Weibull分布形狀參數對軸承序貫驗證試驗的影響

樓洪梁，李興林，徐現昭，卓繼志，張仰平 ,余忠華

(1. 杭州軸承試驗研究中心博士后科研工作站, 杭州 310022；2. 中國計量學院 質量與安全工程學院,杭州 310018；3.浙江大學 機械系，杭州 310027)

可靠性驗證試驗中，序貫抽樣試驗方法能利用試驗進程中所產生的信息作出判斷，而不必將試驗進行到規定的時間或失效數。所以，在一般情況下相對于定時截尾試驗或定數截尾試驗等一次抽樣試驗方法來講，序貫抽樣試驗方法作出判斷所要求的平均累計試驗時間及平均失效數要少，可有效降低試驗費用[1-2]。序貫抽樣試驗方法應用于Weibull壽命型產品時，既可以是替換試驗，也可以是非替換試驗。驗證指標既可以是可靠度，也可以是失效率等[2-3]。序貫抽樣試驗在應用于Weibull壽命型產品時，一般要求其分布的形狀參數是已知的。然而，由于制造和材料等因素的影響，即使是同一企業生產的同類型產品，其形狀參數也可能不同，更不要說不同企業生產的不同型號產品，這在機械產品中表現尤為突出。對于Weibull分布的序貫試驗，大量研究集中在試驗方案的制定與優化[4-6]，關于形狀參數對序貫試驗方案影響的文獻相對較少，而實踐中又大量存在此類問題[7]。因此，對這一問題展開研究既可以為生產方與使用方提供相對公正的試驗方案，又可以為序貫抽樣試驗相關標準的制定提供理論依據，具有重要的理論與現實意義。

下文以滾動軸承的序貫抽樣試驗為研究背景，根據Weibull壽命型產品序貫驗證試驗理論，研究形狀參數對產品接收概率和拒收概率的影響，并通過模擬試驗定量分析形狀參數發生變化時產品接收概率和拒收概率的變化以及生產方風險和使用方風險的變化。

1 Weibull壽命型產品序貫驗證試驗的思想方法

Weibull分布的概率密度函數f(t)與分布函數F(t)分別為

f(t)=mη-mtm-1e-(t/η)m，

F(t)=1-e-(t/η)m，m,η,t>0,

式中：m為形狀參數；η為特征壽命；t為產品的實際工作時間。

設隨機變量X服從Weibull分布，其概率密度函數記為f(x,θ)，θ為產品序貫驗證試驗的壽命參數。假設產品的合格壽命為θ0，極限壽命為θ1，那么對于樣本總體為f(x,θ)的樣本(x1,x2,…,xn)，隨機變量X1,X2,…,Xn的聯合概率密度函數為

pkn=f(x1,x2,…,xn;θk)，k=0,1。

根據使樣本觀察值出現概率為最大的原則，可確定序貫抽樣驗證試驗的判斷準則為[1]：預先選擇兩個常數A和B(B

如果概率比p1n/p0n≥A，則判定為拒收該批產品，停止序貫驗證試驗；如果概率比p1n/p0n≤B，則判定為接收該批產品，停止序貫驗證試驗。

在序貫驗證試驗中，如果要求產品生產方風險為α和使用方風險為β，那么根據文獻[1],可取A=(1-β)/α，B=β/(1-α)。

進行非替換的序貫驗證試驗時隨機選取N個樣本，在時間t之前有r個失效，ti為第i個樣本的失效時間，以可靠壽命t(0.9)為驗收指標，給定產品的生產方風險α和使用方風險β，以及合格壽命和極限壽命分別為t0(0.9)和t1(0.9)。在產品的形狀參數m已知的情況下，可得到其分布的特征壽命為η=t(0.9)/(-ln 0.9)1/m。根據上述序貫驗證試驗的判斷準則，就可建立Weibull壽命型產品的序貫驗證試驗方案，其繼續試驗的判斷條件為[1]

-h1+sr

(1)

θ0=-[t0(0.9)]m/ln 0.9；

θ1=-[t1(0.9)]m/ln 0.9;r為失效數。

以橫坐標為r、縱坐標為Tr,N(t)建立坐標系，畫出兩條平行直線T1=h0+sr和T2=-h1+sr，其序貫驗證試驗方案如圖1所示。如果Tr,N(t)≥h0+sr，即p1n/p0n≤B，認為該批產品合格、接收，此時[r,Tr,N(t)]在直線T1=h0+sr的上方，稱T1=h0+sr為“合格判定線”；如果Tr,N(t)≤-h1+sr，即p1n/p0n≥A，認為該批產品不合格、拒收，此時[r,Tr,N(t)]在直線T2=-h1+sr下方，稱T2=-h1+sr為“不合格判定線”；如果-h1+sr≤Tr,N(t)≤h0+sr，即B

圖1 序貫試驗方案示意圖

另外，在實際問題中，為了縮短序貫驗證試驗作出判斷的時間，可采用截尾序貫驗證試驗方法，如圖1所示。

2 Weibull分布下形狀參數與接收區間的關系

按照上述方法，從理論上來說，對形狀參數為m的Weibull壽命型產品的序貫驗證試驗應該以合格壽命t0、極限壽命t1、生產方風險α和使用方風險β建立驗收條件。從(1)式及其中的參量間關系可知，驗收條件與形狀參數m有關。然而，對于待檢產品批，其形狀參數m是未知的，即待檢產品批的形狀參數與查表所得的用于建立序貫驗證試驗方案的形狀參數可能不同，有時甚至相差較大，這樣就改變了生產方風險和使用方風險。例如GB/T 24607—2009規定滾動軸承序貫驗證試驗的形狀參數為1.5[8]，但實際上某些軸承的形狀參數可達2.0甚至更大。用于驗證方案的形狀參數與產品的實際形狀參數相差越大，則生產方風險和使用方風險變化也越大。

為便于說明問題，取相同的合格壽命t0(0.9)、極限壽命t1(0.9)、生產方風險α和使用方風險β，形狀參數m分別取1.3和1.5，建立其序貫驗證試驗方案。圖2為進行序貫驗證試驗時的判斷圖。

圖2 不同形狀參數時序貫驗證試驗判斷圖

由圖2可知，用m=1.3建立的序貫驗證試驗判斷準則判定被試產品不合格時(C區)，用m=1.5的準則判定，則產品一定不合格；用m=1.3的準則判定被試產品需要繼續試驗時(B區)，用m=1.5的準則判定，則絕大部分產品不合格；用m=1.3的準則判定被試產品合格時，用m=1.5的準則判定，則部分產品不合格(A區)；用m=1.5的準則判定被試產品合格時，用m=1.3的準則判定，則產品一定合格。由此可見，用較大m建立的準則判定較小m的產品批時，生產方風險增加；反之，用較小m建立的準則判定較大m的產品批時，使用方風險增加。

3 試驗方案模擬評價

對某批軸承進行序貫驗證試驗，標準規定驗收的形狀參數m=1.5。假定其合格壽命t0(0.9)=600 h，極限壽命t1(0.9)=300 h，生產方風險α和使用方風險β均為0.1。取投入試驗的樣本量為截尾數N=9，進行不同序貫試驗判斷準則下的模擬試驗。圖1為驗收條件m=1.5時序貫試驗方案示意圖；圖2為驗收條件m=1.5和m=1.3時序貫驗證試驗的判斷圖。具體模擬試驗按如下步驟進行。

(1)在t0(0.9)=600 h，m=1.5模擬條件下，由計算機每次產生9個隨機數，共產生1 000組，得到驗收條件為m=1.5情況下試驗的模擬接受率；在t1(0.9)=300 h，m=1.5模擬條件下，由計算機每次產生9個隨機數，共產生1 000組，得到驗收條件為m=1.5情況下試驗的模擬接受率。

(2)在t0(0.9)=600 h，m=1.2模擬條件下，由計算機每次產生9個隨機數，共產生1 000組，得到驗收條件為m=1.2情況下試驗的模擬接受率；在t1(0.9)=300 h，m=1.2模擬條件下，再由計算機每次產生9個隨機數，共產生1 000組，得到驗收條件為m=1.2情況下試驗的模擬接受率。

(3)對步驟(2)中t0(0.9)=600 h，m=1.2和t1(0.9)=300 h，m=1.2模擬條件下產生的各1 000組每組9個隨機數用驗收條件為m=1.5接收，得到試驗的模擬接受率。

(4)其他條件不變，在步驟(2)中分別將模擬條件及相應的驗收條件替換為m=1.3，1.4，1.6，1.7，1.8，1.9，重復模擬試驗，得到試驗的模擬接受率。

(5)其他條件不變，在步驟(3)中分別將模擬條件及相應的驗收條件取為m=1.5，重復模擬試驗，得到試驗的模擬接受率。試驗結果見表1。

表1 模擬結果

從表1可知，當模擬數據的形狀參數m與試驗方案的形狀參數相同時，試驗結果的生產方風險和使用方風險與方案的設定值接近，當模擬數據的形狀參數大于試驗方案的形狀參數時，使用方風險大大增加，即大量不該接收的產品批被接收；反之則生產方風險大大增加，即大量該接收的產品未被接收。

4 結束語

以軸承的序貫抽樣試驗為背景，對Weibull壽命型產品的序貫驗證試驗理論與步驟展開研究，并通過模擬試驗定量分析了Weibull分布形狀參數變化時產品接收和拒收概率的變化情況。結果表明：用于驗證的形狀參數與產品批實際的形狀參數相差越大，則生產方風險和使用方風險變化也越大。

對于形狀參數變化較大的產品，如軸承等機械產品，當不能取得較準確的形狀參數時，若用序貫試驗方法驗證產品的可靠性，則生產方或使用方可能會承擔較大的風險。