對(duì)一道能量類連接體問題的深入探討

李中玉 李小洪

（佛山市南海中學(xué) 廣東 佛山 528211）

筆者在教學(xué)中遇到這樣一道題目，該題也常見于其他參考資料，其似是而非的解答，對(duì)教師和學(xué)生都有不良影響.筆者將其整理如下.

【原題】如圖1所示，質(zhì)量為2m和m的可看作質(zhì)點(diǎn)的小球A和B，用不計(jì)質(zhì)量、不可伸長的細(xì)線相連，跨在固定光滑圓柱兩側(cè)，圓柱截面圓半徑為R.開始時(shí)，A球和B球與圓柱軸心同高，然后釋放A球.求：B球在圓柱上最高點(diǎn)時(shí)的速率.

圖1

原題解析：A和B兩球組成系統(tǒng)機(jī)械能守恒，所以

所以B球在圓柱上最高點(diǎn)時(shí)速率

圖2

設(shè)B球和圓柱截面圓心連線與水平方向夾角為θ時(shí)，B球與圓柱間彈力為零.此時(shí)對(duì)B球受力分析，如圖2所示.由向心力公式得

從釋放A球到B球剛要脫離圓柱時(shí)，A和B球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故

由（1）、（2）式聯(lián)立，得

這是一個(gè)超越方程，要中學(xué)生求解，非常難.但對(duì)于一個(gè)出題者來說卻是不可或缺的.筆者在這里先用作圖法，再用半分插值法求解.

1 粗略分析

用Excel從θ為零開始每增加描一個(gè)點(diǎn)，在同一坐標(biāo)圖中，分別作方程y＝4θ和y＝5sinθ的圖像（圖3），它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程（3）的解.

圖3

從圖3可看出方程（3）有兩個(gè)解.一個(gè)是θ＝0，另一個(gè)在之間.這兩個(gè)解都小于，故原解析不正確.可是，僅這樣分析并不能解出最終結(jié)果.應(yīng)怎樣才能解出B球在圓柱上最高點(diǎn)時(shí)的速率呢？

2 用半分插值法精確求解

為求出最終結(jié)果，筆者采用了半分插值法.該操作，依然在Execl中進(jìn)行，其思路如下.

（2）半分插值.求得θ在之間的中間值以及該中間值對(duì)應(yīng)的4θ－5sinθ值.

（3）確定新的兩端數(shù)值.比較θ為中間值時(shí)4θ－5sinθ值，與時(shí)哪一個(gè)4θ－5sinθ值正負(fù)號(hào)相反，將該θ值與中間值作為下次插值端點(diǎn)數(shù)值.因值正負(fù)號(hào)相反，故為下次插值兩端數(shù)值.

（4）以新兩端數(shù)值進(jìn)行半分插值，至所需精度內(nèi)4θ－5sinθ值等于零為止.筆者將該值精確到了小數(shù)點(diǎn)后兩位，如表1所示.

表1 θ不同時(shí)4θ－5sinθ值

至此，我們已較為精確地解出了最終結(jié)果.對(duì)類似問題的求解，也當(dāng)如此.

半分插值法盡管對(duì)所有該類問題都能求解，但B球能到達(dá)圓柱圓截面頂點(diǎn)時(shí)，依然用該辦法求解，就顯得繁瑣了.因此，進(jìn)一步探討B(tài)球上升至圓截面頂點(diǎn)的條件，將為解答此類問題帶來便捷.

3 B球能達(dá)到圓截面頂點(diǎn)的條件

B球能上升是由A，B兩球質(zhì)量不同引起的.A，B兩球質(zhì)量之比為何值時(shí)，B球才能到達(dá)圓柱圓截面頂點(diǎn)呢？

為此，不妨設(shè)A球質(zhì)量是B球質(zhì)量m的n倍，即nm，令帶入方程（1）、（2）中求解，此時(shí)可解得即A球質(zhì)量為B球的倍時(shí)，B球可到達(dá)圓柱圓截面頂點(diǎn)，且恰好對(duì)圓柱無擠壓.

根據(jù)能量轉(zhuǎn)化的關(guān)系可知，若n則B球在到達(dá)圓柱圓截面頂點(diǎn)前已脫離圓柱；若n＜則B球上升至圓柱圓截面頂點(diǎn)時(shí)，對(duì)圓柱有擠壓.要讓B球上升，A球的質(zhì)量不能小于B球的質(zhì)量.故B球能上升至頂點(diǎn)，A，B兩球質(zhì)量之比n的范圍為

而原題中的n＝2，顯然不在此范圍.

這樣，在今后遇到該類問題時(shí)，我們便能確定其求解方法.若A，B兩球質(zhì)量之比n范圍為n＞1，B球能到達(dá)圓截面頂點(diǎn)，采用原解析思路.若n取值范圍大于B球不能上升至圓截面頂點(diǎn)，采用半分插值法.若n取值范圍小于1，則A球上升，其思路與B球上升時(shí)完全相同.

由此可見，出題和解題都不能想當(dāng)然.只有實(shí)事求是地給予判斷和多方面考察，方能確定題目的真實(shí)性、實(shí)用性和求解的正確性；否則會(huì)給學(xué)生物理思維的發(fā)展帶來誤導(dǎo)，從而違背物理學(xué)精神.