對一道能量類連接體問題的深入探討

李中玉 李小洪

（佛山市南海中學 廣東 佛山 528211）

筆者在教學中遇到這樣一道題目，該題也常見于其他參考資料，其似是而非的解答，對教師和學生都有不良影響.筆者將其整理如下.

【原題】如圖1所示，質量為2m和m的可看作質點的小球A和B，用不計質量、不可伸長的細線相連，跨在固定光滑圓柱兩側，圓柱截面圓半徑為R.開始時，A球和B球與圓柱軸心同高，然后釋放A球.求：B球在圓柱上最高點時的速率.

圖1

原題解析：A和B兩球組成系統機械能守恒，所以

所以B球在圓柱上最高點時速率

圖2

設B球和圓柱截面圓心連線與水平方向夾角為θ時，B球與圓柱間彈力為零.此時對B球受力分析，如圖2所示.由向心力公式得

從釋放A球到B球剛要脫離圓柱時，A和B球組成的系統機械能守恒，故

由（1）、（2）式聯立，得

這是一個超越方程，要中學生求解，非常難.但對于一個出題者來說卻是不可或缺的.筆者在這里先用作圖法，再用半分插值法求解.

1 粗略分析

用Excel從θ為零開始每增加描一個點，在同一坐標圖中，分別作方程y＝4θ和y＝5sinθ的圖像（圖3），它們交點的橫坐標就是方程（3）的解.

圖3

從圖3可看出方程（3）有兩個解.一個是θ＝0，另一個在之間.這兩個解都小于，故原解析不正確.可是，僅這樣分析并不能解出最終結果.應怎樣才能解出B球在圓柱上最高點時的速率呢？

2 用半分插值法精確求解

為求出最終結果，筆者采用了半分插值法.該操作，依然在Execl中進行，其思路如下.

（2）半分插值.求得θ在之間的中間值以及該中間值對應的4θ－5sinθ值.

（3）確定新的兩端數值.比較θ為中間值時4θ－5sinθ值，與時哪一個4θ－5sinθ值正負號相反，將該θ值與中間值作為下次插值端點數值.因值正負號相反，故為下次插值兩端數值.

（4）以新兩端數值進行半分插值，至所需精度內4θ－5sinθ值等于零為止.筆者將該值精確到了小數點后兩位，如表1所示.

表1 θ不同時4θ－5sinθ值

至此，我們已較為精確地解出了最終結果.對類似問題的求解，也當如此.

半分插值法盡管對所有該類問題都能求解，但B球能到達圓柱圓截面頂點時，依然用該辦法求解，就顯得繁瑣了.因此，進一步探討B球上升至圓截面頂點的條件，將為解答此類問題帶來便捷.

3 B球能達到圓截面頂點的條件

B球能上升是由A，B兩球質量不同引起的.A，B兩球質量之比為何值時，B球才能到達圓柱圓截面頂點呢？

為此，不妨設A球質量是B球質量m的n倍，即nm，令帶入方程（1）、（2）中求解，此時可解得即A球質量為B球的倍時，B球可到達圓柱圓截面頂點，且恰好對圓柱無擠壓.

根據能量轉化的關系可知，若n則B球在到達圓柱圓截面頂點前已脫離圓柱；若n＜則B球上升至圓柱圓截面頂點時，對圓柱有擠壓.要讓B球上升，A球的質量不能小于B球的質量.故B球能上升至頂點，A，B兩球質量之比n的范圍為

而原題中的n＝2，顯然不在此范圍.

這樣，在今后遇到該類問題時，我們便能確定其求解方法.若A，B兩球質量之比n范圍為n＞1，B球能到達圓截面頂點，采用原解析思路.若n取值范圍大于B球不能上升至圓截面頂點，采用半分插值法.若n取值范圍小于1，則A球上升，其思路與B球上升時完全相同.

由此可見，出題和解題都不能想當然.只有實事求是地給予判斷和多方面考察，方能確定題目的真實性、實用性和求解的正確性；否則會給學生物理思維的發展帶來誤導，從而違背物理學精神.