輪軌橫向接觸系統的自激振動分析

王 振，陳照波，焦映厚，劉旺中

(哈爾濱工業大學 機電工程學院，150001哈爾濱，wangzhen－82@126．com)

輪軌橫向接觸系統的自激振動分析

王 振，陳照波，焦映厚，劉旺中

(哈爾濱工業大學 機電工程學院，150001哈爾濱，wangzhen－82@126．com)

為了研究輪軌接觸過程中發生的自激振動現象對輪軌曲線嘯叫噪聲的影響，建立了輪軌橫向接觸系統的單自由度動力學方程，采用基于De Beer模型的改進的新型摩擦系數模型計算了輪軌接觸面上的摩擦力變化，用相平面法分析了動、靜摩擦系數以及橫向蠕滑率對該自激振動系統的穩定性影響．計算結果表明:不穩定的輪軌自激振動會激發車輪的若干模態產生嘯叫噪聲;輪軌接觸系統的結構阻尼大于因摩擦力變化而引起的等效阻尼，輪軌間橫向蠕滑率小于0.002 4可以使該系統保持穩定，抑制嘯叫噪聲．

自激振動;蠕滑率;相平面;輪軌接觸

在過彎道時，列車由于自身的動力學特性會在輪軌接觸面上產生縱向、橫向和自旋蠕滑率．當軌道曲線半徑減小時，該蠕滑率數值增大，使得輪軌接觸面間的摩擦系數發生變化，進而引起粘滑自激振動，產生輪軌嘯叫噪聲［1］．由于嘯叫噪聲的頻率特性與車輪受到橫向激勵而產生的軸向模態相關，以往大多數研究主要是針對輪軌接觸區域上橫向蠕滑率對嘯叫噪聲的影響而展開的．Rudd［2］最早于1976年研究了橫向摩擦力與蠕滑率之間的關系對嘯叫噪聲的影響，雖然得到的數據結果后經驗證數值偏大，但其采用的研究方法仍是后人研究輪軌嘯叫噪聲的理論基礎．Fingberg［3］之后擴展了Rudd的研究，考慮了車輪的動力學特性、摩擦性能和聲輻射特性對嘯叫噪聲的影響．De Beer等［4］研制了輪軌滾輪接觸試驗臺，通過理論計算和試驗驗證研究了輪軌橫向接觸位置對嘯叫噪聲的影響．國內對于輪軌接觸自激振動的研究主要是結合列車運行穩定性，車輪打滑時列車的安全性以及剎車嘯叫噪聲展開的，而針對曲線嘯叫噪聲與自激振動間關系的研究比較少［5－7］．因此，研究由于輪軌間橫向蠕滑率變化而引起的自激振動現象，有利于發現影響輪軌曲線嘯叫噪聲的輪軌動力學參數，從而通過對輪軌結構進行修改和處理，達到降低嘯叫噪聲的目的．

本文對輪軌橫向接觸過程進行了分析，建立了簡化動力學模型，利用在De Beer理論模型基礎上改進的新型摩擦系數模型計算輪軌接觸面上的摩擦力變化，用相平面法分析了在車輪某一軸向模態下了輪軌接觸面間的動、靜摩擦系數以及橫向蠕滑率對自激振動穩定性的影響．研究結果表明:若該系統最后能收斂到某一穩態點，則系統穩定，不會產生嘯叫噪聲;若系統不穩定，則最后會出現極限環效應，產生自激振動，引起嘯叫噪聲．最后分析了增大車輪結構阻尼對抑制嘯叫噪聲的作用．

1 新型摩擦系數計算模型

其中，γ'= γGabC22/(μsN)，μs為靜摩擦系數，N是接觸面上的法向壓力，γ為車輪在鋼軌上的橫向或縱向蠕滑率(蠕滑率 =滑動速度/車輪滾動速度)，a、b為輪軌Hertz接觸橢圓斑在縱向和橫向的半軸長，G為車輪和鋼軌的材料剪切模量，C22為 Kalker系數，C22≈ 2.39+1.36(a/b)－0.025(a/b)2.

圖1給出了參數λ和κ的變化對動摩擦系數的影響.

圖1 λ和κ的變化對動摩擦系數的影響

下降系數λ用來反映摩擦系數隨滑動速度的下降情況，可表示為 λ =(μs－| μk(γ)|)/μs.飽和系數κ用來定義摩擦系數開始下降時的蠕滑率，該參數可以反映接觸面的濕度變化對摩擦系數的影響，參數λ和κ都需要通過試驗進行設定.從圖1中可看出，參數λ增大影響蠕滑率數值較大時的動摩擦系數，參數κ增大影響蠕滑率數值較小時的動摩擦系數.

為驗證該新型摩擦系數模型的準確性，在靜止摩擦系數μs=0. 4，車輪滾動速度v=10 m/s時，將新型摩擦系數模型與 Kraft，Rudd、De Beer、Poiré-Bochet、Galton模型計算得到的摩擦系數隨蠕滑率的變化情況進行了比較［8－9］，如圖2所示．其中，De Beer模型中取G為7.9×1010Pa，C22取5. 0，a和b取10 mm 和5 mm，N取42 kN;Poiré-Bochet以及Galton模型中，μs=0.4;新型模型中，λ =0. 4，κ =0.01.

圖 2 Kraft、Rudd、De Beer、Poiré-Bochet、Galton 以及新型摩擦系數隨蠕滑率的變化曲線

從圖2中可以看出，Poiré-Bochet以及Galton模型并不能明顯表述摩擦系數隨蠕滑率增大而出現的下降現象．Kraft和De Beer模型由于采用了相同的下降函數而在下降階段相同．Rudd模型中摩擦系數出現下降時的蠕滑率偏大，且摩擦系數數值下降量較大，在蠕滑率為0.05時，摩擦系數接近 0，因此不能較好地描述蠕滑率較大時的摩擦系數變化情況．本文提出的新型模型在蠕滑率較小時的摩擦系數下降曲線比Kraft模型和Rudd模型更為陡峭，且考慮了接觸面滑動速度和濕度狀況，因此能更好地描述輪軌接觸過程中摩擦系數的變化情況．

2 輪軌接觸過程自激振動分析

2.1 簡化動力學模型的建立

采用皮帶－滑塊模型來模擬列車過彎道時在輪軌間橫向產生的自激振動，建立如圖3所示的力學模型．

圖3 鋼軌自激振動簡化力學模型

僅對車輪某一階對嘯叫噪聲影響較大的振動模態進行分析，用質量－彈簧－阻尼器模型來表示該單模態車輪，用皮帶來表示踏面剛性的鋼軌(由于僅考慮車輪動力學特性對嘯叫噪聲的影響，因此將鋼軌看作是剛性不變形的)．

設車輪某一振動模態的模態參數為:模態質量m，模態剛度k，模態阻尼c，y1為滑塊相對于地面的位移(車輪的橫向位移)，v為皮帶恒定轉速(輪軌間橫向平衡滑動速度).

由圖3知，滑塊與皮帶間的相對滑動速度為vr=˙y1－v，其間的滑動摩擦力可表示為fr=N·μ(vr)，其中，N為輪軌間垂向接觸力，μ(vr)為隨滑塊與皮帶間相對滑動速度變化的摩擦系數.

當該系統平衡時，滑塊位移y1為零，滑塊與皮帶間平衡相對滑動速度可表示為ve=˙y1－v=－v，此時，平衡滑動摩擦力為

由于此時滑塊速度為零，因此只有靠彈簧力來平衡滑動摩擦力，設彈簧伸長量為y0，則有

當有初始擾動位移y作用于滑塊使其偏離平衡位置時，滑塊的位移為

建立該動力學系統運動方程為

式(7)表明在該皮帶 －滑塊系統中，由初始擾動位移y產生的摩擦力fy可以激勵系統產生自激振動現象.

2.2 自激振動穩定性分析

將摩擦力對滑動速度進行微分后可以得到類似于粘性阻尼性質的參數項，因此對式(7)等號右側項進行微分處理得到，

其中，c1即為摩擦力對滑塊滑動速度微分處理后的等效阻尼項，代入式(7)有

因為摩擦系數對滑動速度的微分在滑塊開始滑動前后的符號相反，所以該等效阻尼項可以依據滑動速度的變化對系統產生正或負的阻尼效果．以圖2為例，當蠕滑率小于0.002 4時，摩擦系數對滑動速度的微分即摩擦系數曲線的斜率為負，此時c1相當于起到正阻尼作用來耗散系統的能量，減小振動，使系統能收斂到某一平衡點;當蠕滑率大于0.002 4時，摩擦系數曲線斜率為正，此時c1相當于起到負阻尼作用來增加系統的能量，增大振動，使系統變得不穩定，出現自激振動現象.

通過以上分析可知，若要整個皮帶 －滑塊系統達到平衡狀態，需使系統的總阻尼為正，以達到耗散系統能量的目的.把式(9)變換為

若要使系統總阻尼為正，則要c－c1＞ 0，又因為系統結構阻尼項c恒大于零，所以需根據由摩擦力帶來的等效阻尼項的正負情況來調節系統結構阻尼以使c－c1＞0.當c1為負值時，c－c1相當于正阻尼，此時c取任意值都會使系統穩定;當c1為正值時，c－c1相當于負阻尼，c＞c1時才能使系統穩定.

為便于研究輪軌橫向蠕滑率對自激振動的影響，將式(8)變換為摩擦力對輪軌橫向蠕滑率的微分，得到

其中，v0為車輪滾動速度，γ0為輪軌穩態橫向蠕滑率(即為輪對在軌道上橫向受力平衡時的蠕滑率，用來確定自激振動系統的穩態點)，Cγ為摩擦力對穩態橫向蠕滑率微分處理后的等效阻尼項.

利用本文提出的新型摩擦系數模型對等效阻尼Cγ與振動系統穩定性的關系進行分析．在新型摩擦系數公式中選取［10］:車輪剪切模量 G為7.9 ×1010Pa，Kalker系數C22為5. 0，輪軌Hertz接觸橢圓斑在縱向和橫向的半軸長a和b為10 mm和5 mm，輪軌垂向接觸力N為40 kN，車輪滾動速度v0為10 m/s，下降系數λ為0. 4，飽和系數κ為0.01．在［－0. 05，0.05］的蠕滑率區間上得到摩擦系數曲線如圖4所示．

圖4 基于新型摩擦系數模型得到的摩擦系數和摩擦系數對蠕滑率微分曲線

從圖4中可看出，由于等效阻尼Cγ的正負與摩擦系數對蠕滑率微分有關，因此在蠕滑率γ≤0.002 4時，Cγ為負，此時系統恒為穩定狀態;γ＞0.002 4時，Cγ為正，這時需要系統結構阻尼C＞Cγ才能使系統穩定，而當γ=γp=0.005時dμ最大為 8. 66，由式(10)得，需要 C ＞Cγp=34 640 N·s/m．因此若要使系統穩定，有兩種解決辦法:(1)調節系統結構阻尼，使C＞Cγp;(2)減小輪軌間橫向蠕滑率，使γ≤0.002 4.

如果考慮用系統阻尼比來衡量系統穩定性，若阻尼比能滿足

則系統可達到穩定狀態.

2.3 針對車輪具體參數的計算

本文建立的單自由度振動模型需選擇車輪某一階對嘯叫噪聲影響較大的振動模態的模態參數進行計算分析．通過對本實驗室車輪模型進行模態分析后，選取426.3 Hz對應的模態，其徑向剖面振型如圖5所示．

圖5 車輪模態振型徑向剖面圖

在該模態下車輪輪緣的軸向振動比較明顯，這對車輪與鋼軌間的橫向振動貢獻較大，因此選取該階模態具有代表性．經過模態參數識別處理后，得到:模態質量 m為320 kg，模態剛度 k為5.82×107N/m，模態阻尼c為2 729.4 N·s/m，阻尼比ξ為0.01．由于在式(10)中，等效阻尼Cγ與輪軌穩態橫向蠕滑率γ0有關，因此需根據γ0值的大小來分析該系統的穩定性.

(1)當 γ0≤0.002 4 時，取γ0=0.001 8，y0= 0，初始蠕滑率分別為0.001 5和0.002 0，車輪橫向初始位移都為1×10－6m，此時該系統的相平面圖和速度－時間曲線如圖6、7所示.當γ0≤0.0024時，系統恒為穩定狀態，最終都收斂到穩定點y0= 0，γ0=0.001 8，速度在經過0.02 s后達到穩定，并且速度收斂的時間與初始蠕滑率和橫向位移無關.

在圖4所示的摩擦系數對蠕滑率微分曲線中，當γ0≤0.002 4時，隨著蠕滑率的減小，摩擦系數對蠕滑率的微分增大，使Cγ也相應增大，這就相當于增大了系統的結構阻尼，從而使速度達到平衡所需的時間也相應減少，所以在系統恒為穩定的狀態時，若要使系統盡快收斂，可以減小輪軌橫向平衡蠕滑率．

2)當 γ ＞ 0.002 4時，取 γ0=0.006 0，y0=0.令Y=y'，導出相軌跡的一階微分方程為

以任意常數α為等傾線斜率，由式(11)導出等傾線族的方程為

圖6 γ0=0.001 8，y0= 0，初始蠕滑率為0.001 5，車輪橫向初始位移為1×10－6m時的相平面圖和速度－時間圖

圖7 γ0=0.001 8，y0= 0，初始蠕滑率為0.002 0，車輪橫向初始位移為1×10－6m時的相平面圖和速度－時間圖

利用Liénard作圖法繪制該系統的相平面圖［11］．首先做出零斜率等傾線(圖8)，其中 A點為極限環在等傾線上的出發點，B點為極限環和相軌跡的圍繞點．

圖8 系統零斜率等傾線圖

在初始蠕滑率分別為 0. 006，0. 008，0. 015，車輪橫向初始位移分別為 0.5×10－4、2×10－4、1×10－5m時，系統的相平面如圖9所示．

圖9 γ0=0. 006，y0=0時系統的相平面圖

從圖9中可以看出，由于系統結構阻尼c=2 729.4 N·s/m ＜ Cγp=34 640 N·s/m，因此在3種初始狀態下，相軌跡在經過零斜率等傾線時(交點為 P1，P2，P3)，將會沿水平方向運動，此后一直運動到E1點(即為圖8中的A點).在這個階段，車輪相對于鋼軌以很小的蠕滑率進行蠕動，輪軌間近似于靜止狀態，系統通過變化著的靜摩擦力做功來存儲能量.當運動到E1點后，靜摩擦力平衡不了彈簧力和粘性阻尼力，系統能量被釋放，相應從E1點出發沿著極限環運動到E2點，形成封閉相軌跡，使系統發生自激振動現象.

在該γ0值條件下，增大系統的結構阻尼，使c=40 000 N·s/m ＞Cγp，此時系統阻尼比ζ=0.146 6，選取初始條件為:γ =8 ×10－3，y=2 ×10－4m，得到系統的相平面和速度 －時間曲線如圖10所示.

在圖10中，系統的相軌跡最終收斂到以穩定點為中心的極限環，且該極限環的尺寸為:蠕滑力方向，Δ ＜2×10－4，橫向位移方向，Δ ＜4×10－6m．在速度——時間圖中可以看出速度在經過0.5 s后達到穩定收斂，因此證實了增大系統阻尼可以使輪軌接觸達到穩定狀態．

圖10 系統結構阻尼C=40 000 N·s/m＞Cγp，初始條件為:γ=8×10－3，y=2×10－4m 時的相平面圖和速度－時間曲線圖

3 結論

1)將車輪與鋼軌的橫向接觸過程簡化為滑塊與皮帶的接觸，建立了動力學系統運動方程，結合具體車輪參數，用相平面法分析了該系統的穩定性．

2)通過調節系統結構阻尼使C ＞Cγp，或減小輪軌間橫向蠕滑率使γ≤0. 0024，可使系統達到穩定狀態，在相平面中相應為相軌跡收斂到一穩定點或穩定極限環．

3)若系統不穩定，相軌跡形成的極限環的尺寸會使輪軌橫向接觸產生自激現象．

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Self-excited vibration analysis for wheel/rail lateral contact system

WANG Zhen，CHEN Zhao-bo，JIAO Ying-hou，LIU Wang-zhong

(School of Mechatronics Engineering，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China，wangzhen－82@126．com)

To study the influence of self-excited vibration on the curve squeal noise in the wheel/rail contact，the dynamical equation for 1-DOF wheel/rail lateral contact system is derived．A new friction coefficient model based on De Beer model is adopted to calculate the friction force in the wheel/rail contact surface．The influence of kinetic and static friction coefficients as well as the lateral creepage on the stability of self-excited vibration system is investigated．The calculation results show that wheel’s inherent modes will be excited by the unstable self-excited vibration．If the structural damping of wheel/rail contact system is larger than the equivalent damping of the friction force，or the value of lateral creepage is less than 0. 0024，the self-excited vibration system will be stable，and thus the curve squeal noise can be restrained．

self-excited vibration;creepage;phase plane;wheel/rail contact

TB533

A

0367－6234(2011)09－0056－06

2010－07－12．

科技部科技人員服務企業行動項目(2009GJB20012)．

王 振(1982—)，男，博士研究生;

陳照波(1967—)，男，教授，博士生導師;

焦映厚(1962—)，男，教授，博士生導師．

(編輯 楊 波)