讓學生在問題設計中發現——引導學生“再創造”《矩形判定》的教學研究*

226001 江蘇省南通市教育科學研究中心 符永平

讓學生在問題設計中發現
——引導學生“再創造”《矩形判定》的教學研究*

226001 江蘇省南通市教育科學研究中心 符永平

1 引言

著名的數學教育權威弗賴登塔爾認為，數學教學方式的核心是學生的“再創造”.如何通過數學教學培養學生這種問題意識?訓練學生這種問題意識?一直是筆者多年的追求.應無錫英橋國際學校之邀，筆者上了《矩形判定》的新授課，本文結合課堂實錄與點評，匯報自己的教學思想，以求更多老師幫助.

2 課堂教學實錄與點評

師：同學們，這課我們該學什么了?

生：學矩形判定.

師：為什么?

生：由平行四邊形的學習經驗可知道，幾何圖形的定義、性質學好了就該研究判定了.

師：這條經驗很好!這堂課我想從“學什么?怎么學?”來和同學們探索“矩形判定”，怎么判定矩形呢?

生：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

師：這不是定義嗎?

生：它不僅是定義，而且還是判定.

師：為什么?

生：從等腰三角形、平行四邊形等的學習經驗發現的.

生：定義還可作為性質.

生：定義還是產生其它判定方法最原始的依據.

設計問題1 從定義出發開始研究，根據平行四邊形等的學習經驗來研究矩形，這是學會學習最可貴方法.現在就把定義作為矩形判定的方法一，你能根據它設計一道判斷題.

生：有一個角是直角且對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

師：這題設計得怎樣?大家評評.

生：把平行四邊形換成了對角線互相平分，說法不同，其實一樣，這題好!

師：這個評價不錯，評價的過程是對這個問題最好的解答!下面請看［設計問題2］.結合判定方法一，就少一個直角，能根據邊的長度設計直角?

設計問題2 結合判定方法一設計，已知：?ABCD，且_____，求證：?ABCD是矩形.生：由勾股定理逆定理，三邊長滿足勾股數，確定直角三角形就有了一個直角.

生：已知 AB=3，AC=4，BD=5，從而確定∠A 是直角.

生：還可以AB2+AD2=BD2.

師：聯系已學知識設計問題，不僅發現了新問題，而且能將知識與知識聯系起來，從而把握知識與題型的本質，很好!請看［設計問題3］：由三角形中位線定理可知，MN平行且等于PQ，從而得?MNPQ，但根據定義還是少一個直角.

圖1

設計問題3 結合判定方法二設計，已知：四邊形MNPQ是四邊形ABCD的中點四邊形，且_____.求證：四邊形MNPQ是矩形.

師：?MNPQ各內角大小與對角線AC，BD的夾角有什么關系?有了4個平行四邊形，可知∠NMQ=∠AOC.

生：只要AC⊥BC，就有∠NMQ為直角.

師：這是道好題，設計終于成功……［有了判定方法三，再請用另一方法解答，后面不再說明］

圖2

點評 充分利用學生已有的學習經驗，引導學生“再創造”矩形判定方法，聯系勾股定理和三角形中位線等“再創造”應用判定方法的新題型.這不僅實現了“再創造”，而且強化了學生的學習經驗(如用研究平行四邊形的方法來研究矩形)，加強了知識間的聯系和系統性，從而改善了學生的學習方式，提高了學生“再創造”的寬廣性，減少了對“創造”的神秘感.

師：請看［問題情境1］(多媒體演示：從左上角的第一個盆景開始直行……動態形成四邊均為盆景的排布，同時誦讀“花城江陰，英橋飄香.擺賞盆景，景在幾何?!”)

問題情境1

圖3

生：矩形!

師：為什么?

生：四邊形中有3個角是直角.

師：為什么有3個角是直角的四邊形是矩形?

生：3個角是直角，由四邊形內角和可知第四角也是直角，這樣兩組對角相等成了平行四邊形，滿足矩形定義，所以是矩形.

生：上下、左右兩組直角可分別得出兩組對邊平行，從而得到平行四邊形，滿足定義，所以是矩形.

師：你們以自己的學習經驗，將新問題轉化成平行四邊形研究，用矩形定義“創造”了判定方法二，太好了!結合這個判定方法，請設計幾道判斷題并解答.

生：判斷，有3個角相等的四邊形是矩形.(學生評：這題有創意.)

生：判斷，有四個角是直角的四邊形.(學生評：本題質量不高.)

生：判斷，有四個角相等的四邊形.

生：判斷，有兩個角是直角的四邊形.

師：這些好題還可作為選擇題的選項，課后同學們可繼續“加工”.請同學們看［設計問題4］

設計問題4 結合判定方法二 設 計，已 知，?ABCD 中，_______，求證：四邊形_______是矩形.

生：作垂線，就有直角.

師：請在圖上結合判定二嘗試設計一個矩形?

生：可以作AE⊥BC于E，CF⊥AD于F

師：好!我們又設計出一題證明題，會證明(證明略)?再請看［設計問題5］，∠A與∠B什么關系?能否從這里找到構造直角的突破口?

設計問題5 結合判定方法二設計，已知，如圖，?ABCD 且________，求證：四邊形________為矩形.

圖4

圖5

生：∠A+∠B=180°，有 180°就可構造直角，所以考慮這兩角的角平分線.

生：要3個直角，可現在只有一個直角，還是沒有矩形啊!

師：還有其它180°可找?

生：有4組鄰角的和都是180°……

生：?ABCD四個內角的角平分線分別交于E，F，G，H，求證四邊形EFGH是矩形.

師：漂亮，又是一道好題!會證明?

生：自己參加設計的題目會證得更好，不會證怎么可能設計?

師：對，平時多從試題的形成、變化聯系去訓練自己，其學習效率和效果是可想而知的，我們要養成這種訓練的習慣.

點評 充分利用問題情境變化的“刺激”作用，引導學生“再創造”判定方法二，聯系平行四邊形性質和試題研究的基本方法“再創造”應用判定方法二的新題型，從而提高了學生“再創造”的持久性和探索欲望.

師：請同學們看教具(圖6，四邊用木條做成可活動)在BD(紅塑料線)縮短，另一對角線(白色松緊帶)變長的過程中，?ABCD變化情況.

生：因為平行四邊形對邊相等，所以邊不變化.

生：∠ABC，∠ADC 變 大，∠A，∠C變小.

生：當∠ABC=90°時，?ABCD成了矩形.

生：當∠ABC=90°時，其余三個角都成了直角.

師：對，從邊角觀察……這就是我們上面發現的兩個判定方法，還有什么發現?

生：在?ABCD成為矩形的過程中，兩條對角線一條變長，一條變短.

師：這給我們什么啟發?

生：會不會對角線相等的平行四邊形也是矩形?

師：偉大的發現總是從問題開始，這問題有質量!請同學們研究.

生：對角線相等能找到直角?師：為什么要直角?

生：必須滿足定義才是矩形.

師：抓住定義是產生判定方法最原始的依據，很好!直接找直角難，我們再從已知出發試試.

生：要證∠BAD=90°，現在只知道∠BAD+∠ADC=180°

生：只要證∠BAD=∠ADC，也就是只要證兩角所在的三角形全等.

師：從已知出發，再從要證的結論向已知“靠攏”，這又是一條重要的解題經驗.

生：三邊對應相等得三角形全等，得證對角線相等的平行四邊形是矩形.

師：我們又成功“創造”了一個判定方法，現請同學們結合［問題情境2］回答.

圖6

問題情境2 結合現實生活設計一道應用判定方法三的實例，你會怎樣檢查一個四邊形門框是不是矩形?

生：若量得有三個角是直角則可判定它是矩形.

生：(1)先測量兩組對邊相等，則可判定它是平行四邊形.

(2)若再測得兩條對角線也相等，則可判定它是矩形.師：很好!再請同學們［設計問題6］

圖7

設計問題6 結合判定方法三設計，已知，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于O，且________，求證：四邊形_______是矩形.

生：加上條件 E，F，G，H 是 AO，BO，CO，DO 的中點，我們可以利用對角線相等的平行四邊形是矩形.

師：很好!要證的四邊形四個頂點一定要是中點?生：還可以AE=BF=CG=DH.

師：從設計特殊問題再設計成一般問題，這里的題目太多了……可本質不變被同學們發現了，太好了!再請同學們［設計問題7］.

圖8

設計問題7 已知，?ABCD的對角線 AC，BD相交于 O，△AOB是等邊三角形，AB=4cm，求∠1的度數.

生：加條件 BO=AO=4，即△ABO就是等邊三角形，∠1=30°，并可設計第二個問題求BD.

生：也可求?ABCD的面積.

生：直接加條件△AOB為等邊三角形.

師：都很好!老師這堂課的收獲太多了……請同學們先說說這堂課的收獲.

生：知道了判定矩形的三個方法(見板書).

圖9

圖10

生：遷移學習平行四邊形的方法研究矩形.

生：設計問題的訓練使我們把原來學過的很多問題聯系起來，變成新問題.很有趣!

生：設計問題……數學題原來就是這么產生的.

生：把矩形轉化為平行四邊形、三角形這是基本方法.

師：學會小結，是學會學習的重要內容，課堂小結我們要養成抓住“學什么?怎么學?”來訓練自己，同學們的小結很精彩……現結合情境3回答問題.

問題情境3

圖11

生：第一個問題38的，第二個問題是49，因為矩形的對角線相等.

師：第一個問題回答是正確的，第二個問題49盆是錯誤的，這是一盆盆智慧的花，人生幾何，幾何人生，但愿同學們帶著這些幾何問題生成更多的智慧之花來點綴美麗的人生!(本堂課結束)

點評 充分利用教具實驗中的變化規律啟發學生，引導學生“再創造”判定方法三，聯系矩形性質“再創造”應用判定方法三的新題型，從而提高學生“再創造”的漸進性和趣味性.

師：三個角是直角的四邊形是矩形，這是我們的猜想，如何證明?

生：結合定義，即滿足定義可證得了.

師：對，這位不舉手的同學能告訴我有什么困難?

生：有3個直角我不知道用?

師：定義怎么說的?

生：有一個角……

師：什么條件滿足了?

生：一個角是直角滿足了.

師：你怎么這樣謙虛，說不知道，上面不是講得很好?結合定義還要證什么?

生：證平行四邊形.

師：三個直角能證平形四邊形?

生：……我會了!

點評 充分利用學生學習的基礎、能力、習慣等的差異，引導更多的學生參與和欣賞“再創造”活動，通過“創造”培養學生大膽聯想，勇敢猜想，不畏失敗，在優生幫助差生(把差生講懂有成就感，且是最好的鞏固訓練)和差生欣賞優生(原來這些知識和題目我身邊的同學也能“創造”……)的互動活動中利用差異資源.

3 教學隨想

3.1 本課的特點

矩形和平行四邊形的性質和判定，無論是教材編寫的體例，還是核心概念形成與研究方法都有很強的遷移性.從矩形的性質的問題入手，讓學生用研究平行四邊形的方法，引導學生變式問題并解決問題，學生自己“創造”的10道新題出來了，矩形的判定也同時呈現了(就是這些問題中的一些結論)，同學們面對自己探索的成果震憾了……而這些問題的設計與解決過程又起到了例題、鞏固練習題的作用，課堂效率是顯見的.

本課屬于“問題設計”新授課型，適用于遷移性強、知識連貫性強的新授課.其作用是讓新授課成為學生自主探究的“創造”性知識，使知識的生成與發現真正成為學生自己的勞動.操作要義為：最近發展區，遷移.目的是讓學生在學會發現問題、提出問題、延伸問題過程中學會“再創造”，“創造”學生自己的問題，“創造”學生解決問題的方法.

3.2 本課的理論依據

亞里士多德說“求知是人類的本性”.求知的欲望，自由的思考，是創造的必要條件，也是走向創造的充分條件.創造性教學，就是為學生創造思考的自由，激發學生求知的欲望與興趣的教學.創造性教學的實施可由三個起點構建，首先是學生學習的邏輯起點，其次是把握學生學習的現實起點，再次是把握學生知識生成的創新起點，使學生在這三個起點構建的“最近創造區”內自由地挑戰、自由地創造，學生不僅是學習的“再創造”者，還是在教師引領下實現課堂時空開放、教材與課堂超越的主體.

一堂課，一個人的創造嘗試也許很有限，但只要我們齊心努力，不斷發現問題，一定會邁近成功!

20111129)