鋼筋混凝土簡支梁固有頻率的數值計算

楊 斌 谷淡平

0 引言

鋼筋混凝土承彎梁是實際工程中常見的重要構件，其損傷的識別、監測對于確保整個構筑物的安全，評估其服役狀態，都具有重要的意義。深入了解鋼筋混凝土梁的振動特性，是采用動力破損評估法對其損傷進行辨識、監測的前提和基礎[1］。

本文通過振型函數導出了求解梁橫向振動固有頻率的微分方程，在基于組合梁理論的基礎上推導了完整鋼筋混凝土梁固有頻率的計算公式，通過對實際簡支梁進行動力試驗，證實了相關理論和計算公式的正確性，能較好的滿足工程需要。

1 簡支梁固有頻率的計算

梁在橫向荷載作用下，在長為l的梁的軸向(x方向)處用相距無限小的dx兩橫向截面截取一微段，設 y(x，t)，θ(x，t)，M(x，t)和Q(x，t)分別表示梁的x截面處在t時刻的撓度、轉角、彎矩和剪力。它們必須滿足以下微分關系[2］:

其中，EI(x)，ρl(x)分別為所取微段處的截面抗彎剛度和單位長度的質量。

從式(1)可以得出:

由于梁在任一點、任一時刻的撓度可表示為無數簡諧振動下撓度的疊加，利用分離變量法[3］，設第m階簡諧振動的頻率是ωm，再設Tm(t)，Ym(x)分別為振幅函數和振型函數，則在一定邊界條件下式(4)的解可表示為[4］:

由于撓度函數y(x，t)具有與時間無關而確定的振型特性[5］，為求出各種振型函數對應的頻率，取y(x，t)=(Acosωt+Bsinωt)Y(x)，代入式(4)可得:

式(6)即為求解梁橫向振動固有頻率的微分方程。

由于EI(x)和ρl(x)在任何截面都相等，則式(6)為四階常系數齊次線性微分方程，求出其通解后根據邊界條件得出積分常數的關系，從而可求出固有頻率ω。

根據簡支梁的邊界條件，由Y(0)=0有:C1+C2+C3=0;由M(0)=Y″(0)=0 有:C1+C2-C3=0，從而 C3=0。再由 Y(l)=0有:C1ekl+C2e-kl+C4sinkl=0;由 M(l)=Y″(l)=0有:C1ekl+C2e-kl-C4sinkl=0，從而C4sinkl=0，顯然 C4不能為0，否則只有平凡解，從而 sinkl=0，故有 kl=nπ(n=1，2，3…)，得出簡支梁固有頻率為:

2 固有頻率參數值計算

鋼筋混凝土梁的橫截面如圖1所示，不計架立鋼筋與箍筋。鋼筋混凝土梁可以視作鋼筋與混凝土兩種材料的組合梁，按照材料力學的基本原理[6］，橫截面上軸力為零，由面矩關系解出中性軸位置坐標:

其中，Ec為混凝土彈性模量;Es為鋼筋彈性模量;As為鋼筋橫截面積，梁的幾何尺寸標示于圖1中。

圖1 梁橫截面幾何參數

根據組合梁的理論，鋼筋混凝土梁橫截面的折算剛度為:

沿梁長度方向取一梁的微段，長度為dx，則此微段的質量為:

此微段的體積為:dV=bhdx。

所以得到折算密度為:

式中:ρs——鋼筋密度;

ρc——混凝土密度。

將式(9)和式(10)代入式(7)可以得到完整鋼筋混凝土簡支梁的固有頻率計算式:

其中，A為梁的橫截面積，A=bh。

3 鋼筋混凝土簡支梁的動力測試

3.1 試驗梁的參數值

試驗梁的物理參數及幾何尺寸如表1所示。根據表中的參數值代入式(11)，可以計算出健康的鋼筋混凝土梁的前四階固有頻率。

表1 試驗梁的參數值

3.2 試驗測試及方法

試驗測試系統采用杭州億恒科技有限公司的AVANT動態信號測試分析儀，該系統采用錘擊法對試件施加瞬態脈沖激勵，計算機用專用信號處理軟件對激勵及響應信號進行分析，從而得到系統的傳遞函數。

本試驗在梁上布置若干測點，采用多點激勵，單點測響應信號的方法采集試驗數據。

振動測試示意圖如圖2所示。

圖2 振動測試示意圖

3.3 試驗結果

將采集到的頻響數據導入ME′scopeVES可視化模態分析軟件中，采用峰值拾取法[7］，識別出梁的固有頻率。試驗實測結果如表2所示。

表2 固有頻率理論值及實測值

4 結語

梁的橫向振動固有頻率的計算在實際工程中有極其重要的意義，通過振型函數導出了求解梁橫向振動固有頻率的微分方程，在基于組合梁理論的基礎上推導了完整鋼筋混凝土梁固有頻率的計算公式，并通過試驗進行了驗證。加深了對固有頻率的認識和理解，為進一步研究結構振動分析打下基礎。

[1]Neda Baghiee，M.Reza Esfahani，Kazem Moslem.Studies on damage and FRP strengthening of reinforced concrete beams by vibration monitoring[J］.Engineering Structures，2009(31):875-893.

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[4]陳英杰，付寶連.直梁橫向振動固有頻率的一般表達式[J］.燕山大學學報，2001，25(2):172-176.

[5]李欣業，劉麗冰.計算梁橫向振動固有頻率的功能互等法[J］.力學與實踐，1998，20(6):62-64.

[6]單輝祖.材料力學[M］.第2版.北京:高等教育出版社，2004.

[7]曹樹謙，張文德，蕭龍翔.振動結構模態分析[M］.天津:天津大學出版社，2001.