飛機顫振模態參數的偏差補償輔助變量辨識

王建宏， 王道波

(南京航空航天大學自動化學院，南京 210016)

0 引言

顫振是飛機非線性定常氣動力和結構彈性力交互作用的結果。為避免顫振引起的災難性后果，飛機試飛前需要在風洞中進行結構相似、剛度相似的模型顫振試驗，然后在空中進行亞臨界顫振試驗。顫振辨識通常是在亞臨界條件下試驗，從試驗數據辨識出氣動彈性耦合系統的彎曲、扭轉的頻率和阻尼，并據此推算出顫振臨界速度，進行顫振飛行邊界預測，提供飛機的適航條件，為準確地對飛機進行控制器的設計提供前提條件。

文獻［1］采用一種適用于噪聲環境的廣義整體最小二乘法，辨識飛機的顫振模態參數。但是廣義整體最小二乘法的計算復雜度仍很大，并且由此所得的參數估計值具有較差的隨機漸近性和有偏性。文獻［2］利用頻域子空間算法辨識模型參數，此時在頻域辨識時需要保證輸入和輸出信號在觀測時間區間內是周期信號，以保證在做離散傅里葉變換時不會產生混疊譜和泄露譜。另外利用線性的廣義奇異值分解求解模型參數實質是利用奇異值截斷的方法，將辨識的高階系統近似表示為低階系統，這會導致非主要模態辨識精度不高。文獻［3］利用頻域極大似然估計法(ML)辨識模型參數，但是極大似然估計的非線性損失函數需要借助于優化迭代算法求取極小值點，在噪聲較大的情況下，迭代算法將有可能收斂到局部最小點。為解決上述問題，以及彌補該方法的不足，本文在顫振風洞實驗時，針對輸入和輸出觀測數據都被噪聲污染的情況，對常規的偏差補償最小二乘法進行改進，得到一種新穎的偏差補償輔助變量辨識法。文獻［1－3］中均假設輸入和輸出噪聲為白噪聲，而這種假設條件在實際的實驗過程中是種理想狀態，很難實現。本文將文獻中的特殊情況推廣為一般的情況——輸出觀測噪聲為有色噪聲。

1 問題描述

顫振試飛試驗的隨機模型如圖1所示。

圖1 顫振試飛試驗中的隨機模型Fig.1 Stochastic model of the flutter test experiment

圖1中:u(t)和y(t)為包含各類噪聲的輸入和輸出測量信號;u0(t)為對飛機結構施加的人工激勵;ng(t)為大氣紊流激勵，由于飛行試驗中不可避免地受到大氣紊流激勵的影響，作為一種不可測激勵，它所產生的隨機響應將作為過程噪聲包含在測量的響應信號中;y0(t)為輸出的振動加速度信號;(t)和(t)為傳感器產生的測量噪聲。飛行試驗的激振采用火箭激振，激振點和傳感器布置的原則是能有效地激勵感興趣的機翼一階對稱彎曲模態，一階反對稱彎曲模態和一階對稱扭轉模態，并且能有效地測量這三階模態所對應的響應信號。通過估計各種飛行狀態的頻率和阻尼隨高度、速度的變化情況來確定飛機的顫振特性。在時域內有如下關系式成立

采用有理傳遞函數模型的飛機結構有

式中:ai和bi為多項式的系數;na和nb為多項式的階數。定義pr(r=1，2，…，na)為上式中的傳遞函數的極點，則模態頻率和阻尼系數可表示為

顯然準確的傳遞函數估計是模態參數辨識的前提。

所考慮的一般條件假設為

假設1 A(q－1)的所有零點都在單位圓外并且A(q－1)和B(q－1)沒有共同的公因子。

2 偏差補償輔助變量辨識

設

其中:θ0為真實的參數矢量;為待估計的模型參數矢量;φ(t)為觀測信號的回歸矢量，類似可定義噪聲的回歸矢量(t)。利用上述定義的矢量，可將式(1)改寫為

式中，v(t)表示隨機擾動項。

為了簡化書寫，引進如下的符號表示

設一新的輔助變量z(t)∈Rnz(nz≥na+nb)，考慮如下的過參數系統

因為未知的模型參數矢量必須滿足上式，經典的輔助變量估計值記為。

定義的輔助變量z(t)有時會滿足第1個條件，但同時與第2個條件是矛盾的。當輔助變量中的延遲元素增加時會與回歸矢量不相關。將偏差補償辨識法與輔助變量法結合起來得到一種新穎的辨識方法－偏差補償輔助變量法。該方法的第1步是根據有色輸出噪聲來構造輔助變量，第2步則利用偏差補償法來消除由輸入噪聲所導致的偏差。允許由輔助變量法得到的參數估計值是有偏的，這極大地放松了式(9)中的兩個條件，從而使得輔助變量的選擇空間余度增大。

定義一個包含輸入和延遲輸出的輔助變量為

利用式(8)的結果可得到對應的輔助變量估計值為

假設有d≥na+nc，則通過簡單的計算有

將式(12)代入到式(11)有

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從式(13)可見若輸入噪聲方差λeu～，可從輔助變量估計值中減去估計值的偏差得到關于模型參數的一致性估計矢量值為

定義殘差r1為

取相關運算得:

若b的估計值可獲得，代入上式可進一步得到關于輸入噪聲方差λeu～的估計值為

在實際的運算過程中可將式 (17)與式(14)相互不斷地迭代，以得到最終的一致性的參數估計矢量和一致性的輸入噪聲方差的估計值。因輸入噪聲方差λeu～的估計值依賴于參數矢量b，為了提高準確的估計值可采用對數據進行濾波的方法來改善估計值的統計性質。設一滑動平均的濾波器F(q－1)為

類似可定義對應的殘差為

其中

取相關運算得:

其中的Mf矩陣為如下的Toeplitz矩陣:

同樣若b的估計值可獲得，代入上式可進一步得到關于輸入噪聲方差λeu～的估計值為

偏差補償輔助變量法需要有關參數矢量θ的先驗信息如初始值的合適設定，利用相互迭代的方法來得到最優的收斂值。將偏差補償輔助變量法歸納如下:

考慮偏差補償輔助變量辨識算法的一致性和準確性，假設若能得到方差值λeu～的一致性估計，根據偏差補償法和輔助變量法中的相關結論可知:由偏差補償輔助變量辨識算法計算出來的參數估計值也是一致性的。而方差值λeu～的一致性估計可由迭代算法中的模型參數的一致性估計的特性來保證。

3 仿真實例

以某型飛機的顫振試飛數據為例［8］，采用赫伯爾特(J.C.Houholt)建立的二維機翼的顫振數學模型，輸入為人工施加的激勵信號，輸出是從測點集采集的加速度計測量，仿真是基于100次獨立的實驗，500個數據點。將本文的方法與常規的輔助變量法進行比較。

評價標準如下:

1)算法主體的計算時間(多次運行的平均時間，以s為單位);

真實系統為

白噪聲的方差分別定義為λeu～=0.14和λey～=1.45以使得對應的輸入－輸出信號的信噪比(SNR)為10 dB。

其中，Px為信號x的平均功率。濾波器可選擇為

結果分析:對這個系統多次運行偏差補償輔助變量算法和輔助變量算法(直到找到最優的參數值)相應的辨識結果見表1和表2，為簡化符號記偏差補償輔助變量法為BCIV，輔助變量法為IV。

表1 兩算法性能比較Table 1 Comparison of the two algorithms’

表2 系統傳遞函數中的參數估計值比較Table 2 The estimated parameter values of the system’s transfer function

從表1和表2可看出:因BCIV是在IV的基礎上得到的，它的估計性能結果優于IV，但由于BCIV算法需要解決優化問題，它的計算復雜度明顯要比IV復雜得多。

因模態頻率和阻尼系數可通過傳遞函數的極點求出來。為提高算法的效率，在線顫振分析時只需計算系統傳遞函數的極點，使用傳遞函數的極點作為比較標準，以驗證算法的有效性。如圖2所示，傳遞函數的真實極點與本文辨識方法所得到的極點值是非常一致的，再利用式(3)可計算出非常準確的模態參數值。為了驗證分子多項式辨識的結果，將本文方法與經典輔助變量方法進行比較，圖3給出了真實系統和本文辨識方法所得系統Bode plot之間的逼近程度。圖4給出了真實系統和輔助變量方法所得系統的Bode plot。如圖3所示，二者吻合得較好，如圖4所示，在低頻處兩曲線有明顯的分離誤差，這表明在噪聲環境下利用本文的辨識方法可獲得與理論值相吻合的傳遞函數估計結果，進一步驗證了本文算法的有效性。

圖2 傳遞函數的真實極點和估計極點的比較Fig.2 Comparision of the true poles and estimated poles about the transfer function

圖3 真實系統與估計系統Bode圖之間的比較Fig.3 Comparision of the Bode Plot between the true system and estimated system

圖4 真實系統與IV估計系統Bode圖之間的比較Fig.4 Comparision of the Bode Plot between the true system and IV estimated system

4 結論

本文采用偏差補償輔助變量辨識法，準確地辨識出飛機的顫振模態參數，同常規的輔助變量辨識算法相比，該算法采用相互迭代的方式來求解傳遞函數模型中的系數和噪聲的方差值，解決了實驗中常見的輸入噪聲為白噪聲，輸出噪聲為有色噪聲的情況。因本文算法融入了偏差補償校正過程，這就使得辨識精度高，能夠增強在線辨識的辨識精度。

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