線性系統(tǒng)調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)與內(nèi)模原理

王 路，馮江濤

(1太原高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)開發(fā)區(qū)管理局，山西 太原 030006;2山西大學(xué) 工程學(xué)院，山西 太原 030012)

一個閉環(huán)系統(tǒng)必須具有抵抗外部干擾的穩(wěn)定性，而且還能達(dá)到輸出調(diào)節(jié)，即被控量仍然能夠跟蹤給定值信號，為此需要設(shè)計(jì)調(diào)節(jié)器。如果系統(tǒng)狀態(tài)和外擾狀態(tài)都可直接測量時，即可作純增益調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)。否則，設(shè)計(jì)時應(yīng)在調(diào)節(jié)器內(nèi)部增加內(nèi)模，才能消除外擾的影響，使此閉環(huán)系能達(dá)到漸近穩(wěn)定，而且有滿意的動態(tài)特性。

1 純增益調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)［1］

設(shè)所研究的裝置為

如果存在控制

使閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定且靜態(tài)無差，則稱式(4)或(F1，F(xiàn)2)為一個純增益調(diào)節(jié)器。

在純增益調(diào)節(jié)器作用下，閉環(huán)系統(tǒng)如圖1所示。

當(dāng)線性受控系統(tǒng)存在外擾x2(t)，如果系統(tǒng)狀態(tài)x1(t)和外擾狀態(tài)x2(t)均可以直接測量時，也就是外擾狀態(tài)可直接測量的綜合，即稱為純增益調(diào)節(jié)器，這是一種簡單的情況。

圖1 在純增益調(diào)節(jié)器作用下的閉環(huán)系統(tǒng)方塊圖

對此，我們使用狀態(tài)反饋矩陣F1和F2。F1保證閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，且使其有滿意的動態(tài)性能，稱F1為鎮(zhèn)定矩陣。矩陣F2的作用是使系統(tǒng)輸出y(t)不受擾動的影響，稱F2為伺服矩陣，要形成外擾狀態(tài)的補(bǔ)償通道。

［命題1］系統(tǒng)式(1)、式(2)、和式(3)存在純增益調(diào)節(jié)器的充分必要條件為存在矩陣x和u，使得

我們在設(shè)計(jì)純增益調(diào)節(jié)器時，應(yīng)先選擇F1，由于(A1，B1)能控(能穩(wěn))，利用狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置的方法，可選擇F1使A1+B1F1有滿意的極點(diǎn)。然后，再使用式(5)與式(6)，求出x與 u，通過 F2=F1x－u求出F2，達(dá)到無靜差調(diào)節(jié)，即得u=F1x1+F2x2，即為純增益調(diào)節(jié)器。

2 基于內(nèi)模原理的調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)x1(t)和外擾狀態(tài)不可直接測量時，用直接狀態(tài)反饋控制規(guī)律u=F1x1+F2x2設(shè)計(jì)系統(tǒng)是不可能的，應(yīng)該考慮重構(gòu)狀態(tài)反饋的控制規(guī)律。當(dāng)受控系統(tǒng)的A和C完全能觀測時，可構(gòu)造狀態(tài)觀測器，重構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)。

設(shè)系統(tǒng)式(1)、式(2)和式(3)的一個控制器為

為了簡便起見，今后將此控制器簡單記為(Vxc:Ac，Bc，F(xiàn)c，F(xiàn))。式中，xc為 nc維控制器狀態(tài)向量;Ac，Bc，F(xiàn)c，F(xiàn) 分別為具有相應(yīng)階數(shù)的矩陣。在此控制器的作用下，閉環(huán)系統(tǒng)滿足:①閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定;②達(dá)到靜態(tài)無差，即對任意初值x1(0)、x2(0)和 xc(0)，有

在調(diào)節(jié)器作用下，閉環(huán)系統(tǒng)如圖2所示。

［命題 2］［3］若控制器(Vxc:Ac，Bc，F(xiàn)c，F(xiàn))使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，則它使系統(tǒng)達(dá)到輸出調(diào)節(jié)的充分必要條件為存在矩陣x和u，使

圖2 在調(diào)節(jié)器作用下的閉環(huán)系統(tǒng)方塊圖

2.1 調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)

調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)主要分二步:①設(shè)計(jì)一個純增益調(diào)節(jié)器;②對增廣系統(tǒng)構(gòu)造觀測器，利用觀測器對x=［x1x2］T的估計(jì)值取代純增益調(diào)節(jié)器中x的反饋，則求得調(diào)節(jié)器。構(gòu)造調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)思想與設(shè)計(jì)輸出動態(tài)反饋補(bǔ)償器相似。

這個增廣系統(tǒng)表述為

式中:

這個增廣系統(tǒng)的狀態(tài)空間為Vx=Vx1Vx2

根據(jù)假定(C1，A1)是能觀的(能檢測的)。如果(C，A)不完全能觀(不能檢測)，容易看出，不能觀部分屬于Vx2，即在 Vx2中存在一個子空間 Vx22，使Vx2=Vx21Vx22，Vx22為不能觀部分等。那么，Vx22中的所有狀態(tài)對于輸出絲毫沒有影響，也就是對輸出調(diào)節(jié)沒有任何影響。因此，總可假定Vx2=Vx12。

(1)選擇F1。使 A1+B1F有滿意的極點(diǎn)(穩(wěn)定)。

(2)選擇F2。由式(5)和式(6)可解出u和x1，再令

(3)構(gòu)造純增益調(diào)節(jié)器

(4)構(gòu)造增廣系統(tǒng)的觀測器，由于(C，A)是能觀的，可選擇Bc，使A+BcC有滿意的極點(diǎn)(穩(wěn)定)。這樣可構(gòu)造增廣系統(tǒng)式(12)和式(13)的觀測器為

式中，xc= ［xc1xc2］T是對x= ［x1x2］T的估計(jì)值。

(5)構(gòu)造控制器。用x的估計(jì)值xc取代純增益調(diào)節(jié)器(15)中的x進(jìn)行反饋，得

或記為

2.2 設(shè)計(jì)方法

［例］設(shè)裝置的狀態(tài)方程為

外部輸入方程為

輸出方程為

設(shè)計(jì)一個調(diào)節(jié)器，并使閉環(huán)系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)為-2、-2、-1、-1、-2。

解:容易驗(yàn)證系統(tǒng)滿足本文的基本假定及有關(guān)條件，因而存在調(diào)節(jié)器。調(diào)節(jié)器構(gòu)造的步驟如下:

(2)求F2。矩陣方程式為

解得

由式(14)，則得 F2=F1x－ u=－［1 2］T。

(3)純增益調(diào)節(jié)器為

(4)構(gòu)造增廣系統(tǒng)的觀測器

由式(15)、式(16)和式(17)可知，增廣系統(tǒng)為

根據(jù)構(gòu)造觀測器的方法，可求極點(diǎn)為－1、－1、2的觀測器為

(5)構(gòu)造調(diào)節(jié)器，以xc取代純增益調(diào)節(jié)器中x=［x1x2］T，得控制規(guī)律為

經(jīng)簡單計(jì)算得調(diào)節(jié)器為

2.3 內(nèi)模原理

由命題1可知，對于如式(7)和式(8)形式的調(diào)節(jié)器必有

U可看成映像U:Vx2→Vxc(可以證明U是一一映射)，則上式等價于圖3。

圖3 映像交換圖

我們知道Ac決定了調(diào)節(jié)器的動態(tài)特性，它是調(diào)節(jié)器的主體部分;A2代表著外部輸入模型。圖3是可交換的，即式(20)成立，這意味著外部輸入模型通過映像嵌入到調(diào)節(jié)器，即調(diào)節(jié)器包含外部輸入模型，這就是調(diào)節(jié)器的內(nèi)模原理。事實(shí)上，正是因?yàn)檎{(diào)節(jié)器內(nèi)包含外部輸入模型，它才有可能使閉環(huán)系統(tǒng)得到輸出調(diào)節(jié)，消除外部輸入對系統(tǒng)的影響。

為了進(jìn)一步說清這個問題，研究調(diào)節(jié)器的狀態(tài)方程包含外部輸入模型為=0。為了能更清楚地看到調(diào)節(jié)器中包含外部輸入模型，在調(diào)節(jié)器的狀態(tài)空間中進(jìn)行如下坐標(biāo)變換:

坐標(biāo)變換后，調(diào)節(jié)器化為

利用式(9)和式(10)可解得u=［0 0 1］T。

因此，U:Vx2→Vxc的像子空間為

故

其中x'c3=0即為外部輸入在調(diào)節(jié)器中內(nèi)模，圖4清楚地反映了這一點(diǎn)。

內(nèi)模原理就是在閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件下，系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)漸近跟蹤和擾動抑制，基本原理在于內(nèi)模產(chǎn)生的補(bǔ)償作用，這就要求系統(tǒng)包含一個一階和二階積分環(huán)節(jié)，等價把它們看成是嵌入系統(tǒng)的階躍函數(shù)型和斜坡函數(shù)型參考輸入模型即內(nèi)模。

內(nèi)模原理的特點(diǎn)，與經(jīng)典控制理論中的一階、二階無靜差控制相比，內(nèi)模原理所揭示的是無靜差跟蹤控制(輸出調(diào)節(jié))系統(tǒng)結(jié)構(gòu)組成上的一般規(guī)律［2］。

圖4 調(diào)節(jié)器和外部輸入模擬方塊圖

3 結(jié)語

本文通過兩個命題的引入，結(jié)合例題給出了調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)方法和步驟，說明了具有內(nèi)模原理調(diào)節(jié)器的魯棒性，即受控系統(tǒng)和補(bǔ)償器的參數(shù)產(chǎn)生攝動時，即使攝動范圍相當(dāng)大，只要閉環(huán)控制系統(tǒng)保持為漸近穩(wěn)定，則系統(tǒng)必仍具有輸出調(diào)節(jié)(無靜差跟蹤)的屬性，從而在過程控制領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用

［1］ 楊晉萍.在外擾時純增益調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)［J］.太原:電力學(xué)報(bào)，2010.4

［2］ 鄭大鐘.線性系統(tǒng)理論［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2002年第2版

［3］ 涂莑生，董達(dá)生.多變量線性控制系統(tǒng)［M］.北京:煤炭工業(yè)出版社，1998年