拆基本圖證幾何題

430300 湖北省武漢市黃陂區實驗中學 程 斌

題目(武漢市2011年九年級四月調考第24題)在等腰△ABC中，AB=AC，分別過點B，C作兩腰的平行線，經過點A的直線與兩平行線分別交于點D，E，連接DC，BE，DC與AB邊相交于點M，BE與AC邊相交于點N.

(1)如圖1，若DE∥CB，寫出圖中所有與AM相等的線段，并選取一條給出證明;

(2)如圖2，若DE與CB不平行，在(1)中與AM相等的線段中找出一條仍然與AM相等的線段，并給出證明.

圖1

圖2

分析第(1)問由平行四邊形對角線互相平分可得與AM相等的線段有AN，BM，CN.第(2)問圖形由特殊到一般且結論開放.

求解在明確結論AM=CN的前提下就證明方法作如下探討.

證明(2)法1利用平行線分線段成比例將原題拆成基本圖3(①～④)

圖3

法2利用三角形相似將原圖拆成基本圖4(⑤～⑦)

圖4

再利用比例性質可得AM=CN.

法3分別延長DB，EC相交于點P，則四邊形ABPC為菱形.

將原題拆成基本圖5(⑧～⑩)

圖5

即證得AM=CN.

法4過點E作AC平行線交BC的延長線于點F，則可得CE=EF.

將原圖拆成基本圖6(○11 ～ ○13)

圖6

由CE=EF可得AM=CN.