Ⅲ型裂紋的二個動態(tài)擴展問題

程 靳，巴 穎，呂念春 ，2，林 敏，郭寶科

(1.哈爾濱工業(yè)大學航天科學與力學系，150001哈爾濱，baying000@163.com;2沈陽理工大學材料科學與工程學院，110168沈陽)

Ⅲ型裂紋的二個動態(tài)擴展問題

程 靳1，巴 穎1，呂念春1，2，林 敏1，郭寶科1

(1.哈爾濱工業(yè)大學航天科學與力學系，150001哈爾濱，baying000@163.com;2沈陽理工大學材料科學與工程學院，110168沈陽)

通過復變函數(shù)論的方法，對Ⅲ型裂紋的2個動態(tài)擴展問題進行研究.本文提出了裂紋動態(tài)擴展的1個新的力學模型，即裂紋坐標原點分別受增加載荷Px/t、Pt3/x2的作用，采用自相似函數(shù)的方法將所討論問題迅速轉化為Riemann－Hilbert問題，并求得了該模型的應力、位移和應力強度因子的解析解.利用這些解并采用疊加原理，即可求得任意復雜問題的解.

復變函數(shù);Ⅲ型裂紋;動態(tài)擴展;解析解

近幾十年來，對Ⅲ型裂紋的靜力學問題已有許多人進行了研究［1－4］.由于數(shù)學上的困難，人們對動力學問題的研究還遠遠不夠深入［5－9］，而對變載荷作用的裂紋的動態(tài)擴展問題的研究更是有限［10－14］.本文對Ⅲ型擴展裂紋在變載荷作用下的斷裂動力學問題進行了深入研究，利用復變函數(shù)論的方法給出解的一般表示，該方法可以很容易地將所論問題轉化為Riemann—Hilbert問題，而Riemann—Hilbert問題很容易用通常的Muskhelishvili方法［15－16］求解.本文對中心、集中、Px/t和Pt3/x2載荷等情況下的擴展裂紋問題給出了解析解.

1 正交異性體彈性動力學反平面問題的自相似函數(shù)公式

正交異性體彈性動力學的反平面運動方程為［ 1，3］

式中C44、C55為彈性常數(shù)，ρ為材料密度，w為沿z方向的位移［1］.

設在y=0上有任意個載荷區(qū)段及位移區(qū)段，這些區(qū)段的端點各以不同的常速移動，初始條件為零.這些區(qū)段上的載荷或位移是如下函數(shù)線性組合［7－9］:

其中 k、k1、s、s1是任意正整數(shù).由于 x、t的任意函數(shù)都可表示為式(1)的線性組合，因而求解具有式(1)形式的載荷或位移具有原則上的意義.現(xiàn)引入線性微分算子及其反演，如下所示:

式中零導數(shù)表示函數(shù)本身，負導數(shù)表示積分，其絕對值表示積分的重數(shù).容易證明必存在m、n使L作用于式(1)得到的函數(shù)是x、t的零次齊次(簡稱齊次)函數(shù)，稱此m=k1－k、n=s1－s為自相似指數(shù)［7－9］.

因此，在 y=0 上可得到如下一般性結論［7－9］:

當Lw是齊次函數(shù)時，令

式中τ=x/t，f(τ)為自相似函數(shù).

2 具體問題的解

假定t＜0時一切靜止.在t=0時刻，坐標原點開始出現(xiàn)一微觀裂紋，并以速度V(小于聲速)沿x軸正、負方向對稱擴展，且處于反平面應變狀態(tài)下，下面對不同邊界條件問題進行求解.

1)假定在t=0時刻，坐標原點在階躍荷載作用下開始出現(xiàn)一微觀裂紋，并以速度V(小于聲速)沿x軸正、負方向對稱擴展.在y=0的半平面上，問題的邊界條件為

很明顯本問題應力為齊次，這里的L= 1，利用式(3)～(5)可將邊界條件(6)的第一式寫為

由于T(τ)在亞音速范圍內為純虛量，因此上式中的f(τ)在區(qū)間|τ|＜V上必然為純實量.考慮到對稱性、無窮遠條件以及裂紋尖端的奇異性［12－14］，利用邊界條件(6)，即可確定 f(τ)的唯一解必滿足如下形式:

式中A為待定實常數(shù)，n為待定指數(shù)，將式(8)代入式(7)后，即可確定指數(shù)n=－3.

當τ→0時，由式(7)、(8)及(5)即可確定實常數(shù) A，即

然后將式(8)代入(3)～(5)后，即可求得y=0上的應力、應力強度因子，分別為

上式的極限屬于0·∞型，必須轉化為∞/∞型后，方可應用羅比塔(L’Hospital)法則進行求導計算［15］，從而得出上式的極限值.

而后利用式(8)代入式(4)，即可求出w0，即

因為裂紋擴展的方向是沿著x軸的，所以在對w0進行定積分運算時，取常數(shù)C= 0，然后將式(9)代入式(3)可得出位移w，即

2)假設施加在坐標原點上的載荷變?yōu)槌?shù)載荷Px/t，其它條件與上列完全相同，則問題的邊界條件

顯然本問題位移為齊次，這里的L= 1，利用式(2)、(4)、(5)可將上式的第一式寫為

由于T(τ)在亞音速范圍內為純虛量，因此上式中的f(τ)在區(qū)間|τ|＜V上必然為純實量.考慮到對稱性、無窮遠條件以及裂紋尖端的奇異性［12－14］，則由上式即可確定 f(τ)的唯一解必滿足如下形式:

式中A1為待定實常數(shù)，n為待定指數(shù).然后將式(11)代入式(10)后，即可確定指數(shù)n=0.

因此當τ→0時，由式(11)、(10)及(5)，可確定實常數(shù)A為

而后將式(11)代入(2)、(4)、(5)后，即可求得y=0上的應力、位移、應力強度因子分別為

3 結論

采用自相似函數(shù)的途徑能夠獲得Ⅲ型動態(tài)裂紋坐標原點受階躍載荷、常數(shù)載荷作用下的應力、位移、應力強度因子、應變能密度因子和位錯分布函數(shù)的解析解.利用關系式:f(x，y，t)=tn·f(x/t，y/t)，且n為整數(shù);就可以將所討論的問題轉化為零次齊次函數(shù)，即自相似函數(shù)［6－9］.凡是滿足這個函數(shù)關系，均可通過式(2)～(4)以τ為變量的齊次函數(shù)類型進行求解.這一方法不僅在彈性動力學中應用［6－ 9，15］，而且在彈性靜力學中也可應用［15－17］，甚至其它領域［18］.解的方法是以專用的解析函數(shù)理論為基礎，是簡單的、簡明的.這已經(jīng)相當?shù)販p少了需要解決這一裂紋擴展問題的計算工作量.

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Two dynamic propagation problems of modeⅢcrack

CHENG Jin1，BA Ying1，Lü Nian－chun1，2，LIN Min1，GUO Bao－ke1

(1.Dept.of Astronautics and Mechanics，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China，baying000@163.com;2.School of Material Science and Engineering，Shenyang Ligong University，110168 Shenyang，China)

In order to solve two dynamic propagation problems on mode Ⅲ crack by theory of complex functions，a new mechanical model for dynamic crack propagation，in which the crack is under the conditions of increasing loads Px/t、Pt3/x2located at the origin of the coordinate of the crack is presented in this paper.The problems are transformed into Riemann－Hilbert problems by the approaches of self－similar functions，and the analytical solutions of stress，displacement and stress intensity factor are attained.With the solutions and superposition theorem，the solutions of discretionary complex problems can be acquired.

complex functions;modeⅢcrack;dynamic propagation;analytical solutions

O346.1

A

0367－6234(2011)09－0030－03

2010－03－28.

程 靳(1945—)，男，教授，博士生導師.

(編輯 張 宏)