基于MATLAB的平面五連桿機(jī)構(gòu)的運動學(xué)分析

王錫霖, 嚴(yán)日明, 李 舉, 許文藝

(中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)機(jī)械與電子信息學(xué)院,湖北武漢 430074)

0 引 言

連桿機(jī)構(gòu)的應(yīng)用十分廣泛,在生產(chǎn)機(jī)械中應(yīng)用連桿機(jī)構(gòu)可以轉(zhuǎn)變原動機(jī)的運動形式,如插齒機(jī)中的曲柄滑塊機(jī)構(gòu),在蜘蛛仿生機(jī)械中的蜘蛛腳也是連桿機(jī)構(gòu),還有諸如工業(yè)應(yīng)用中的機(jī)械手的傳動機(jī)構(gòu),人造衛(wèi)星的展開機(jī)構(gòu)、人體假肢等都有廣泛應(yīng)用。對平面連桿機(jī)構(gòu)的運動分析方法有矢量方程圖解法和解析法等,其中解析法又分為復(fù)數(shù)矢量法和矩陣法。矩陣法可以方便地運用標(biāo)準(zhǔn)計算程序或方程求解器等軟件包來求解,這里只介紹矩陣法[1]。

1 五連桿機(jī)構(gòu)運動的的數(shù)學(xué)模型

五連桿機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。

其中AB長為l1,與固定機(jī)架AE的夾角為;BC長為l2,與水平方向的夾角為;CD長為,與水平方向夾角為;DE長為;EF長為與水平方向夾角為;FA長為;機(jī)架AE長為。桿件BF為原動件,角速度為,做等角速度運動。

圖1 五連桿機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖

1.1 位置分析

由于有五個桿,因而需要有兩個封閉式方程來表示該機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型[1]。由封閉形ABCDEA與AEFA得到的封閉矢量方程式為:

即

寫成兩個坐標(biāo)方向上的投影式,得到該機(jī)構(gòu)的位置方程:

1.2 角速度分析[2]

用1.1中得到的位置方程對時間求一次導(dǎo)數(shù),可得:

1.3 加速度分析

用1.2中得到的角速度方程式再求一次導(dǎo)數(shù),得:

2 三角函數(shù)非線性超越方程的解法

前面得到的三組方程都是關(guān)于三角函數(shù)的非線性超越方程,求解的方法有多種,這里用牛頓-辛普森方法來求解。牛頓-辛普森方法是一種迭代法,它從某一個給定的初始向量開始不斷地給以增量直到足夠接近精確解。迭代增量是通過非線性方程的級數(shù)展開式計算求得,接近精確解的程度就由數(shù)值精度要求來確定。求解過程中要用到非線性方程的雅克比矩陣J[3-4]。

在MATLAB函數(shù)編寫中用到了while條件循環(huán)語句,編寫了名為rrrposi的M函數(shù),可以求解1.1中的位置函數(shù),再利用for循環(huán)語句得到隨原動件BF運動其它構(gòu)件的位置圖像[5-8]。

rrrposi函數(shù)程序[5]如下:

接下來在MAT LAB命令窗口中運行如下程序,就可以得到BF連續(xù)運動時各個構(gòu)件的位置:

表1 P矩陣

同樣利用這個步驟中求得的各個未知數(shù)的解,再利用牛頓-辛普森方法對角速度方程組進(jìn)行求解,之后再對加速度方程組進(jìn)行求解。

3 輸出圖像

輸出各個桿的角位置圖像,程序如下:

輸出圖像如圖2所示。

用相同的方法輸出桿AF長度的變化圖像如圖3所示。

輸出各個桿的角速度圖像如圖4所示。

圖2 角位置圖像

圖3 AF長度的變化圖像

圖4 各桿角速度圖像

滑塊速度圖像如圖5所示。

各個桿的角加速度圖像如圖6所示。

滑塊的加速度圖像如圖7所示。

圖5 滑塊速度圖像

圖6 角加速度圖像

圖7 滑塊運動加速度

4 結(jié) 語

對平面正弦連桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行動力分析,并且依據(jù)其數(shù)學(xué)模型運用MAT LAB編程,繪制出了曲柄在連續(xù)360°的運動過程中各個運動副變化規(guī)律及平衡力偶的變化規(guī)律曲線圖,使得設(shè)計過程中力與位置的關(guān)系直觀易懂,對實際設(shè)計有一定指導(dǎo)意義。

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