對一道中考試題的解法探究

277223 山東省棗莊市第十一中學 張建響

277200 山東省棗莊市第十八中學 李耀文

對一道中考試題的解法探究

277223 山東省棗莊市第十一中學 張建響

277200 山東省棗莊市第十八中學 李耀文

對中考試題的探究是教師們在教學和復習中常做的一件有益事情.本文以2011年一道中考試題進行探究,供讀者們賞析參考.

1 試題呈現

江蘇省連云港市2011年高中段學校招生統一文化考試數學試題第28題：

(1)有一條邊對應相等的兩個三角形的面積之比等于這條邊上的對應高之比;

(2)有一個角對應相等的兩個三角形的面積之比等于夾這個角的兩邊乘積之比;

……

現請你繼續對下面問題進行探究,探究過程可直接應用上述結論.(S表示面積)

問題2 若有另一塊三角形紙板,可將其與問題1中的△ABC拼合成四邊形ABCD,如圖2,Q1,Q2三等分邊 DC.請探究 S四邊形P1Q1Q2P2與S四邊形ABCD之間的數量關系.

檢視父母教養范式的適切性，就是檢視其合理性和有效性。“鞋子合不合腳，腳知道”。與孩子的個性和成長需求契合的家庭教育，對孩子成長產生積極的正向影響，反之亦然。檢視家庭教育范式的適切性，要檢視家長的家庭教育動機、教育目標，檢視日常生活中親子雙方的情緒體驗和行為反應等。如果消極的劣性的情感體驗多，就要對家庭教育多加注意，及早發現問題和解決問題。

圖1

圖2

問題3 如圖3,P1,P2,P3,P4五等分邊AB,Q1,Q2,Q3,Q4五等分邊 DC.若 S四邊形ABCD=1,求 S四邊形P2Q2Q3P3.

問題4 如圖4,P1,P2,P3四等分邊AB,Q1,Q2,Q3四等分邊DC,P1Q1,P2Q2,P3Q3將四邊形ABCD分成四個部分,面積分別為S1,S2,S3,S4.請直接寫出含有 S1,S2,S3,S4的一個等式.

圖3

圖4

點評 該試題是以“有一條邊對應相等的兩個三角形的面積之比等于這條邊上的對應高之比;有一個角對應相等的兩個三角形的面積之比等于夾這個角的兩邊乘積之比”為知識的生長點,考查了學生的基礎知識、基本技能和基本方法,以及知識的遷移能力和靈活運用知識的能力.從問題的設計到解決方式上,呈現出知識的多樣性、靈活性和拓展空間,較好地考查了學生的數學思維能力和綜合運用知識分析問題、解決問題、提出問題的能力.本題的確是一道層次分明,梯度合理,具有很好區分度的中考試題.

2 試題答案回放

下面給出命題者提供的參考答案.

問題1

圖5

所以

由P1,P2三等分邊AB,R1,R2三等分邊AC,Q1,Q2三等分邊DC,

點評 由上述參考答案可以看出命題者的意圖.充分體現出該試題所考查的是學生解決探究數學問題的重要思想方法——化歸(即“化未知為已知”)和類比思想.

3 試題解法再探

學習數學,離不開解題.從不同的角度,用不同的方法,去探索解答同一道數學問題的途徑,開展一題多解活動,是提高解題能力、培養創新精神的有效方法.它有利于牢固掌握數學的基礎知識和基本技能,有利于提高分析問題和解決問題的能力,有利于發展思維的靈活性和創造性.下面給出本試題參考答案以外的多種解法,供讀者們鑒賞.

問題1 (略)

問題2

別證1 如圖6,連接AQ1,P1Q2,P2C,再設 h1,h2,h3分別是A,P1,P2到CD的距離.由P1,P2三等分邊AB,可知2h2=h1+h3.

又DQ1=Q1Q2=Q2C,則有

圖6

別證2 如圖7,設P,Q分別是AB,CD的中點,連接PD,PQ1,PQ2,PC,易證知

圖7

別證 3 如圖 8,連接AQ1,P2Q1,P2C,由于 P1,P2三等分邊 AB,Q1,Q2三等分邊DC,則易知有

圖8

別證4 如圖9,取四邊形ABCD的四邊AB,BC,CD,DA的中點 P,N,Q,M,并設PQ與MN的交點為O,且所成的角為 α.則有：

易證知O是PQ和MN的中點,MN平分P1Q1和P2Q2,

且有MR=RT=TN.由四邊形面積公式有：

圖9

別證 5 如圖 10,設BA,CD的延長線相交于O點,且記AB=3a,CD=3b,OA=c,OD=d,∠BOC=α,則有

圖10

點評 此法是借助面積計算的方法,無需特殊的技巧和繁雜的運算,確實為一種簡便易行的方法,但運算中應用到“三角形的面積等于三角形任意兩邊與其夾角正弦積的一半”.

問題3的別解

如圖11,P1,P2,P3,P4五等分邊AB,Q1,Q2,Q3,Q4五等分邊DC,P1Q1,P2Q2,P3Q3,P4Q4將四邊形ABCD分成五個部分,面積分別為S1,S2,x,

S3,S4.由問題2的結論,易知有2x=S2+S3,

圖11

問題4的別解

如圖12,P1,P2,P3四等分邊AB,Q1,Q2,Q3四等分邊DC,P1Q1,P2Q2,P3Q3將四邊形ABCD分成四個部分,面積分別為S1,S2,S3,S4.由問題2的結論,易知有：2S2=S1+S3

點評 通過上面我們清楚地看出,問題3,4的別解,其實是對問題2結論的直接運用.這可能是命題者設計的初衷(其中問題4只要求直接寫出含有S1,S2,S3,S4的一個等式,不作理由闡述,可能是為了降低試題難度).

圖12

20110810)