基于改進免疫算法的PMU多目標優化配置

張 健，李國慶，冀瑞芳

(1.吉林省電力有限公司調度通信中心，吉林長春130021;2.東北電力大學電氣工程學院，吉林吉林132012)

相量測量單元PMU(Phasor Measurement Units)是基于全球定位系統GPS(Global Position System)的一種相量測量裝置，它由微處理器、GPS接收器、信號變送模塊及通訊模塊組成，對電壓電流進行同步測量［1，2］。PMU能夠提供統一時空坐標下的高精度電壓和電流相量量測，可顯著改善電力系統量測可觀測性和狀態估計精度，提高系統監控的實時性和準確性。

現代電力系統規模很大，節點數眾多，對大電網中所有節點都安裝PMU是不現實的。如何用數量最少的PMU進行合理的安裝配置以實現對全網各節點的完全可觀測及量測冗余度最大化將具有很大的現實意義。本文以PMU安裝數最少和量測冗余度最高為目標，建立了PMU的優化配置數學模型，并提出一種改進的免疫算法進行求解，得到PMU多目標優化配置方案的Pareto最優解集，最后用模糊集理論對最優解集中的解進行評價。

1 PMU最優配置

在電力系統中，電壓相量可測或可求出的節點稱為可觀測節點，否則為不可觀測節點。若系統的所有節點均為可觀測節點，則系統為完全可觀測系統;反之，系統為不完全可觀測系統。

1.1 系統可觀測性分析判定條件與方法

從網絡節點方程可解性的角度，可給出如下節點可觀測性的判定條件［3］:

1)配置PMU的節點及其相鄰節點為可觀測節點。

2)對于可觀測的零注入節點，若其相鄰節點中只有一個節點可觀測性未知，其余都可觀測，則可觀測性未知節點為可觀測節點。

3)對于可觀測性未知的零注入節點，若其相鄰節點皆為可觀測結點，則該節點為可觀測節點;若其相鄰節點中包含可觀測性未知的節點，其可觀測性需要用節點方程理論來判斷。

1.2 PMU多目標優化配置模型

若當所配置的全部PMU中任意一個出現故障時，均能保持可觀測的節點，稱之為冗余量測節點。對于一個N節點的系統，若采用某種PMU配置方案可存在R個冗余量測節點，則該方案的N-1量測冗余度定義為:D=R/N，PMU多目標優化配置模型為

式中，m為PMU安裝數量;Ui表示第i個節點不可觀測;N為系統節點數。

2 多目標優化的免疫算法

多目標優化的免疫算法基于免疫應答原理，其主要思想是將求解問題的多目標函數對應入侵免疫系統的抗原，多目標函數的可行解對應免疫系統產生的抗體，用抗原和抗體親和度來描述可行解和最優解的逼近程度。

2.1 多目標優化問題

多目標優化問題的目標函數Fopt可表示為:

式中，fi(x)為第i個目標函數;Nobj為目標函數數量。

在進化算法中，個體都需要分配表示其優劣程度的適應度。在單目標問題中通過唯一的目標函數來實現，但在面對式(5)同時存在多個目標的情況時，評價個體的優劣變得相對復雜，適應度的分配問題成了難點。

2.2 Pareto 最優

Pareto可行解概念是建立在集合論基礎上對多目標解的一種向量評估形式，在多目標優化問題中，常用到如下幾個定義［4］:

定義1當且僅當滿足 ?i∈ {1，2，…，m}(fi(x1)≤fi(x2))，且 ?j∈ {1，2，…，m}(fj(x1)＜fj(x2))時，可定義x1支配x2(表示成x1＜x2)。

定義2當x∈S且不存在x'∈S使得x'＜x，則可稱x為集合S的非支配解，而包含所有這樣非支配解x的集合P則稱為S的非支配集。

定義3集合PF={vv=［f1(x)，f2(x)，…，fm(x)］T，x∈P}稱為集合S的Pareto前沿。

2.3 改進免疫算法

免疫算法將求解問題的目標函數和約束條件作為入侵生物體的抗原，最優問題的可行解當作免疫系統產生的抗體。通過抗體和抗原的親和度來描述可行解與最優解的逼近程度，通過一系列的進化操作及親和度的計算，在保持抗體多樣性的情況下，找到抗體種群中與抗原親和度最大的抗體作為最優解［5］。

2.3.1 種群初始化

初始父種群Yi由隨機產生的m個各不相同的長度為n的二進制編碼(1代表該位置配置PMU，0代表不配置)個體組成，初始子種群Xi為空。

2.3.2 非一致性變異

傳統免疫算法的變異算子的作用和變異代數沒有直接關系，當算法進化到一定代數以后，由于缺乏局部搜索，很難通過該變異算子獲得最優解。本文采用非一致性變異算子，該算子將變異結果與進化代數聯系起來，使得在進化初期，變異算子的范圍相對較大，而隨著進化的推進，變異的范圍越來越小，起到一種對演化系統的微調作用。具體操作如下:

設xk={v1，…，vs-1，vs，…，vl}是一個父抗體，抗體基因串長度為l，分量vk被選為進行變異，x'k={v1，…，vs-1，v's，…，vl}為變異后的抗體

式中，maxs、mins為抗體基因vs取值的最大值和最小值;t為當前的進化代數，函數△(t，y)的值域為［0，y］，并使得當t增大時，△(t，y)接近于0的概率增加，即t的值越大，△(t，y)去接近于0的值的可能性越大，從而使算法在演化初始期能夠搜索到較大范圍，而后期主要是進行局部搜索。

函數△(t，y)的表達式為

式中r是［0，1］上的一個隨機數;T表示最大代數;λ是決定非一致性程度的參數，起調整局部搜索區域的作用，一般取為2～5。

2.3.3 參數的自適應調整

當算法接近或陷入局部最優時，群體的多樣性小，此時希望變異率大一些，使得個體在更廣闊的空間擴展和突變，增加群體的多樣性，以保證在局部搜索范圍變大時局部搜索的有效性。在算法遠離收斂狀態時，群體的多樣性大，此時希望變異率小一些，以保證群體的進化，使得在多個不同個體的領域內搜索。如果適當調節算法參數，既可保證群體的進化，又可提高算法的全局尋優性能。為此，引入參數的自適應調整策略，使得子種群在各自的進化過程中，變異率pm按親和度自動調整。

式中，f為待變異抗體的親和度值;fmax為種群中抗體親和度最大值;faverage為每代種群抗體親和度的平均值;k1、k2在(0，1)內取值。

2.4 算法流程

PMU多目標優化配置的計算過程如下:

(1)為保持種群個體多樣性，檢驗子種群Xg與父種群Yg中是否有重復的個體，若有則對該重復個體進行局部變異，直至兩種群中的個體各不相同，并由式(6)計算所有新生個體的各目標函數值。將新的子種群Xg與父種群Yg混合成一個更大規模的臨時種群Sg。

(2)按Pareto排序策略［6］，找出當前種群Sg的Pareto最優解集合，作為Yg(1)，將Yg(1)中所有個體從當前種群中移出，然后在剩余個體群中再找出新的Pareto最優解集合，作為Yg(2)，依此類推，直到所有個體都完成分級排序。然后，計算出各級中各個體的擁擠距離。

(3)將Yg(1)，Yg(2)，…按先后順序形成一個新種群中，填充直到種群規模將超過m時，改為對Yg(i)中的個體按擁擠距離由大到小逐個補充，直到種群規模正好等于m時停止，形成新的父種群Yg+1。

(4)從Yg+1中按排序等級值越小越優先、同一等級則擁擠距離越大越優先的原則，采用隨機錦標賽的形式產生優選種群，優選種群規模一般設置為父種群規模的一半左右。對以上優選種群采用2.3.1節中的非一致性變異機制，得到新的子種群Xg+1。

(5)若g=gmax，輸出父種群即為多目標優化問題的Pareto最優解集;否則令g=g+1，進入下一次循環。

2.5 最優解評價

多目標優化得到的是一個Pareto最優解集，實際應用中決策者需要從中選擇一個最優折衷解作為最終實施的方案，根據模糊集理論來確定最優折衷解［7］。每個Pareto解中各目標函數對應的滿意度可用模糊隸屬度函數來表示，定義如下

求得Pareto解集中各解的標準化滿意度為

對Pareto最優解集進行評價，選擇l值最大的為最優折衷解。

3 算例分析

本文采用IEEE-39節點系統［8］進行PMU多目標優化配置，取最大迭代次數為100，初始種群規模為100，k1、k2取0.5，λ取2.5，采用本文方法求解，得到能綜合實現PMU安裝數盡量少和冗余量測節點數盡量多兩目標的一系列Pareto最優解，表1中列出了部分PMU多目標優化配置方案。

表1 PMU多目標優化配置方案

從表1中可看出，在全網完全可觀測的前提下，要提高量測冗余度，則必須增加PMU，要實現全網完全可觀測至少需要安裝8個PMU，此時冗余量測節點數為6;若要完全實現全網N-1量測可靠性，即冗余量測節點達到100%，則至少需要安裝17個PMU。各方案可通過標準化滿意度來評估，當資金允許情況下，應選擇滿意度盡可能高的PMU配置方案，比較表1中各Pareto最優解的標準化滿意度值，最優折衷方案可選擇(7，8，10，12，16，18，20，22，23，25，26，29，30)。可見，本文的多目標優化方法可較大程度地改善PMU優化配置方案選擇的合理性和靈活性，便于決策者根據實際情況需要選擇最合適的配置方案。

4 結 論

本文將帕雷托分類排序與免疫算法相結合，對PMU進行多目標優化配置，目標函數選取為PMU的安裝數目最小，且系統的N-1量測可靠性盡量高，采用模糊集理論提取出最優折中解，并通過非一致性變異操作來提高免疫算法的性能，改進后的免疫算法體現出優越的性能，可簡單快速地實現全局多目標尋優，找到大量的Pareto最優解，得到準確而完整的Pareto前沿。得到的PMU多目標優化配置方案合理可行，對于相關決策者根據實際情況進行科學選擇具有現實的指導意義。

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