Weibull分布形狀參數(shù)對軸承序貫驗(yàn)證試驗(yàn)的影響

樓洪梁，李興林，徐現(xiàn)昭，卓繼志，張仰平 ,余忠華

(1. 杭州軸承試驗(yàn)研究中心博士后科研工作站, 杭州 310022；2. 中國計(jì)量學(xué)院 質(zhì)量與安全工程學(xué)院,杭州 310018；3.浙江大學(xué) 機(jī)械系，杭州 310027)

可靠性驗(yàn)證試驗(yàn)中，序貫抽樣試驗(yàn)方法能利用試驗(yàn)進(jìn)程中所產(chǎn)生的信息作出判斷，而不必將試驗(yàn)進(jìn)行到規(guī)定的時(shí)間或失效數(shù)。所以，在一般情況下相對于定時(shí)截尾試驗(yàn)或定數(shù)截尾試驗(yàn)等一次抽樣試驗(yàn)方法來講，序貫抽樣試驗(yàn)方法作出判斷所要求的平均累計(jì)試驗(yàn)時(shí)間及平均失效數(shù)要少，可有效降低試驗(yàn)費(fèi)用[1-2]。序貫抽樣試驗(yàn)方法應(yīng)用于Weibull壽命型產(chǎn)品時(shí)，既可以是替換試驗(yàn)，也可以是非替換試驗(yàn)。驗(yàn)證指標(biāo)既可以是可靠度，也可以是失效率等[2-3]。序貫抽樣試驗(yàn)在應(yīng)用于Weibull壽命型產(chǎn)品時(shí)，一般要求其分布的形狀參數(shù)是已知的。然而，由于制造和材料等因素的影響，即使是同一企業(yè)生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品，其形狀參數(shù)也可能不同，更不要說不同企業(yè)生產(chǎn)的不同型號產(chǎn)品，這在機(jī)械產(chǎn)品中表現(xiàn)尤為突出。對于Weibull分布的序貫試驗(yàn)，大量研究集中在試驗(yàn)方案的制定與優(yōu)化[4-6]，關(guān)于形狀參數(shù)對序貫試驗(yàn)方案影響的文獻(xiàn)相對較少，而實(shí)踐中又大量存在此類問題[7]。因此，對這一問題展開研究既可以為生產(chǎn)方與使用方提供相對公正的試驗(yàn)方案，又可以為序貫抽樣試驗(yàn)相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)的制定提供理論依據(jù)，具有重要的理論與現(xiàn)實(shí)意義。

下文以滾動軸承的序貫抽樣試驗(yàn)為研究背景，根據(jù)Weibull壽命型產(chǎn)品序貫驗(yàn)證試驗(yàn)理論，研究形狀參數(shù)對產(chǎn)品接收概率和拒收概率的影響，并通過模擬試驗(yàn)定量分析形狀參數(shù)發(fā)生變化時(shí)產(chǎn)品接收概率和拒收概率的變化以及生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)和使用方風(fēng)險(xiǎn)的變化。

1 Weibull壽命型產(chǎn)品序貫驗(yàn)證試驗(yàn)的思想方法

Weibull分布的概率密度函數(shù)f(t)與分布函數(shù)F(t)分別為

f(t)=mη-mtm-1e-(t/η)m，

F(t)=1-e-(t/η)m，m,η,t>0,

式中：m為形狀參數(shù)；η為特征壽命；t為產(chǎn)品的實(shí)際工作時(shí)間。

設(shè)隨機(jī)變量X服從Weibull分布，其概率密度函數(shù)記為f(x,θ)，θ為產(chǎn)品序貫驗(yàn)證試驗(yàn)的壽命參數(shù)。假設(shè)產(chǎn)品的合格壽命為θ0，極限壽命為θ1，那么對于樣本總體為f(x,θ)的樣本(x1,x2,…,xn)，隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

pkn=f(x1,x2,…,xn;θk)，k=0,1。

根據(jù)使樣本觀察值出現(xiàn)概率為最大的原則，可確定序貫抽樣驗(yàn)證試驗(yàn)的判斷準(zhǔn)則為[1]：預(yù)先選擇兩個(gè)常數(shù)A和B(B

如果概率比p1n/p0n≥A，則判定為拒收該批產(chǎn)品，停止序貫驗(yàn)證試驗(yàn)；如果概率比p1n/p0n≤B，則判定為接收該批產(chǎn)品，停止序貫驗(yàn)證試驗(yàn)。

在序貫驗(yàn)證試驗(yàn)中，如果要求產(chǎn)品生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)為α和使用方風(fēng)險(xiǎn)為β，那么根據(jù)文獻(xiàn)[1],可取A=(1-β)/α，B=β/(1-α)。

進(jìn)行非替換的序貫驗(yàn)證試驗(yàn)時(shí)隨機(jī)選取N個(gè)樣本，在時(shí)間t之前有r個(gè)失效，ti為第i個(gè)樣本的失效時(shí)間，以可靠壽命t(0.9)為驗(yàn)收指標(biāo)，給定產(chǎn)品的生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)α和使用方風(fēng)險(xiǎn)β，以及合格壽命和極限壽命分別為t0(0.9)和t1(0.9)。在產(chǎn)品的形狀參數(shù)m已知的情況下，可得到其分布的特征壽命為η=t(0.9)/(-ln 0.9)1/m。根據(jù)上述序貫驗(yàn)證試驗(yàn)的判斷準(zhǔn)則，就可建立Weibull壽命型產(chǎn)品的序貫驗(yàn)證試驗(yàn)方案，其繼續(xù)試驗(yàn)的判斷條件為[1]

-h1+sr

(1)

θ0=-[t0(0.9)]m/ln 0.9；

θ1=-[t1(0.9)]m/ln 0.9;r為失效數(shù)。

以橫坐標(biāo)為r、縱坐標(biāo)為Tr,N(t)建立坐標(biāo)系，畫出兩條平行直線T1=h0+sr和T2=-h1+sr，其序貫驗(yàn)證試驗(yàn)方案如圖1所示。如果Tr,N(t)≥h0+sr，即p1n/p0n≤B，認(rèn)為該批產(chǎn)品合格、接收，此時(shí)[r,Tr,N(t)]在直線T1=h0+sr的上方，稱T1=h0+sr為“合格判定線”；如果Tr,N(t)≤-h1+sr，即p1n/p0n≥A，認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格、拒收，此時(shí)[r,Tr,N(t)]在直線T2=-h1+sr下方，稱T2=-h1+sr為“不合格判定線”；如果-h1+sr≤Tr,N(t)≤h0+sr，即B

圖1 序貫試驗(yàn)方案示意圖

另外，在實(shí)際問題中，為了縮短序貫驗(yàn)證試驗(yàn)作出判斷的時(shí)間，可采用截尾序貫驗(yàn)證試驗(yàn)方法，如圖1所示。

2 Weibull分布下形狀參數(shù)與接收區(qū)間的關(guān)系

按照上述方法，從理論上來說，對形狀參數(shù)為m的Weibull壽命型產(chǎn)品的序貫驗(yàn)證試驗(yàn)應(yīng)該以合格壽命t0、極限壽命t1、生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)α和使用方風(fēng)險(xiǎn)β建立驗(yàn)收條件。從(1)式及其中的參量間關(guān)系可知，驗(yàn)收條件與形狀參數(shù)m有關(guān)。然而，對于待檢產(chǎn)品批，其形狀參數(shù)m是未知的，即待檢產(chǎn)品批的形狀參數(shù)與查表所得的用于建立序貫驗(yàn)證試驗(yàn)方案的形狀參數(shù)可能不同，有時(shí)甚至相差較大，這樣就改變了生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)和使用方風(fēng)險(xiǎn)。例如GB/T 24607—2009規(guī)定滾動軸承序貫驗(yàn)證試驗(yàn)的形狀參數(shù)為1.5[8]，但實(shí)際上某些軸承的形狀參數(shù)可達(dá)2.0甚至更大。用于驗(yàn)證方案的形狀參數(shù)與產(chǎn)品的實(shí)際形狀參數(shù)相差越大，則生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)和使用方風(fēng)險(xiǎn)變化也越大。

為便于說明問題，取相同的合格壽命t0(0.9)、極限壽命t1(0.9)、生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)α和使用方風(fēng)險(xiǎn)β，形狀參數(shù)m分別取1.3和1.5，建立其序貫驗(yàn)證試驗(yàn)方案。圖2為進(jìn)行序貫驗(yàn)證試驗(yàn)時(shí)的判斷圖。

圖2 不同形狀參數(shù)時(shí)序貫驗(yàn)證試驗(yàn)判斷圖

由圖2可知，用m=1.3建立的序貫驗(yàn)證試驗(yàn)判斷準(zhǔn)則判定被試產(chǎn)品不合格時(shí)(C區(qū))，用m=1.5的準(zhǔn)則判定，則產(chǎn)品一定不合格；用m=1.3的準(zhǔn)則判定被試產(chǎn)品需要繼續(xù)試驗(yàn)時(shí)(B區(qū))，用m=1.5的準(zhǔn)則判定，則絕大部分產(chǎn)品不合格；用m=1.3的準(zhǔn)則判定被試產(chǎn)品合格時(shí)，用m=1.5的準(zhǔn)則判定，則部分產(chǎn)品不合格(A區(qū))；用m=1.5的準(zhǔn)則判定被試產(chǎn)品合格時(shí)，用m=1.3的準(zhǔn)則判定，則產(chǎn)品一定合格。由此可見，用較大m建立的準(zhǔn)則判定較小m的產(chǎn)品批時(shí)，生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)增加；反之，用較小m建立的準(zhǔn)則判定較大m的產(chǎn)品批時(shí)，使用方風(fēng)險(xiǎn)增加。

3 試驗(yàn)方案模擬評價(jià)

對某批軸承進(jìn)行序貫驗(yàn)證試驗(yàn)，標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定驗(yàn)收的形狀參數(shù)m=1.5。假定其合格壽命t0(0.9)=600 h，極限壽命t1(0.9)=300 h，生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)α和使用方風(fēng)險(xiǎn)β均為0.1。取投入試驗(yàn)的樣本量為截尾數(shù)N=9，進(jìn)行不同序貫試驗(yàn)判斷準(zhǔn)則下的模擬試驗(yàn)。圖1為驗(yàn)收條件m=1.5時(shí)序貫試驗(yàn)方案示意圖；圖2為驗(yàn)收條件m=1.5和m=1.3時(shí)序貫驗(yàn)證試驗(yàn)的判斷圖。具體模擬試驗(yàn)按如下步驟進(jìn)行。

(1)在t0(0.9)=600 h，m=1.5模擬條件下，由計(jì)算機(jī)每次產(chǎn)生9個(gè)隨機(jī)數(shù)，共產(chǎn)生1 000組，得到驗(yàn)收條件為m=1.5情況下試驗(yàn)的模擬接受率；在t1(0.9)=300 h，m=1.5模擬條件下，由計(jì)算機(jī)每次產(chǎn)生9個(gè)隨機(jī)數(shù)，共產(chǎn)生1 000組，得到驗(yàn)收條件為m=1.5情況下試驗(yàn)的模擬接受率。

(2)在t0(0.9)=600 h，m=1.2模擬條件下，由計(jì)算機(jī)每次產(chǎn)生9個(gè)隨機(jī)數(shù)，共產(chǎn)生1 000組，得到驗(yàn)收條件為m=1.2情況下試驗(yàn)的模擬接受率；在t1(0.9)=300 h，m=1.2模擬條件下，再由計(jì)算機(jī)每次產(chǎn)生9個(gè)隨機(jī)數(shù)，共產(chǎn)生1 000組，得到驗(yàn)收條件為m=1.2情況下試驗(yàn)的模擬接受率。

(3)對步驟(2)中t0(0.9)=600 h，m=1.2和t1(0.9)=300 h，m=1.2模擬條件下產(chǎn)生的各1 000組每組9個(gè)隨機(jī)數(shù)用驗(yàn)收條件為m=1.5接收，得到試驗(yàn)的模擬接受率。

(4)其他條件不變，在步驟(2)中分別將模擬條件及相應(yīng)的驗(yàn)收條件替換為m=1.3，1.4，1.6，1.7，1.8，1.9，重復(fù)模擬試驗(yàn)，得到試驗(yàn)的模擬接受率。

(5)其他條件不變，在步驟(3)中分別將模擬條件及相應(yīng)的驗(yàn)收條件取為m=1.5，重復(fù)模擬試驗(yàn)，得到試驗(yàn)的模擬接受率。試驗(yàn)結(jié)果見表1。

表1 模擬結(jié)果

從表1可知，當(dāng)模擬數(shù)據(jù)的形狀參數(shù)m與試驗(yàn)方案的形狀參數(shù)相同時(shí)，試驗(yàn)結(jié)果的生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)和使用方風(fēng)險(xiǎn)與方案的設(shè)定值接近，當(dāng)模擬數(shù)據(jù)的形狀參數(shù)大于試驗(yàn)方案的形狀參數(shù)時(shí)，使用方風(fēng)險(xiǎn)大大增加，即大量不該接收的產(chǎn)品批被接收；反之則生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)大大增加，即大量該接收的產(chǎn)品未被接收。

4 結(jié)束語

以軸承的序貫抽樣試驗(yàn)為背景，對Weibull壽命型產(chǎn)品的序貫驗(yàn)證試驗(yàn)理論與步驟展開研究，并通過模擬試驗(yàn)定量分析了Weibull分布形狀參數(shù)變化時(shí)產(chǎn)品接收和拒收概率的變化情況。結(jié)果表明：用于驗(yàn)證的形狀參數(shù)與產(chǎn)品批實(shí)際的形狀參數(shù)相差越大，則生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)和使用方風(fēng)險(xiǎn)變化也越大。

對于形狀參數(shù)變化較大的產(chǎn)品，如軸承等機(jī)械產(chǎn)品，當(dāng)不能取得較準(zhǔn)確的形狀參數(shù)時(shí)，若用序貫試驗(yàn)方法驗(yàn)證產(chǎn)品的可靠性，則生產(chǎn)方或使用方可能會承擔(dān)較大的風(fēng)險(xiǎn)。