“信號處理”課程中三種信號分析方法的比較

張海燕，方 勇，彭章友

(上海大學通信與信息工程學院，上海 200072)

小波分析、希爾伯特黃變換HHT(Hilbert Huang Transform)在數學、信號分析、地震勘探數據處理和機械故障診斷等許多領域已取得了具有科學意義和應用價值的重要成果。

在信號處理教材中，信號頻譜分析的基本方法是經典的傅里葉變換。教師所教和學生所學的是傅里葉變換的定義和性質，而對其工程應用以及應用上的局限性卻了解不多。我們在講授本科生“信號與系統”和“教學信號處理”課程時，感到將傅里葉變換經典理論和最新技術相互融合是教學改革的一個方向［1］。為此本文介紹了傅里葉變換、小波變換和HHT三種頻譜分析方法，利用一個簡單非平穩信號，比較這三種頻譜分析方法，利用新的分析方法來解決工程實際問題。

1 三種譜分析方法的特點

傳統的傅里葉分析是一種純頻域的分析方法，如果一個信號函數f(t)L2(R)(R為實數)代表模擬信號，且能量有限，其Fourier變換為［1］

它用頻率不同的各復正弦分量的疊加來擬合原函數，也即用F(ω)來分辨 f(t)。但是，F(ω)只能刻畫f(t)在整個時間域(-∞，∞)上的頻譜特征，不能反映出信號在時間的局部區域上的頻率特征，特別是非平穩信號在時間軸上的任何突變，其頻譜將散布在整個頻率軸上。在傅立葉變換中，人們若想得到信號的時域信息，就得不到頻域信息。反之亦然。

小波分析是一種窗口面積固定但時間窗和頻率窗都可改變的時頻局部化分析方法［2］。但這種變換實際上沒有完全擺脫傅立葉變換的局限.且小波變換結果很大程度上依賴于基小波，不同的基小波得到精度不同的結果，基小波的選用往往給研究造成了一定的障礙。

HHT是1998年由Huang等提出的信號處理方法［3］。該方法適用于非平穩的信號分析，被認為是近年來對以傅立葉變換為基礎的穩態譜分析的一個重大突破。但HHT在低信噪比時性能下降，在對信號用HHT分析之前，需要進行預處理以降低噪聲。

HHT變換完全獨立于傅立葉變換，有如下兩個主要步驟:①對原始數據進行預處理，即通過EMD(Empirical Mode Decomposition)方法，把數據分解為滿足Hilbert變換要求的一系列固有模式函數IMF(Intrinsic Mode Decomposition;②對分解出的每一階IMF做Hilbert變換，得出各瞬時頻率，匯總所有IMF分量得到原始非平穩信號的Hilbert譜。

2 簡單非平穩信號頻譜分析方法舉例

本文應用上面介紹的三種方法對一個非平穩信號進行分析。我們通過對分析結果的比較，說明在信號處理中引入新方法的必要性。

假定一個頻率突變的正弦信號，在1s之前的頻率是10Hz，在1s之后的頻率突變為20Hz，其表達式寫為［4］

該信號的時域波形如圖1(a)所示，該正弦信號不存在噪聲干擾。從圖1可以看出，Fourier譜小波變換和HHT譜一樣都可以反映信號的頻率特征，也即包含了10Hz和20Hz兩種頻率成分，但精確度卻有差別。圖1(b)給出了Fourier頻譜。

圖1(c)所示的Morlet基小波變換譜，在10Hz和20Hz附近的頻率分辨率比較差。這是由于小波變換本質上是一種窗口可調的傅里葉變換，如果增加頻率分辨率，便會降低時域分辨率。同時，小波變換不能脫離選擇基函數的困擾，運用不同的基小波其結果也會相差很遠。與Fourier譜和小波變換譜相比，圖1(d)所示的HHT譜的分辨率在10Hz和20Hz處更具有頻率聚焦性，分辨率較高。

圖2給出了Haar和Gaussian基的小波變換譜。圖2(a)中Haar小波基20Hz分量的頻譜較寬，10Hz的頻譜峰值只是略微能夠觀察到。圖2(b)中10Hz和20Hz處的頻譜峰值出現不同程度的偏移。與圖1(c)中Morlet基小波變換譜比較可見，Morlet小波基的頻譜特性較好，其頻譜峰值與兩個頻率分量具有較好的對應性。

圖1 正弦信號及其頻譜

圖2 正弦信號Haar和Gaussian基小波變換譜

圖3給出了不同信噪比下正弦信號的HHT頻譜。可以看到，低信噪比如(SNR=10dB)時 HHT的頻譜嚴重失真，不能區分10Hz和20Hz兩種頻率成分。隨著信噪比的提高，頻譜分辨率提高，在信噪比達到40dB時即可接近理想情況。而Fourier頻譜和Morlet基小波變換譜在低信噪比時只會引起旁瓣幅度增加，并沒有影響兩個主頻分量。圖4所示為信噪比為10dB時的信號頻譜。

圖3 不同信噪比下正弦信號的HHT譜

圖4 SNR=10dB正弦信號的信號頻譜

3 結語

教學效果成敗的關鍵不在于學生認識和記憶了多少定義和定理，而是能否引導學生運用數學工具分析典型的物理問題［5］。本文通過一些簡單示`例，使學生了解各種信號處理方法的特點以及適用性，引導學生在課堂之外關注信號處理的新方法，為其盡早進入科研領域奠定良好的基礎。

［1］ 鄭君里，應啟珩，楊為理.信號與系統(第二版)［M］.北京:高等教育出版社，2000

［2］ 方勇.數字信號處理－原理與實踐［M］.北京:清華大學出版社，2010

［3］ Huang N E，Shen Z，Long S R.The empirical mode decomposition and Hilbert spectrum for nonlinear and non－stationary time series analysis［M］.Proc.R.Soc.London.A.1998，903-95

［4］ 張海燕等.HHT在Lamb波檢測信號分析中的應用［J］.南京振動、測試與診斷，2010，30(3):223-26

［5］ 鄭君里.信號與系統第二版寫作手記［M］.南京:電氣電子教學學報，2000，22(4):61-63，82