一種確定小擾動穩定域的新算法

李 江，魏丹萍，張忠杰，張少杰，李國慶

(1.東北電力大學電氣工程學院，吉林吉林132012;2.上海市電力公司檢修公司，上海200072;3.通遼供電公司，內蒙古通遼028000)

小擾動穩定域是指一組穩態運行點的集合，這些穩態運行點本身是小擾動穩定的［1］。文獻［2］指出，小擾動穩定域的邊界可能包含Hopf分岔(Hopf Bifurcation，HB)、鞍結點分岔(Saddle-Node Bifur Cation，SNB)和奇異誘導分岔 (Singularity Induced Bifurcation，SIB)三種界面。目前對小擾動穩定域邊界的研究，有些文獻主要關注鞍結分岔［3，4］，有些文獻主要關注Hopf分岔［5-7］。這些分岔一般采用平衡點特征根進行分析。然而，近年來已有文獻指出，即使系統的特征值實部全部為負，小擾動下非線性特性造成的分岔也會導致系統特性和狀態發生突變，產生增幅振蕩，造成小擾動不穩定［8］。而傳統的特征根方法無法分析這些非線性環節，因此這就需要采用新方法進行分析。

電力系統在實際運行過程中遇到的非線性環節眾多，例如功率約束、電壓約束、各種開關的動作和控制器的飽和環節等都可能產生非線性問題，其中控制器的飽和環節就是一類關鍵的非線性環節。受到物理結構的限制，實際系統的控制輸入總是要求在一個安全范圍之內，這在模型中體現為飽和環節。在電力系統穩定研究中，一些學者發現發電機勵磁系統飽和環節的存在與混沌現象及電壓崩潰有關［9，10］。然而，當計及飽和環節后特征根方法將無法分析這種非線性環節。文獻［11］指出，計及飽和環節的線性化系統存在吸引域，同時給出了基于矩陣不等式計算吸引域的新方法。本文基于文獻［11］的飽和系統吸引域計算方法，針對線性最優勵磁控制(LOEC)下的多機系統，提出了基于吸引域體積為指標確定小擾動穩定域邊界的新方法。

1 傳統控制下小擾動穩定域邊界的確定

動態電力系統可寫為

式中，x為動態狀態變量，如發電機的功角、角速度等;y為代數狀態變量，如網絡潮流計算的節點電壓幅值、相角等;p為控制參數變量，如節點負荷、控制器增益、時間常數等;f為描述發電機轉子運動方程、電磁暫態過程、勵磁調節器動態過程等的非線性方程組;g為網絡的潮流代數方程組。

其中，Jsys為動態系統的雅可比矩陣。隨著參數p的變化，當系統發生Hopf分岔時，動態系統的雅可比矩陣有一對實部為零的共軛純虛特征根;當系統發生鞍結分岔時，動態系統的雅可比矩陣有實特征根穿過虛軸;當系統發生奇異誘導分岔時，▽yg奇異。系統的小擾動穩定域Ω可定義為［9］

因此，小擾動穩定域的邊界?Ω由上述三類分岔點的閉包組成，即:

為保守獲得小擾動穩定域，可用如下算法實現［5］:

算法1

(1)選擇構造穩定域的參數空間，假定系統中的其它參數不變;

(2)確定參數空間中一個小擾動穩定的運行平衡點，作為搜索穩定域邊界的初始點;

(3)在參數空間中，從初始點起沿某一射線方向，以一定的步長準靜態的改變參數變量，得到一系列新的系統平衡點，并對每一個平衡點計算動態系統的雅可比矩陣特征值;

(4)當系統出現一對共軛純虛特征值且其余特征值均有負實部時，系統發生Hopf分岔，記錄此時的參數，該點即為小擾動穩定域的邊界點;

(5)改變步驟(3)中搜索邊界點所用的射線方向，重復(3)和(4)，得到新的邊界點。

這種在參數空間(p1，p2)中，逐點搜索小擾動穩定域邊界點的方法雖然計算量較大，但具有較好的準確性和靈活性。

2 LOEC下小擾動穩定域邊界的確定

通過動態方程的線性化，采用LOEC控制的系統可表示為［12］

式中，A∈Rn×n為系統矩陣;B∈Rn×r為輸入矩陣;△x∈Rn×l為系統狀態變量;u∈Rr×n為系統控制變量。若系統(4)能控，利用文獻［12］提出的方法設計狀態反饋增益F，則控制變量u=F△x，系統(4)的閉環系統可表示為

對系統(5)，若系統(4)能控，方程(5)可解，反饋增益存在。但是，受到實際系統的限制，反饋增益矩陣的各元素不能太大。需設定最大、最小反饋增益值，本文取F的元素fij≤200。當反饋增益大于最大反饋增益值時，反饋增益元素fij=200;當反饋增益小于最小反饋增益值時，反饋增益元素fij=-200。通過改變控制參數，計算系統各個運行點的最優勵磁控制增益。由于受最大最小反饋增益值的約束，系統(5)可能存在Hopf分岔，即小擾動穩定域的邊界。根據這一思想，可計算線性LOEC控制下的小擾動穩定域邊界，形成如下新算法:

算法2

(1)～(2)與算法1相同;

(3)在參數空間中，從初始點起沿某一射線方向，以一定的步長準靜態的改變參數變量，得到新的系統平衡點，并求解線性化方程對應的代數Riccati方程，進一步獲得反饋增益矩陣。若fij大于最大反饋增益值，fij=200;否則繼續;

(4)～(5)與算法1的步驟(4)～(5)相同。

該算法與算法1都是通過Hopf分岔確定小擾動穩定域的邊界，具有與算法1相同的優點。

3 飽和系統小擾動穩定域邊界的確定

實際運行的系統中控制變量u不可能無限大，其必然在一個安全范圍內。若采用狀態反饋控制，Fi為反饋增益矩陣F∈Rm×n的第i個行向量，可定義飽和函數

其中，fsati(Fi△x)(i=1，…，m)為

其中，u0i為勵磁頂值，其關系也可用圖1直觀表示。

若計及飽和環節，控制律u=fsat(F△x)，則閉環線性系統為

為獲得系統(7)的橢球吸引域可用如下定理:

定理1［13］對系統(4)，若控制輸入u有界，u0i=ri，i=1，…，m，滿足飽和函數(6)的最大橢球吸引域 ε(Q-1，1)可通過求解以Q∈Rn×n，S=diag(s1，…，sm)，為變量的下列凸優化問題得到:

圖1 飽和環節的非線性特性

式中，Ar=A+BTrF，Bpr=BRr，Tr=diag(ρ1，…，ρm)，Rr=diag(δ1，…，δm)，ρi=1/2(1+1/ri)，δi=1/2(1 - 1/ri)，i=1，…，m。

式(8)的優化問題可以借助于文獻［14］介紹的MAXDET軟件實現求取的橢球吸引域最大化。由于在式(3)表示的小擾動穩定域內部不會發生Hopf分岔、鞍結分岔和奇異誘導分岔，因此使用矩陣不等式方法計算飽和系統的橢球吸引域時，式(8)可能有解也可能無解。若有解則說明該運行點計及飽和環節后是小擾動穩定的;若無解則說明系統計及飽和環節后是小擾動不穩定的。根據這一思想，形成如下算法:

算法3

(1)～(2)與算法1中(1)～(2)相同;

(3)在參數空間中，從初始點起沿某一射線方向，以一定的步長準靜態的改變參數變量，得到新的系統平衡點，根據式(8)計算飽和系統的橢球吸引域。當橢球吸引域不存在或過小，系統小擾動不穩定，該點即為小擾動穩定域的邊界點;

(4)與算法1中(5)相同。

在使用過程中，當不考慮擾動大小時，算法3中的橢球吸引域體積指標可以取較小的值;當考慮擾動大小時，算法3中的橢球吸引域體積指標可取較大值。因此，與算法1和2相比，算法3具有更大的靈活性，并且能夠提供更多元的信息。

4 算例分析

算例采用WSCC-3機9節點系統，其模型見附錄［15］。勵磁系統采用標準的IEEEDC1A模型，負荷采用恒阻抗模型，選取發電機G2、G3的有功功率P2、P3作為注入空間的參數變量，利用算法1獲得圖2所示的小擾動穩定域邊界點。同理，利用算法2獲得圖3所示的小擾動穩定域邊界點。對比圖2和圖3可知，最優勵磁控制下的小擾動穩定域ΩLOEC要明顯大于傳統勵磁控制(DC1A模型)下的小擾動穩定域ΩDC1A。

算法3的步驟(3)中，以橢球體的體積作為判斷橢球吸引域大小的指標，取臨界點體積指標為Vcr=0.005，勵磁頂值u0i=5，射線共100條(即射線將單位圓平分為100等份)，獲得的小擾動穩定域Ω*如圖4所示。從圖4中可見，算法3采用凸優化方法獲得的小擾動穩定域與算法2獲得的小擾動穩定域差別不大，從而驗證了算法3的有效性。

圖4 采用新算法確定的小擾動穩定域Ω*

5 結 論

發電機勵磁系統的飽和環節是實際系統的現實約束，本文在計及飽和環節后對小擾動穩定域進行了深入研究，提出了以橢球吸引域體積為指標確定小擾動穩定域邊界的新算法，算例研究表明采用凸優化方法求取小擾動穩定域是可行的，并且勵磁系統采用最優勵磁控制的小擾動穩定域要明顯大于傳統勵磁控制(IEEE DC1A模型)方式下的小擾動穩定域，從而也驗證了最優勵磁控制的優越性。

附 錄

電力系統中，多機系統的數學模型可表示為:

代數方程為

其中，i=1，2，…，n，n為發電機的臺數，各參數的意義見文獻［15］。

式(9)～(14)，對圖5所示的WSCC系統在運行點附近進行線性化，模型可寫為

其中，

圖5 WSCC系統圖

式中，k△E'qi，k△δi，k△ωi，i=1，2，3，分別為 △E'qi，△δi，△ωi的控制器狀態增益，增益值可利用文獻［15］提出的設計方法設計，R取單位矩陣，Q=［50 10 5 50 10 5 50 10 5］。式(15)滿足式(4)、(8)的形式，可用于算法2、3 中。

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