微元法在高中物理解題中的應用探討

魯世明

(江蘇省姜堰中學，江蘇 泰州 225500)

·復習與考試·

微元法在高中物理解題中的應用探討

魯世明

(江蘇省姜堰中學，江蘇 泰州 225500)

微元法是解決物理問題的基本思想方法,是利用微積分的思想把復雜的研究對象或物理過程“化整為零”或再“集零為整”使問題得以解決的一種方法.本文重點探討微元法在物理解題中的兩個方面應用,一是取微元作為研究對象,二是微元再求和．

微元法;高中物理解題;應用探討

微元法是解決物理問題的基本思想方法,它貫穿于高中階段的物理知識體系,在高中物理教材的概念、公式的課本教學中不斷滲透微元法的基本思想．微元法在物理解題中的應用有兩個方面:一是取微元作為研究對象,該方法可準確描述變化的物理過程中瞬間狀態;二是微元再求和,該方法是解決物理過程中變量積累問題的重要方法.下面通過例題對微元法這兩方面的應用進行探討．

1 以微元為研究對象

對于連續變化過程中要求解任意點的某個量,而變化過程沒有明確的起始點和終點,或所求點與起始點和終點不能用公式相互聯系起來,即物理量之間關系在全過程是變量,以全過程為研究對象對所求問題無濟于事,取微元為研究對象時又能找到該微元上各物理量之間瞬時關系.這類問題適宜于選取微元為研究對象．

1.1 微元法應用于運動分解

例1.如圖1(a)所示,某人站在岸上通過繞過定滑輪的繩子向岸邊拉船,他拉繩子的速率v不變,當拉船的繩子與水平面成θ角時,船前進的速度u有多大?

(a)

解析：本題沒有明確的起始點和終點,運動學公式又用不上,關鍵是找出所求船速u與繩子速度v的關系,就考慮用微元法,如圖1(b)經極小時間Δt,船從A前進到B,位移Δs=uΔt,繩子拉過位移ΔL=vΔt,O點為滑輪位置,在OA上取OC=OB,則AC=ΔL.

當然此題也可以用運動分解基本定義求解,但微元法求解更有說服力,更能讓學生理解船速u為合速度,而繩速v為分速度．

1.2 微元法應用于動量定理

例2.[2016年全國物理卷Ⅰ第35題(2)]某游樂園入口旁有一噴泉,噴出的水柱將一質量為M的卡通玩具穩定地懸停在空中．為計算方便起見,假設水柱從橫截面積為S的噴口持續以速度v0豎直向上噴出;玩具底部為平板(面積略大于S);水柱沖擊到玩具底板后,在豎直方向水的速度變為0,在水平方向朝四周均勻散開．忽略空氣阻力．已知水的密度為ρ,重力加速度大小為g．求

(1) 噴泉單位時間內噴出水的質量; (2) 玩具在空中懸停時,其底面相對于噴口的高度．

F=Mg，

(1)

在很短Δt時間內,沖擊玩具的微元水柱質量為Δm,

Δm=ρSv0Δt，

(2)

在豎直方向上,對該部分水柱有動量定理

(F+Δmg)·Δt=Δm·v，

(3)

由于Δt很小,Δmg也很小,可以忽略,(3)式可變為

FΔt=Δmv,

(4)

v2-v02=-2gh，

(5)

1.3 微元法應用于平衡問題

例3.如圖2(a)所示,一個半徑為R的細金屬圓環平放在絕緣的光滑水平面上,勻強磁場磁感應強度為B,方向豎直向下,當環中通以順時針方向恒定電流大小為I時,環中張力多大?

(a)

當然,本題選取半個圓環為研究對象用等效法進行求解,方法更簡單．

圖3

1.4 微元法應用于動力學問題

例4.(2013年新課標全國卷Ⅰ第25題)如圖3所示,兩條平行導軌所在平面與水平地面的夾角為θ,間距為L,導軌上端接有一平行板電容器,電容為C,導軌處于勻強磁場中,磁感應強度大小為B,方向垂直于導軌平面.在導軌上放置一質量為m的金屬棒,棒可沿導軌下滑,且在下滑過程中保持與導軌垂直并良好接觸.已知金屬棒與導軌之間的動摩擦因數為μ,重力加速度大小為g,忽略所有電阻．讓金屬棒從導軌上端由靜止開始下滑,求:

(1) 電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關系;

(2) 金屬棒的速度大小隨時間變化的關系．

2 取微元為研究對象再求和

功是力對位移的積累,沖量是力對時間的積累,位移是速度對時間的積累,電量是電流對時間的積累.一些習題中常需要求解一個變化量對另一個量的積累．如非勻速運動的位移,變力做功,非恒定電流流過導體中的電量等．解這類問題需要具體問題具體分析,微元法是基本方法之一．取微元,再結合微元的物理意義,運用數學工具,特別是運用圖像面積求得微元之和．運用該方法在解題中破解難點,找到捷徑常常十分有效．

2.1 微元求和應用于變加速直線運動求位移

例5.如圖4(a)所示,放置在水平桌面上的兩條光滑導軌問的距離L=1 m,質量m=1 kg的光滑導體棒放在導軌上,導軌左端與阻值R=4 Ω的電阻相連,導軌所在位置有磁感應強度為B=2 T的勻強磁場,磁場的方向垂直導軌平面向下,現在給導體棒施加一個水平向右的恒定拉力F,并每隔0.2 s測量一次導體棒的速度,圖4(b)圖是根據所測數據描繪出的導體棒的v-t圖像.(設導軌足夠長,導軌和導體棒電阻不計),估算1.6 s內電阻上產生的熱量.

(a)

2.2 微元求和應用于變化的電流求電荷量

例6.(2017年天津理綜物理卷第14題)如圖5所示,電磁軌道炮利用電流和磁場的作用使炮彈獲得超高速度,其原理可用來研制新武器和航天運載器．電磁軌道炮示意如圖,圖中直流電源電動勢為E,電容器的電容為C．兩根固定于水平面內的光滑平行金屬導軌間距為l,電阻不計．炮彈可視為一質量為m、電阻為R的金屬棒MN,垂直放在兩導軌間處于靜止狀態,并與導軌良好接觸．首先開關S接1,使電容器完全充電．然后將S接至2,導軌間存在垂直于導軌平面、磁感應強度大小為B的勻強磁場(圖中未畫出),MN開始向右加速運動．當MN上的感應電動勢與電容器兩極板間的電壓相等時,回路中電流為0,MN達到最大速度,之后離開導軌．問:

圖5

(1) 磁場的方向; (2)MN剛開始運動時加速度a的大小; (3)MN離開導軌后電容器上剩余的電荷量Q是多少．

解析： 本題是電磁感應與電路、力學知識的綜合,解決這類題目的基本思路是對研究對象正確進行受力分析,弄清運動形式,然后依據相應規律求解.對于第3問,本題開關S接2后,MN開始向右變加速運動,注意電流在變化,安培力在變化,要求電容器上剩余的電荷量Q,關鍵要求出最終穩定時金屬棒MN的速度v．對金屬棒MN可利用動量定理對電流微元i求和得出通過金屬棒MN電荷量q與v的關系,同時結合利用電容器放電通過的電荷量進行求解求出v．

(1) 本題由左手定則易得出磁場的方向垂直于導軌平面向下.(2) 根據歐姆定律結合安培力公式和牛頓第二定律也易得出MN剛開始運動時加速度a=BlE/mR.(3) 當電容器充電完畢時,設電容器上電荷量為Q0,有

Q0=CE.

(1)

開關S接2后,MN開始向右加速運動,對金屬棒MN利用動量定理

BilΔt=mΔv,

(2)

對(2)兩邊變量iΔt和Δv微元求和可得

Blq=mv,

(3)

速度達到最大值v時,MN上的感應電動勢為E′=Blv也是電容器兩端的電壓,所以電容器上剩余的電荷量

Q=BlvC,

(4)

而通過金屬棒的電荷量也就是電容器放電電量

q=Q0-BlvC,

(5)

2.3 微元求和應用于變力做功

例7.如圖6(a)所示,水平細桿MN、CD,長度均為L．兩桿間距離為h,M、C兩端與半圓形細桿相連,半圓形細桿與MN、CD在同一豎直平面內,且MN、CD恰為半圓弧在M、C兩點處的切線．質量為m的帶正電的小球P,電荷量為q,穿在細桿上,已知小球P與兩水平細桿間的動摩擦因數為μ,小球P與半圓形細桿之間的摩擦不計,小球P與細桿之間相互絕緣．在MD、NC連線的交點O處固定一電荷量為Q的負電荷,使小球P從D端出發沿桿滑動,滑到N點時速度恰好為0．(已知小球所受庫侖力始終小于重力),求小球P從D端出發時的初速度．

(a)

解析：本題要求出初速度v0,關鍵是求出從D→N摩擦力的功,而摩擦力是變力,如圖6(b)所示,我們可以取CD、MN上關于O對稱二點P1,P2,對應運動位移微元皆為Δs,摩擦力做功分別為W1,W2．

P1點:f1=μ(mg-F1sinθ)，

W1=-f1Δs.

P2點:f2=μ(mg+F1sinθ)，

W2=-f2Δs.

2.4 微元求和應用于變力沖量

例8.(2017年4月浙江物理卷第22題)間距為l的兩平行金屬導軌由水平部分和傾斜部分平滑連接而成,如圖7所示,傾角為θ的導軌處于大小為B1,方向垂直導軌平面向上的勻強磁場區間Ⅰ中,水平導軌上的無磁場區間靜止放置一質量為3 m的“聯動雙桿”(由兩根長為l的金屬桿cd和ef,用長度為L的剛性絕緣桿連接而成),在“聯動雙桿”右側存在大小為B2,方向垂直導軌平面向上的勻強磁場區間Ⅱ,其長度大于L,質量為m,長為l的金屬桿ab,從傾斜導軌上端釋放,達到勻速后進入水平導軌(無能量損失),桿cd與“聯動雙桿”發生碰撞后桿ab和cd合在一起形成“聯動三桿”,“聯動三桿”繼續沿水平導軌進入磁場區間Ⅱ并從中滑出,運動過程中,桿ab、cd和ef與導軌始終接觸良好,且保持與導軌垂直．已知l=0.5 m,L=0.3 m,θ=30°,B1=0.1 T,B2=0.2 T．ab、cd和ef電阻均為R=0.02 Ω,m=0.1 kg,不計摩擦阻力和導軌電阻,忽略磁場邊界效應．求: (1) 桿ab在傾斜導軌上勻速運動時的速度大小v0; (2) 聯動三桿進入磁場區間Ⅱ前的速度大小v; (3)聯動三桿滑過磁場區間Ⅱ產生的焦耳熱Q．

圖7

-B2ilΔt=4mΔv,

(1)

由閉合電路歐姆定律

i=B2lvi/1.5R,

(2)

由(1)、(2)式得

(3)

對(3)式兩邊微元求和可得

(4)

綜上所述,在用微元法求解過程中,要能洞察物理量之間的聯系,如IΔt→Δq,vΔt→Δx,RΔθ→ΔL,使式子向題中所求的結論或結果方向組合,而這點往往是整個題中的難點所在．同時對取微元后涉及的物理量變與不變要有辯證的理解,即物理量在全過程是變量,但在極短時間Δt內可視為不變量,如勻變速直線運動中,在時間微元內可認為速度是不變的,但位移是變化的,如求非恒定電流的電量時,在時問微元t內可認為電流是不變的,但電荷量是變化的等．

1 閻金鐸編,梁樹森著.物理學習論[M].南寧：廣西教育出版社,1996:81-89.

2 章益.微元法在高中物理中的應用[J].物理教師,2011(5):56-58.

2017-07-30)