 (襄州區(qū)黃集鎮(zhèn)初級中學(xué) 湖北襄陽 441123)

一小學(xué)生放學(xué)回家說：“今天的作業(yè)是剪圖形，老師讓我們剪三角形、正方形、長方形、平行四邊形、梯形……，然后把剪好的圖形拼成新的圖形.”筆者發(fā)現(xiàn)剪拼圖形挺有意思，于是做了一些研究，與大家分享.

注這里講的“剪”，只能沿直線剪;這里講的“拼”，指圖形拼完后不能有重疊部分，也不能有剩余部分.

1 平行四邊形的剪拼

1.1 平行四邊形剪拼成三角形

平行四邊形剪拼成三角形主要用“面積不變”的思路，有2大類方法，每一大類都有無數(shù)種拼法.

方法1 如圖1，在?ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，作射線DA，CE，2條射線相交于點(diǎn)D'.易證△AED'≌△BEC，將△BEC繞點(diǎn) E旋轉(zhuǎn) 180°與△AED'重合，這樣將?ABCD沿CE剪開就可以拼成△DCD'.

圖1

圖2

方法2 如圖2，在?ABCD中，也可先找到BC的中點(diǎn)E，其他作法同上.

是否只有這2種方法呢?用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)研究該問題，有方法3如下：

圖3

圖4

方法3 如圖3，點(diǎn)G，H分別是AD，BC的中點(diǎn)，D'是AB上任意一點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))，作射線D'G，D'H，分別交直線 DC于點(diǎn) E，F(xiàn).易證△DGE≌AGD'，△HBD'≌△HCF，這樣?ABCD就可以剪拼成△EFD'.當(dāng)點(diǎn)D'在AB上移動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的△EFD'隨之變化，因此產(chǎn)生的△EFD'就有無數(shù)種剪拼方法.

當(dāng)點(diǎn)D'在AB上運(yùn)動(dòng)到如圖4所示的位置時(shí)，△EFD'為銳角三角形;當(dāng)點(diǎn)D'在AB上運(yùn)動(dòng)到如圖5所示的位置時(shí)，△EFD'為直角三角形;當(dāng)點(diǎn)D'在AB上運(yùn)動(dòng)到如圖6所示的位置時(shí)，△EFD'為等腰鈍角三角形.當(dāng)點(diǎn)D'在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△EFD'能否為等邊三角形?若不能，請說明理由.

圖5

圖6

同樣地，用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)研究該問題，又有方法4，方法4實(shí)際上是方法1的一般化推廣.

同理，可以將動(dòng)點(diǎn)D'選在BC(或AD)上，方法原理同上.

圖7

圖8

1.2 平行四邊形剪拼成長方形

如圖 8，過點(diǎn) A作 AF⊥DC于點(diǎn) F.易證Rt△ADF≌Rt△BCE，將△ADF剪下平移到△BCE的位置就拼成了長方形.

1.3 平行四邊形剪拼成正方形

圖9

圖10

平行四邊形剪拼成正方形的過程較復(fù)雜，要先將平行四邊形剪拼成長方形，再把長方形剪拼成正方形.如圖9所示，用“面積不變”的思路，可將給定的長方形剪拼成正方形.請讀者探討有沒有更好的方法.

1.4 平行四邊形剪拼成梯形

同樣地，用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)研究該問題，用“面積不變”的思路，把平行四邊形剪拼成梯形.如圖10，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB上任意一點(diǎn)(F不與點(diǎn)A，B重合，思考為什么?).易證△FBE≌△GCE，將△FBE剪下使它和△GCE重合即拼成了梯形AFGD.因?yàn)辄c(diǎn)F在AB上移動(dòng)，所以有無數(shù)種剪拼梯形的方法.當(dāng)點(diǎn)F移動(dòng)到點(diǎn)A的位置時(shí)，平行四邊形可剪拼成三角形，即1.1中的方法1;當(dāng)點(diǎn)F移動(dòng)到如圖11所示的位置時(shí)，可剪拼成直角梯形;當(dāng)點(diǎn)F移動(dòng)到如圖12所示的位置時(shí)，可剪拼成等腰梯形.

圖11

圖12

圖13

圖14

在?ABCD中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，G為BC上任意一點(diǎn)，G在BC上運(yùn)動(dòng)(不包括點(diǎn)B，C)，原理同上也可以剪拼成梯形.因?yàn)辄c(diǎn)G在BC上運(yùn)動(dòng)，所以有無數(shù)種剪拼成梯形的方法.特別地，當(dāng)G運(yùn)動(dòng)到如圖13所示的位置時(shí)，可剪拼成直角梯形.

1.5 平行四邊形剪拼成任意四邊形

如圖14，在?ABCD中，點(diǎn)E是AC上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作AB的平行線，交BD于點(diǎn)F.在線段EF上任取2個(gè)點(diǎn)G，H(不包括點(diǎn)E，F(xiàn))，分別過點(diǎn)G，H作AC的平行線交CD于點(diǎn) K，交AB于點(diǎn)L，作點(diǎn)H關(guān)于AB的反射點(diǎn)H'，作點(diǎn)G關(guān)于CD的反射點(diǎn)G'.易證圖14中的相關(guān)三角形全等，從而剪拼成功.因?yàn)辄c(diǎn)E在AB上移動(dòng)，點(diǎn)G，H也隨之移動(dòng)，所以有無數(shù)種剪拼成梯形的方法.

2 任意四邊形的剪拼

2.1 任意四邊形剪拼成平行四邊形

將1.5平行四邊形剪拼成任意四邊形的過程反過來，就是將任意四邊形剪拼成平行四邊形的方法.

2.2 任意四邊形剪拼成長方形

在圖14 中，讓 GG'⊥EF，HH'⊥EF，剪拼的結(jié)果就是長方形.

3 梯形的剪拼

3.1 梯形剪拼成平行四邊形

如圖15，在梯形ABCD中，點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，過H作AD的平行線交AB的延長線于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)G.易證△HEB≌△HGC，將△HGC繞點(diǎn)H旋轉(zhuǎn)180°到△HEB的位置，就剪拼成了?AEGD.同理，也可以如圖16所示那樣剪拼.

圖15

圖16

3.2 一般梯形剪拼成等腰梯形

如圖17，作梯形ABCD中位線的中垂線，沿中垂線將梯形對折(即作點(diǎn)D關(guān)于中垂線的對稱點(diǎn)G)，點(diǎn)H是腰BC的中點(diǎn)，射線GH交AB的延長線于點(diǎn) E.易證△BEH≌△CGH，AD=EG，從而剪拼成功.同理，也可以如圖18所示那樣剪拼.

圖17

圖18

3.3 梯形剪拼成長方形

可以先將梯形剪拼成平行四邊形，再將平行四邊形剪拼成長方形.或者用2.2任意四邊形剪拼成長方形中的方法.

3.4 特殊梯形的特殊變化

底角均為60°的等腰梯形變?yōu)榈冗吶切?圖19到圖24是剪拼過程的示意圖，供讀者研究.

圖19

圖20

圖21

圖22

圖23

圖24

4 2個(gè)正方形的剪拼

2個(gè)正方形剪拼成1個(gè)正方形，這個(gè)問題簡稱“兩方拼一方”，人教版數(shù)學(xué)8年級課本上有關(guān)于“兩方拼一方”的知識閱讀，方法不止一種.筆者研究了幾種方法，供讀者欣賞.

如圖25，邊長分別為a，b的2個(gè)正方形連成一體，能否在上面畫2條直線，沿直線把圖形分成幾塊，然后拼成一個(gè)正方形而無剩余.

圖25

圖26

圖27

圖28

圖29

方法3 剪拼過程如圖30所示.

看似簡單的剪拼問題，充滿了數(shù)學(xué)思考和智慧，親愛的讀者朋友你會(huì)了嗎?

圖30