軸向磁化永磁軸承的剛度特性分析

張鋼，殷慶振，阮娟，蔣德得，高剛

(上海大學 機電工程與自動化學院，上海 200072)

永磁懸浮是利用永磁體之間的作用力來實現懸浮物體在全部或部分自由度上的穩定懸浮，它不需主動電子控制系統，不僅節省了電力消耗，更重要是省掉了可能失效的復雜的控制系統部件，使系統更加可靠，使用壽命更長，具有結構簡單、工作可靠、無磨損、能耗小等突出優點。永磁軸承可與電磁軸承、機械軸承、空氣軸承和超導體磁軸承等相結合，構成各種形式的磁軸承系統，具有廣泛應用前景[1-2]。

在永磁軸承設計中，磁軸承本身承載能力和剛度十分重要。其承載能力可以通過堆疊以及恰當的結構設計實現高承載力、高剛度來滿足要求。阻尼可以通過引入機械阻尼器、電磁阻尼器來實現轉子系統的動力穩定。

針對永磁軸承力學特性，國內、外學者進行了大量的工作，建立了各自的模型及計算公式[3-6]，但針對永磁軸承支承轉子系統的具體研究還十分不足。下文以軸向磁化的永磁軸承為研究對象，建立永磁軸承的剛度矩陣，分析永磁軸承尺寸參數對各剛度的影響。

1 永磁軸承的分析模型

為便于建立解析模型，取一個動磁環和相鄰的一個靜磁環作為研究對象，建立如圖1所示直角坐標系，一對磁環在坐標系中的坐標為：上磁環中心坐標(0,0,z2)，下磁環中心坐標(0,0,z1)。環外徑為R, 磁環高度為b, 磁環厚度為a。

圖1 單個軸向磁化永磁軸承空間坐標系

2 永磁軸承的剛度矩陣

在懸浮系統中，由于轉子繞z軸轉動，不考慮繞z軸旋轉自由度，因此剛度矩陣是5×5矩陣[7]。

(1)

坐標變換到柱坐標系中，磁體為圓柱體，則Kxx=Kyy=Kr，Kαα=Kββ=Kφ；磁場是保守場，因此剛度矩陣為對稱陣，即Kij=Kji。

在轉子處于中心位置時，沿z軸移動磁環，徑向力始終為零，因此除Kzz=Kz之外，第3行和第3列都為零。

沿x軸移動磁環，力Fy和力矩Mx始終為0，因此，Kyx=Kαx=0；同理Kβα=Kxα=0，Kyβ=Kβy=0。因此在柱坐標系中，5自由度永磁軸承-轉子系統的剛度矩陣可簡化成

(2)

式中：下標r,φ,z分別代表相應矢量在徑向、周向和軸向的分量。

由Earnshaw定律可知[8]：2Kr+Kz=0，因此只需考慮3個未知剛度的值。

2.1 力與力矩的推導

運用等效電流法分析永磁體的受力，由洛侖茲定律可得力的計算公式[9]

(3)

磁學基本公式可得[10]

(4)

(5)

(6)

由上式推導得到圓柱永磁體的軸向力和y軸力矩。

Fz=2πRJφ[Aφ(R,z2+0.5b)-Aφ(R,z2-0.5b)]，

(7)

My=-JφBz(Rcos2φzsinφy-z2cosφzcosφy)+

JφBr(Rsin2φzcosφz+Rz2cos3φzcosφy+

z2cos2φzsinφy)。

(8)

2.2 剛度矩陣表達式

徑向剛度[10]

(9)

傾斜剛度

2aΛ(Ri,z)+a(2R-a)μ0Φ(Ri,z)+

2az(2R-a)Bz(Ri,z)+(3aR2-az2-

(10)

式中：Φ，Λ分別為永磁體的標量勢和矢量勢積分；R1=R；R2=R-a。

耦合剛度

(11)

3 無量綱化和參數影響規律

3.1 尺寸參數對軸向力的影響

使用Matlab編制計算程序，得到無量綱軸向力隨無量綱軸向距離的變化曲線如圖2所示。

圖2 無量綱軸向力隨無量綱軸向距離的變化曲線

(12)

表 1 比例系數Pz值

圖3 比例系數變化曲線

圖4 比例系數變化曲線

分析表1可以得到：當R/a>3時，變化范圍小于2%，即可以忽略外徑對無量綱軸向力的影響。

圖隨和的變化曲線圖

3.2 尺寸參數對徑向剛度的影響

選擇標準徑向剛度為

(13)

圖隨的變化曲線

定義徑向剛度比例系數

(14)

圖7 比例系數變化曲線

圖8 比例系數變化曲線

圖隨和的變化曲線圖

3.3 特定軸向力和徑向剛度的優化

以單位體積產生的軸向力和徑向剛度最大為目標，對一對磁環構成的永磁軸承進行優化。一對永磁軸承所占體積為

V=πb(2a+h)(R0+Ri),

(15)

則單位體積軸向力和徑向剛度為

(16)

圖10 單位體積軸向力隨和的變化圖

在設計中，由于單對磁環剛度有限，為滿足實際要求，可通過采用堆疊的形式來提高剛度。

圖11 單位體積徑向剛度隨和的變化圖

3.4 尺寸參數對傾斜剛度的影響

定義標準傾斜剛度為

(17)

外徑對傾斜剛度的影響如圖12所示。通過圖12可以看出，外徑對傾斜剛度的影響不能像軸向力和徑向剛度那樣忽略。

圖12 比例系數變化曲線

圖隨和的變化曲線圖

3.5 尺寸參數對耦合剛度的影響

定義標準耦合剛度為

(18)

耦合剛度比例系數Pφr為

(19)

耦合剛度隨磁環外徑的變化規律如圖14所示。

圖14 比例系數變化曲線

圖隨和變化圖

4 結論

(1)在軸向力和徑向剛度分析中，當R/a>3時，磁環外徑作為弱影響參數而可以被省略。

(2)在傾斜剛度和耦合剛度分析中，外徑的影響不能被忽略。

(3)當磁環高度和厚度相等時，永磁軸承性能最優。

在永磁懸浮系統中，永磁軸承剛度矩陣中的各個剛度是研究永磁軸承-轉子系統動力學的基礎，它們對永磁軸承-轉子系統的穩定性起著十分重要的作用。