三角形內外角平分線有關命題的證明及應用

441123 湖北省襄陽市襄州區(qū)黃集鎮(zhèn)初級中學 張昌林

三角形內外角平分線有關命題的證明及應用

441123 湖北省襄陽市襄州區(qū)黃集鎮(zhèn)初級中學 張昌林

圖1

點評 利用角平分線的定義和三角形的內角和等于180°,不難證明.

證明 如圖1,

證明 如圖2,

∵DB和DC是△ABC的兩條外角平分線,

圖2

點評 利用角平分線的定義和三角形的一個外角等于與它不相鄰兩內角的和以及三角形的內角和等于180 °,可以證明.

穆振英是設計科班出身，畢業(yè)于山東工藝美術學院，曾任山東省廣告公司設計部主任。她和丈夫丁旭光共同經營國際彩印，工作一絲不茍，對作品一直是精益求精。她會為每位客戶提供細致入微的建議，從選擇原輔材料、調色、制版、印刷到裝幀工藝。穆振英身上的工匠精神深深地影響了身邊的每個人，也讓這種精神在國彩人身上隨處可見。“她讓書產生了美感和韻味，好比把村姑變成了城市麗人。”每次談起穆振英，丁旭光眉眼里都藏著笑，“我真的特別崇拜穆姐，她非常敬業(yè)和專業(yè)，她的設計非常大膽創(chuàng)新！”

圖3

證明 如圖3,

點評 利用角平分線的定義和三角形的一個外角等于與它不相鄰兩內角的和,很容易證明.

命題4 如圖4,點E是△ABC一個內角平分線BE與一個外角平分線CE的交點,證明：AE是 △ABC的外角平分線.

證明 如圖4,

∴過點E分別向AB,AC,BC所在的直線引垂線,所得的垂線段相等.

點評 利用角平分線的性質和判定能夠證明.應用上面的結論能輕松地解答一些相關的比較復雜的問題.

圖4

例1 如圖5,PB和PC是△ABC的兩條外角平分線.

(1)已知 ∠A=60 °,請直接寫出∠P的度數.

(2)三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形按角分類屬于什么三角形？

解析 (1)由命題2的結論直接得

圖5

點評 此題直接運用命題2的結論很簡單.同時要知道三角形按角分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.

圖6

點評 此題是要找出規(guī)律的要有命題3的結論作為基礎知識.

例3 (2011年鄂州市)如圖7,△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內角∠ABC的平分線BP交于點 P,若∠BPC=40°,則 ∠CAP=_______.

圖7

解析 此題直接運用命題4的結論可以知道AP是△ABC的一個外角平分線,結合命題3的結論知道

例4 (2003年山東省“KLT快樂靈通杯”初中數學競賽試題)如圖8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∠BAC=30°,∠ACB的平分線與∠ABC的外角平分線交于E點,連接AE,則∠AEB=_________度.

圖8

點評 從上面的做題過程來看題目中給出的“∠A=30°”這個條件是可以不用的.

20110810)