測定雙軸磁傳感器正交度的橢圓擬合法

李 偉，盧俊杰

（中國船舶重工集團公司第七一〇研究所，湖北 宜昌 443003）

0 引言

磁傳感器的正交度是雙軸或三軸磁傳感器的重要指標，在精密磁測量領域［1］和高精度磁羅盤的應用場合［2］，以及高分辨力的磁場探測領域，該指標尤為重要。目前工程上常用的磁傳感器正交角度的測試方法是磁場投影法。

磁場投影法對設備的要求較高，需要精密的磁場產生設備——磁場線圈，同時，操作步驟復雜，需要完成磁傳感器的軸與磁場線圈的軸對準操作（該操作為精密裝配操作，耗時較長）。鑒于磁場投影法的上述缺點，本文提出了一種利用橢圓擬合測定雙軸磁傳感器正交角度的方法。

1 橢圓擬合及其算法

為了比較橢圓擬合測定雙軸磁傳感器正交角度的方法和磁場投影法，先簡要介紹磁場投影法。

1．1 磁場投影法

磁場投影法的示意圖如圖1：待測定x軸與y軸的夾角α，則在x軸方向上施加磁場B，測量y軸的輸出記為By，則依據矢量的投影定理有：

式（1）中，磁場B、磁傳感器的輸出By均由標準的磁測量儀器測定。

圖1 磁場投影法的示意圖Fig．1 Principle schematic of magnetic field projecting algorith m

1．2 橢圓擬合及其算法

橢圓擬合是計算機視覺中的常見問題，在圖像處理、機器視覺、模式識別等領域都有廣泛的應用［3］。

二次曲線方程的一般形式為［4］：

當式（2）滿足約束條件式（3）時，該二次曲線為橢圓。

當二次曲線為橢圓時，對于式（2）的A、B、C、D、E、F這六個參數可以采用最小二乘法來進行求解，即最小二乘法橢圓擬合。設觀測點坐標為（xi，yi），其中i＝1～n，則利用式（2）可以構建線性方程組，如下：

式中，i＝1～n且（n≥5）。

上述線性方程組寫成矩陣形式如下：

當測點數n＝5時，線性方程組有唯一解。

當測點數n＞5時，方程（6）為矛盾方程，一般用最小二乘法求解。此時方程（6）的最小二乘解為［5］：

將上述最小二乘結果代入式（2）即可求出橢圓曲線的一般方程：

1．3 兩個單頻正弦信號的合成軌跡

法國科學家Jules Lissajous1875年在法國巴黎科學院發表的論文中用李薩如（Lissajous）圖形來表征兩個單頻正弦信號的合成輸出［6］。當兩個信號的頻率相同時，李薩如圖形為橢圓。設有兩個正弦信號，其幅度分別為A1、A2，角頻率均為ω，初相角分別為ψ1、ψ2，其數學表達式如式（9）所示：

定義相差α＝ψ1－ψ2，以式（9）中的X為橫坐標，Y為縱坐標，繪制出不同相差的李薩如圖形，如圖2所示。

圖2 不同相位差的李薩如圖形Fig．2 Lissajous figures vs phase－difference

2 測定雙軸磁傳感器正交度的橢圓擬合法

2．1 相位差—縱向坐標差的轉換

將雙軸磁傳感器置于水平轉臺上旋轉一周，此時磁傳感器所測得的磁場是地磁場B。記雙軸磁傳感器的輸出分別為Bx、By，其對應的靈敏度分別為Sx、Sy，磁傳感器兩軸間的夾角為α，傳感器的零點參數分別為X0、Y0，則雙軸傳感器的輸出為：

式（10）中，φx、φx±α分別為磁傳感器x軸初始相位和y軸初始相位，φx對應于磁傳感器的初始方位，該參數由裝夾時決定。α為傳感器的固有特性，主要取決于磁傳感器的機械安裝誤差。將雙軸磁傳感器在水平面內轉動一圈，記錄對應的角度和磁傳感器的輸出，在同一坐標系中繪制雙軸磁傳感器的輸出曲線，可得到如圖3所示的圖形。

圖3 雙軸磁傳感器的輸出曲線Fig．3 Output of dual－axis magnetic sensor

圖3 中，輸出曲線的相位差φx－φy即為雙軸磁傳感器的夾角，曲線的峰峰值對應于磁傳感器的靈敏度參數，曲線的直流分量對應于磁傳感器的零點參數。通過數學方法求解出曲線的解析表達式，即可求出傳感器兩軸之間的夾角。

按照李薩如圖形的合成軌跡方法，將式（10）中的Bx、By繪制成圖形，其中Bx映射到x軸，By映射到y軸，如圖4所示。

圖4 雙軸磁傳感器的李薩如圖形Fig．4 Lissajous figure of dual－axis magnetic sensor

圖4 中，橢圓的中心由磁傳感器的零點確定。橢圓上縱坐標的極值點P（xP，yP）、Q（xQ，yQ）由式（10）中By來確定，由式（10）有：

如圖4所示，記線段PQ的長度為S，則由式（11）可得：

取式（10）中x軸的相位為0值，即φx＝0，則此時有：

式（13）對應于圖4中橫坐標x＝X0的點，亦即M（xM，yM）、N（xN，yN）兩點，即 M 點坐標為（X0，BSysinα＋Y0），N點坐標為（X0，－BSysinα＋Y0）。記圖4中線段MN 的長度為T，由式（13）可得：

聯立式（12）、式（14）兩式，可得到：

由式（15）可知，只需要求得圖4中的線段長度T、S值，亦即只要能求得擬合橢圓上P、Q、M、N四點的坐標，則磁傳感器的夾角可以由式（15）求得。

2．2 線段長度S、T的求解

由圖4知欲求線段長度S、T，只需求得擬合橢圓上P、Q、M、N四點的縱坐標即可，即：

圖4中P、Q分別為由擬合橢圓方程（8）所確定的隱函數y（x）的極大值點和極小值點，則根據高等數學中求解極值點的一般方法，令H（x，y）＝ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f，則結合式（16）～式（21）可以解得S、T 的關于a、b、c、d、e、f的表達式如下：

2．3 雙軸磁傳感器正交角度測定步驟

根據上述分析，橢圓擬合法測定雙軸磁傳感器正交度的方法的測定步驟如下：

1）將待測雙軸磁傳感器放置在水平轉臺上，旋轉水平轉臺，測定至少5個不同測試點的雙軸磁場數據。

2）根據1．2節所述的橢圓擬合及其算法，利用步驟1）所測得的試驗數據進行橢圓擬合，得出該傳感器的橢圓方程。

3）將步驟2）中橢圓方程的參數代入式（22）、式（23）求出S、T。

4）將步驟3）所求的S、T值代入式（15）即可求出雙軸磁傳感器的正交角度。

3 磁傳感器的實際測定

為驗證本文提出算法的正確性，特隨機挑選了1臺磁傳感器按照上述2．3節的測定步驟進行測試。所用磁傳感器為國防弱磁一級計量站的Mcc201型數字磁傳感器，如圖5所示。

圖5 磁傳感器測試圖Fig．5 Ort hogonality measurement of dual－axis magnetic sensor

Mcc201型數字磁傳感器有內置的ADC芯片，直接輸出數字量，故無需電壓表來測量電壓。調整轉臺使磁傳感器水平放置，轉動轉臺，記錄磁傳感器兩個通道的輸出電壓數據，無需記錄轉臺的刻度，得到表1的記錄數據。

依據式（6）、式（7）、式（8）對表1的磁傳感器實測數據進行最小二乘橢圓擬合，得到橢圓參數如表2所示。同時可得到如圖6所示的李薩如圖形。

表1 磁傳感器實測數據表格Tab．1 Output data of dual－axis magnetic seneor

表2 擬合橢圓參數表Tab．2 Fitted ellipse parameters

圖6 磁傳感器對應的李薩如圖形Fig．6 Lissajous figure of the sample dual－axis magnetic sensor

根據式（15）、式（22）、式（23）可以求出，所測得的磁傳感器兩個軸的正交度，即磁傳感器兩軸之間的夾角為：

為驗證本文提出的方法的正確性，可用磁場投影法進行比對。將磁傳感器放置在均勻磁場線圈中，按照1．1節中所述的方法，將測量值代入式（1）、式（2）進行計算得出磁場投影法測得的雙軸磁傳感器的正交角度為87．10°，與橢圓擬合法測的結果大約只相差0．02°——該差別主要是由磁場投影法的安裝和讀數誤差所致。兩種方法比對的結果表明橢圓擬合法的測量結果是正確的。

由于磁矢量投影法對磁傳感器的安裝有精密的位置對準要求，因此磁傳感器的安裝誤差將直接影響到測量結果的精度。另外磁場線圈的均勻度和穩定度也直接影響磁矢量投影法的測量精度。橢圓擬合測定雙軸磁傳感器正交度的方法完全消除了安裝位置偏差帶來的誤差和磁場線圈帶來磁場誤差，因而可達到較高的測量精度。

4 結論

文中所提出的利用橢圓擬合測定雙軸磁傳感器正交度的方法，首次將磁傳感器的雙軸輸出和李薩如圖形結合起來，利用磁傳感器輸出構成的橢圓參數來解算雙軸磁傳感器的正交角度。實測實驗表明，利用橢圓擬合測定雙軸磁傳感器正交度的方法可獲得比磁矢量投影法更高的測量精度。

同時，從上述試驗過程可以看出，文中提出的測量方法主要是基于算法層面的數據處理，將橢圓擬合法測定雙軸磁傳感器正交度的方法編制成相應的測試軟件后，可以進行雙軸磁傳感器的批量化測試。最后，這種測定正交度的算法也可以為實時修正磁場矢量探測的正交誤差提供參考。

［1］朱兆才．三分量磁通門磁變儀探頭正交誤差對定向的影響［J］．東北地震研究，2004，20（2）：70－75．

［2］李珊，范大鵬，張志勇，等．三軸磁羅盤的高精度誤差補償算法研究［J］．傳感器世界，2005（9）：19－22．LI Shan，FAN Dapeng，ZHANG Zhiyong，et al．A highaccuracy algorith m of err or co mpensation for three－axis magnetic compasses［J］．Sensor World，2005（9）：19－22．

［3］史連艷，宋文淵，王紅云．基于旋轉因子的磁傳感器誤差補償改進橢圓法［J］．探測與控制學報，2010，32（2）：5－8．SHI Lianyan，SONG Wenyuan，WANG Hongyun．Improved ellipse met hod f or error co mpensation of magnetoresistive sensors based on rotation factors［J］．Journal of Detection ＆ Contr ol，2010，32（2）：5－8．

［4］劉科利，姚吉利．點位分布與橢圓擬合精度關系研究［J］．山東理工大學學報（自然科學版），2010，24（4）：61－64．LIU Keli，YAO Jili．The relationship bet ween distribution of measuring point and ellipse fitting accuracy［J］．Jour nal of Shandong Unirersity of Technology（Science and Technology），2010，24（4）：61－64．

［5］陳凱，劉青．一種隨機化的橢圓擬合方法［J］．計算機工程與科學，2005，27（6）：48－50．CHEN Kai，LIU Qing．A new rando mized method of ellipse fitting［J］．Computer Engineering and Science，2005，27（6）：48－50．

［6］李德堡．工程振動試驗分析［M］．北京：清華大學出版社，2004．