同一個問題 不同的角度

430040 武漢市吳家山第三中學(xué) 吳 波

越來越多的中考壓軸題，在二次函數(shù)的圖象拋物線上架構(gòu)幾何圖形，學(xué)生感覺難度較大，主要原因是思維水平跟不上.本文就充分應(yīng)用習(xí)題，最大限度發(fā)揮習(xí)題的效應(yīng)，發(fā)展學(xué)生的思維作一拋磚引玉，以期待各位同仁的指導(dǎo).

題目如圖1，拋物線y=－x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，交y軸正半軸于C點(diǎn)，D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P在OB的延長線上，且∠PCB=∠CBD，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖1

1 不同的角度求解，培養(yǎng)學(xué)生求異思維

前期基礎(chǔ)分析已知拋物線解析式，能夠求出A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)，A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，D(1，4)，要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，由于點(diǎn)P的位置在x軸上，可將其坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成求線段OP的長，或者把點(diǎn)P看作某條直線與x軸的交點(diǎn)，我們需要求出這條直線的解析式.

思路1首先根據(jù)點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)∠OBC=∠OCB，那么它們的鄰補(bǔ)角也相等.結(jié)合條件∠PCB=∠CBD，那么涉及到的∠PCB和∠CBP構(gòu)成了△PCB，以它為模板構(gòu)造三角形全等.

略解1(如圖2)延長BD交y軸于點(diǎn)Q.

∵OC=OB，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠CBP=∠BCQ，

又BC=CB，∠PCB=∠CBQ，

∴△CBP≌△BCQ，

∴BP=CQ，∴OP=OQ，

∵B(3，0)，D(1，4)，

圖2

∴直線BD的解析式為y=－2x+6，

∴Q(0，6)，

∴P(6，0)

思路2(如圖2)發(fā)現(xiàn)∠OCB=∠OBC后，結(jié)合∠PCB=∠CBD，可以得到∠PCO=∠DBO，而∠PCO，線段OP可以得到直角△PCO，以它為模板構(gòu)造三角形全等.

略解2同上解，證△COP≌△BOQ即可.

點(diǎn)評上述兩種思路，將點(diǎn)P的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成求線段的長度，將線段置入三角形，構(gòu)造出三角形全等，利用已知坐標(biāo)求出線段的長，思維流暢，構(gòu)造順理成章.

思路3(如圖3)由∠PCB=∠CBD，若標(biāo)出PC與BD的交點(diǎn)M，則可得到MC=MB.容易得到∠MCO=∠MBO，若連接OM，得到△OMC≌△OMB.若能求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，就可以求出直線CM的解析式，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖3

略解3連OM，易證△OMC≌△OMB，

∴∠COM=∠BOM，

∴直線OM的解析式為y=x，

易知直線BD的解析式為y=－2x+6，

∴M(2，2)，又C(0，3)，

∴P(6，0).

點(diǎn)評從解析法的角度開始思考問題，關(guān)鍵是找出直線PC上的另一點(diǎn)，求出直線PC的解析式，再求點(diǎn)P的坐標(biāo).由條件∠PCB=∠CBD得等腰三角形CMB，可嘗試其頂點(diǎn)M作為直線PC上的另一點(diǎn).進(jìn)而思考頂點(diǎn)M的坐標(biāo)求法.構(gòu)造易，思維指向性很強(qiáng)，步步逼近目標(biāo)求解.

思路4我們很容易發(fā)現(xiàn)∠PCO=∠DBO.要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，就是求線段OP的長，而線段OP在直角△PCO中，嘗試構(gòu)造一個包含∠DBO的直角三角形.

圖4

略解4(如圖4)作DN⊥OB，垂足為N，

易證△PCO∽△DBN，

易知線段CO=3，BN=2，DN=4，

∴OP=6，即P(6，0)

點(diǎn)評點(diǎn)P坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成線段OP的長，目標(biāo)轉(zhuǎn)換很準(zhǔn)確，思維很大膽，構(gòu)造簡單直接.

思路5(如圖5)要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化成求直線CP的解析式，因?yàn)辄c(diǎn)C坐標(biāo)已知，從而轉(zhuǎn)化成求直線CP上另一點(diǎn)的坐標(biāo).怎樣找這一點(diǎn)呢?經(jīng)過演算，可發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B，C，D構(gòu)成一個直角三角形，于是過點(diǎn)B作BE⊥BC交PC于點(diǎn)E，構(gòu)造△DCB≌△EBC.若能求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，就可以求直線CE的解析式，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo).要求點(diǎn)E坐標(biāo)，就先作垂線.過點(diǎn)D，E分別作出坐標(biāo)軸垂線，得△DCM≌△EBN，可求出BN，EN，從而求出點(diǎn)E坐標(biāo).

圖5

點(diǎn)評與思路3思考方向一致，發(fā)現(xiàn)很深入，但求解很復(fù)雜.

以上各種求解思路，涉及全等、相似等基本知識，包含轉(zhuǎn)化、構(gòu)造等基本方法，鍛煉學(xué)生求異思維.

2 不同的角度提問，培養(yǎng)學(xué)生求同思維

變式1假設(shè)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，其它條件不變，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

點(diǎn)評原題中，實(shí)際固定了點(diǎn)P的位置.當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時，則其位置可能在第一象限，也可能在第四象限.在第一象限時，按原題求解，在第四象限時，過點(diǎn)C作BD的平行線交拋物線可求解.這樣變式，培養(yǎng)學(xué)生全面思考問題的能力，或者說是分類討論問題的能力.(如圖6)

圖6

圖7

變式2如圖7，在線段BD上有一點(diǎn)N，在拋物線第一象限上是否存在一點(diǎn)M，使四邊形MNCB為等腰梯形，若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

點(diǎn)評在拋物線上架構(gòu)一個等腰梯形，圖形變得復(fù)雜，由于點(diǎn)M，點(diǎn)N位置都未定，誰先確定也是一個問題，思維更復(fù)雜，學(xué)生更難把握.培養(yǎng)學(xué)生分析問題，透過現(xiàn)象看本質(zhì)的能力.(提示：由于四邊形MNCB為等腰梯形，連接MC，則易得∠MCB=∠NBC，和原題一樣.)

圖8

以上各種變式，涉及在拋物線上架構(gòu)四邊形、與三角函數(shù)聯(lián)系，從不同角度看問題本質(zhì)，都可以轉(zhuǎn)化成原題求解，培養(yǎng)學(xué)生的求同思維.

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過思考、探索，發(fā)展思維，要注重數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力.多角度地看同一道問題，最大限度讓每一道習(xí)題發(fā)揮作用，讓學(xué)生學(xué)會分析、學(xué)會構(gòu)造、學(xué)會轉(zhuǎn)化，能切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度和深度.