曲柄搖桿機構再現已知運動規律的優化求解

吳義成

（馬鞍山職業技術學院，安徽馬鞍山243000）

曲柄搖桿機構是鉸鏈四桿機構中的一種，在實際工程應用中，該型機構應用廣泛，如縫紉機踏板機構、攪拌器機構等。針對此類型曲柄搖桿機構再現已知運動規律的優化設計，主要是指當曲柄作等速轉動時，要求搖桿按已知的運動規律運動（如圖1所示）。

圖1 曲柄搖桿機構簡圖

該型優化設計可使用的方法很多，如使用傳統約束優化設計方法中的懲罰函數法、復合形法以及可行方向搜索法等，基本上都比較繁瑣。本文基于MATLAB軟件當中優化工具箱功能，對之進行建模后，使用MATLAB語言進行編程，求解出最優參數，具有簡便、高效的特點。

1 設計變量的確定

當搖桿按已知運動規律開始運行時，曲柄所處的位置角φ0應列為設計變量，所以設計變量有

為簡化計算，取l1=1，其他桿長按比例取為l1的倍數。

曲柄的初始位置角為極位角，則φ0及搖桿l3位置角Ψ0均為桿長的函數。

由圖1所示，在初始位置，l1桿和l2桿在同一直線上，他們同l3和l4桿共同構成一個三角形。只要l2、l3、l4為互相獨立變量，則設計變量變為

2 目標函數的建立

所謂再現已知運動軌跡，是指機構的連桿實際運動曲線盡可能地接近某一給定搖桿曲線ψE(φ)。為滿足設計要求，這里根據已知的運動規律與機構實際運動規律之間的偏差最小為指標，來建立目標函數，即

式中，

ΨEi為期望輸出角，ΨEi=ΨE（φi）；

m為輸入角的等分數；

Ψi為實際輸出角。

對于實際輸出角Ψi，要將之變成設計變量的函數。這里分兩種情況，當0≤ φi<π和π≤φi<2π時，任意位置實際輸出角Ψi的值。由圖2所示。

圖2 曲柄搖桿機構的運動學關系

由圖2可得

3 約束條件的確定

（1）曲柄搖桿機構要滿足曲柄存在的條件。其中最長桿與最短桿的長度之和應≤其他兩桿長度之和；四桿中要有一個為最短桿。因此有

（2）曲柄搖桿機構的傳動角應大于某一個γmin最小值。為保證機構良好的傳力性能，傳動角盡可能接近90°。設計時一般滿足γmin≤γ。而且曲柄搖桿機構的最小傳動角γmin出現在曲柄與機架共線的兩位置之一（如圖3所示）。

圖3 曲柄搖桿機構最小傳動角可能位置圖

也即

由圖3 a)可得

當∠BCD≥90°時，

取

由圖3b)可得

當∠BCD＜90°時，

取

4 對應用實例進行優化求解

4.1 具體應用實例

某一曲柄搖桿機構，要求曲柄l1從 φ0轉到φm= φ0+90°時（0＜ φi＜ π），搖桿 l3的轉角最佳再現已知運動規律

且已知l1=1，l4=5，φ0為極位角（如圖1所示），其傳動角不能小于45°，即γmin=45°，設計出最佳連桿l2和搖桿l3的桿長。

由前文的分析可知，φ0和ψ0不是獨立參數，可由下式求出

因此，該問題只有兩個獨立變量l2和l3，設計變量為

將輸入角分成30等分，得目標函數表達式

這里，機構實際輸出角

其中，

約束條件按上文分析的曲柄存在條件及對傳動角的限制來建立，由式（5）到式（8）得

4.2 使用MATLAB優化工具箱編程求解

MATLAB優化工具箱提供了對各種問題的一個完整解決方案，廣泛應用于線性規劃、二次規劃、非線性優化、最小二乘問題、非線性方程求解、對目標決策、最小最大問題等。其函數表達簡潔，參數設置自由，相比于其他很多成熟的優化程序，具有明顯的優越性。MATLAB通過調用功能函數，來實現這一問題的優化。

本例屬于一般非線性規劃問題，其標準型為

調用MATLAB軟件優化工具箱中非線性規劃求解函數fmincon來求解。

其命令的基本格式為

其中各個參數的含義如下：

fun為求解的目標函數；

x0為變量初值；

A，b為約束函數中線性不等式約束的參數；

Aeq，beq為約束函數中線性等式約束的參數；

C(X)，Ceq(X)均為非線性函數組成的向量；

vlb，vub分別是變量X的下限和上限值。

4.3 求最優解的三個步驟

（1）根據前文敘述的目標函數表示法，建立M文件fun1.m，定義目標函數：

（2）根據前述的約束方程，建立M文件nonlcon.m，定義線性約束和非線性約束：

（3）根據非線性規劃求解函數fmincon的形式，建立主程序youh.m函數：

運行該主程序后，求解結果為

此求解結果與文獻[1]中使用懲罰函數法求解的最優解基本一致。文獻[3]中對于相同問題的求解結果與文獻[1]和本文都不同，其中間過程應該有誤。

5 結束語

本文在文獻[1]基礎上，針對曲柄搖桿機構再現已知運動規律優化設計問題，進行了運動及建模分析，進一步澄清了傳動角的概念。使用MATLAB優化工具箱功能，運用MATLAB語言進行編程求解，對使用懲罰函數法解決該問題進行了驗證。此應用程序為解決同類優化設計問題，提供了一個有益的借鑒，可大大提高解決此類問題的效率。

[1]孫靖民，梁迎春.機械優化設計[M].北京：機械工業出版社，2007.

[2]楊明才.縫紉設備技術手冊[M].南京：江蘇科學技術出版社，2009.

[3]周劍平.基于MATLAB的機械優化設計[J].黃石理工學院學報，2005，（3）：43-45.