面向齒輪箱故障診斷的序貫概率比檢驗(yàn)理論和方法

尚云飛,陳漢新，孫 魁

(武漢工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，湖北 武漢，430205)

0 引 言

1947年，Wald[1]提出了序貫概率比檢驗(yàn)算法.該算法基于兩種假設(shè)：(1)樣本要滿足獨(dú)立同分布；(2)樣本的先驗(yàn)分布要已知，如滿足正態(tài)分布等[2].序貫概率比檢驗(yàn)算法應(yīng)用于齒輪箱的故障診斷與傳統(tǒng)的故障診斷方法不同的是，不需要預(yù)先設(shè)定檢驗(yàn)樣本的數(shù)量，而是將序貫概率比檢驗(yàn)后的值與預(yù)先設(shè)定的閾值進(jìn)行比較，從而判斷設(shè)備的運(yùn)行狀態(tài)[3].

在齒輪故障診斷實(shí)驗(yàn)中，選用齒輪裂紋來模擬齒輪故障.實(shí)驗(yàn)中得到的信號(hào)會(huì)夾雜著噪聲等干擾，影響了信號(hào)的穩(wěn)定性.首先，采用小波包降噪的方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，以得到穩(wěn)定的振動(dòng)信號(hào).再運(yùn)用時(shí)域分析法提取信號(hào)的特征值，最后對(duì)信號(hào)進(jìn)行序貫概率比檢驗(yàn).為了驗(yàn)證序貫概率比檢驗(yàn)算法用于齒輪箱故障診斷的診斷能力，選用均方根誤差的方法來驗(yàn)證該方法的有效性.

1 序貫概率比檢驗(yàn)原理

對(duì)于一個(gè)二元序貫概率比檢驗(yàn)，零假設(shè)和被擇假設(shè)分別表示為H0∶θ=θ0和H1∶θ=θ1.它們的聯(lián)合分布密度函數(shù)為

(1)

其中，j=0,1.序貫概率比檢驗(yàn)的似然比λ為

λn(x)=λn(x1,…,xn)=

(2)

假設(shè)x1是采樣得到的第一個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)值，將其帶入公式(2)中計(jì)算似然比，記為λ1(x1).按預(yù)先設(shè)定的閾值對(duì)兩種故障模式進(jìn)行識(shí)別.如果似然比滿足λ1(x1)A，接受備擇假設(shè)H1，拒絕零假設(shè)H0；如果似然比為B≤λ1(x1)≤A，就繼續(xù)提取第二個(gè)觀測(cè)值并計(jì)算λ2(x1,x2)繼續(xù)檢驗(yàn)，直到滿足停止檢驗(yàn)的閾值要求為止.這個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)的全過程稱為序貫概率比檢驗(yàn).

民營(yíng)企業(yè)從銀行獲得貸款也不容易。“銀行能給我們的貸款額度在收緊。”某文旅企業(yè)負(fù)責(zé)人周珊彤說，“我們找銀行貸款，額度上就會(huì)打折扣，放款也不能一次到位，而是要分幾批發(fā)放，銀行的解釋是上級(jí)行對(duì)規(guī)模管理得較嚴(yán)。”

根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)中犯第一類錯(cuò)誤的概率α與犯第二類錯(cuò)誤的概率β確定閾值A(chǔ)和B(A>B).檢驗(yàn)中的閾值A(chǔ),B與α，β的關(guān)系滿足如下式子：

(3)

(4)

2 齒輪箱故障診斷實(shí)驗(yàn)

表1 兩種故障模式

如圖1所示的齒輪箱工作結(jié)構(gòu)圖，振動(dòng)是由齒輪3與齒輪4之間的沖擊力產(chǎn)生的，實(shí)驗(yàn)中選取齒輪3來模擬故障模式.

圖1 齒輪箱工作結(jié)構(gòu)圖

將兩個(gè)加速度傳感器分別安裝在齒輪箱的水平和垂直方向，采用動(dòng)態(tài)模擬器來采集齒輪箱振動(dòng)信號(hào).本文只對(duì)安裝在水平方向上的傳感器所測(cè)得的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析.將正常狀況下得到的振動(dòng)信號(hào)記為S1,故障狀況下得到的振動(dòng)信號(hào)記為S2.

3 齒輪裂紋的序貫概率比檢驗(yàn)

3.1 小波包降噪

小波包變換通過對(duì)信號(hào)的低頻部分和高頻部分的同時(shí)分解來提高時(shí)頻分辨率.將實(shí)驗(yàn)信號(hào)進(jìn)行3層小波包分解，就可以得到8個(gè)正交頻帶的振動(dòng)信號(hào)，再對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)[4].這可以對(duì)信號(hào)處理得更細(xì)致、準(zhǔn)確.得到適合序貫概率比檢驗(yàn)的平穩(wěn)信號(hào).

3.2 特征參數(shù)提取

特征參數(shù)可以反映振動(dòng)信號(hào)的特征信息，從原始振動(dòng)信號(hào)中提取相關(guān)的特征參數(shù)，將其預(yù)處理后作為序貫概率比檢驗(yàn)的檢驗(yàn)參數(shù)[5-8].實(shí)驗(yàn)中的離散待檢信號(hào)xi=[x1,x2,…,xN]，N=8 192，每組取1 024個(gè)檢驗(yàn)點(diǎn)，這樣就可以得到7 169組檢驗(yàn)數(shù)據(jù).幾個(gè)特征參數(shù)按下面公式計(jì)算：

均值：

(5)

峭度值：

(6)

峭度值的所有取值作為作為序貫概率比檢驗(yàn)的檢驗(yàn)參數(shù)，表示為ki=[k1,…,kn]，其均值和標(biāo)準(zhǔn)差為：

均值：

(7)

標(biāo)準(zhǔn)差：

(8)

3.3 齒輪裂紋的序貫概率比檢驗(yàn)

由序貫概率比檢驗(yàn)的基本原理可知，待檢驗(yàn)序列的均值和方差對(duì)似然比有較大的影響.經(jīng)過預(yù)處理后，幾組檢驗(yàn)參數(shù)的序列基本滿足高斯分布.在正常狀況下，該信號(hào)序列滿足零假設(shè)H0∶μ=μ0；在故障狀況下，該信號(hào)序列滿足被擇假設(shè)H1∶μ=μ1.標(biāo)準(zhǔn)差σ不變，均值變化，在零假設(shè)和備擇假設(shè)均成立的條件下，該序列的聯(lián)合概率密度分別表示為：

(9)

(10)

式(10)中，p0i和p1i分別為零假設(shè)和備擇假設(shè)條件下的概率密度函數(shù).序貫概率比檢驗(yàn)的似然比為

(11)

式(11)中，P0和P1分別為零假設(shè)和備擇假設(shè)條件下的先驗(yàn)概率.

在實(shí)際應(yīng)用中，為了計(jì)算方便且準(zhǔn)確，公式(11)可以轉(zhuǎn)化為下面形式[9]：

(12)

此時(shí)，閾值a=lnA，b=lnB.

如果似然比滿足Δa，接受備選假設(shè)H1，即為故障狀況；如果似然比滿足b<Δ

圖2 齒輪箱序貫概率比檢驗(yàn)流程圖

3.4 誤差分析

為了檢驗(yàn)采用序貫概率比檢驗(yàn)算法對(duì)齒輪裂紋進(jìn)行故障診斷的診斷性能和可行性，用均方根誤差算法來評(píng)估其診斷能力.均方根誤差定義為:

(13)

4 結(jié)果與分析

4.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

對(duì)于正常狀況和故障狀況兩種故障模式，實(shí)驗(yàn)中共得到圖3所示的S1和S2兩組振動(dòng)信號(hào).

圖3 兩組實(shí)驗(yàn)振動(dòng)信號(hào)：(S1)為正常狀況；(S2)為故障狀況

4.2 預(yù)處理結(jié)果

對(duì)實(shí)驗(yàn)信號(hào)進(jìn)行小波包去噪處理，得到穩(wěn)定的信號(hào)，如圖4所示.

圖4 小波包去噪后的振動(dòng)信號(hào)，(S1)為正常狀況；(S2)為故障狀況

4.3 序貫概率比檢驗(yàn)結(jié)果分析

峭度值對(duì)沖擊性特性很敏感，均值偏差對(duì)似然比、檢驗(yàn)時(shí)間的長(zhǎng)短以及檢驗(yàn)的準(zhǔn)確性都有影響.對(duì)假設(shè)H0和H1，規(guī)定犯第一類錯(cuò)誤的概率與犯第二類錯(cuò)誤的概率相等，取α=β=0.005，并且所觀測(cè)信號(hào)的先驗(yàn)概率是相等的.

由序貫概率比檢驗(yàn)的基本原理可知，均值變化量對(duì)似然比Δ的影響較大.以正常狀況下的信號(hào)S1的均值作為參數(shù)μ0，以故障狀態(tài)下的信號(hào)S2的均值作為參數(shù)μ1，對(duì)信號(hào)進(jìn)行檢驗(yàn)，得到如圖5所示的圖形.

圖5 以正常狀況下的信號(hào)S1的均值作為參數(shù)μ0，以故障狀態(tài)下的信號(hào)S2的均值作為參數(shù)μ1的序貫概率比檢驗(yàn)結(jié)果

當(dāng)以正常狀況下的信號(hào)S1的均值作為參數(shù)μ0，以故障狀態(tài)下的信號(hào)S2的均值作為參數(shù)μ1時(shí)，分別將信號(hào)S1和S2輸入似然比公式中檢驗(yàn)，得到圖5.圖5說明輸入信號(hào)S1時(shí)，似然比滿足Δa，可以判斷齒輪箱發(fā)生故障.此外，本文提出的序貫概率比檢驗(yàn)算法可以對(duì)正常和故障的信號(hào)進(jìn)行有效的區(qū)分.

4.4 誤差結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)中，在正常狀況下獲得兩組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，每一組預(yù)處理并提取特征值后得到7 169個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，兩組信號(hào)就共有14 338個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn).將這些數(shù)據(jù)點(diǎn)分為16小組，分別記為A1，B1，C1，D1，E1，F(xiàn)1，G1，H1，I1，J1，K1，L1，M1，N1，O1，P1組.將每一組數(shù)據(jù)進(jìn)行序貫概率比檢驗(yàn)，得到16個(gè)似然比的值，分別記為A2，B2，C2，D2，E2，F(xiàn)2，G2，H2，I2，J2，K2，L2，M2，N2，O2，P2.用均方根誤差方法來計(jì)算這16個(gè)似然比之間的誤差，即A2分別與B2到P2這15個(gè)似然比比較，B2分別與C2到P2這14個(gè)似然比比較，C2分別與D2到P2這13個(gè)似然比比較，…，O2與P2比較，得到15組比值，其中每組比值中的最大值分別如以下圖中所示的m1，m2，m3，…,m15.故障模式下計(jì)算的似然比記為a，運(yùn)用均方根誤差算法分別與上面的16組似然比值比較，即a與A2，B2…P2比較，計(jì)算不同故障模式之間的誤差，共得到到16個(gè)誤差值點(diǎn)，形成的誤差曲線如下面圖中的曲線.通過誤差的比較來評(píng)估序貫概率比檢驗(yàn)算法應(yīng)用于齒輪裂紋的故障診斷的診斷能力.

以正常信號(hào)的均值作為參數(shù)μ0，以故障信號(hào)的均值作為參數(shù)μ1，建立序貫概率比檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?檢驗(yàn)結(jié)果如圖6所示.

將實(shí)驗(yàn)中得到并預(yù)處理后的14 338個(gè)正常齒輪的數(shù)據(jù)信號(hào)，分為16組，進(jìn)行序貫概率比檢驗(yàn)，得到圖6(a)所示的16條normal曲線.同理，對(duì)故障的數(shù)據(jù)信號(hào)進(jìn)行序貫概率比檢驗(yàn)，得到圖6(a)所示的fault曲線.圖6(a)說明16組正常信號(hào)的似然比曲線大體趨勢(shì)相同，與故障信號(hào)的似然比曲線有明顯的差異.運(yùn)用均方根誤差算法計(jì)算16組正常信號(hào)的似然比之間的誤差，共得到15組誤差數(shù)據(jù)，每組誤差數(shù)據(jù)中的最大值如圖6(b)中的條形圖所示.繼續(xù)計(jì)算故障信號(hào)分別與正常信號(hào)似然比之間的誤差，得到如圖6(b)所示的誤差曲線.圖6(b)說明不同故障模式之間的誤差遠(yuǎn)大于同種故障模式彼此之間的誤差，也就是說，序貫概率比檢驗(yàn)算法可以對(duì)不同故障模式進(jìn)行有效的分類和識(shí)別.

圖6 16組正常信號(hào)和故障信號(hào)的序貫概率比檢驗(yàn)及誤差計(jì)算

5 結(jié) 語

基于序貫概率比檢驗(yàn)算法建立了一種新的齒輪箱故障診斷模型.通過對(duì)正常和故障齒輪狀態(tài)的識(shí)別與檢驗(yàn)，來檢驗(yàn)序貫概率比檢驗(yàn)算法的有效性.實(shí)驗(yàn)中得到的振動(dòng)信號(hào)夾雜著噪聲等干擾，采用小波包去噪方法對(duì)原信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，得到穩(wěn)定的檢驗(yàn)信號(hào).采用時(shí)域分析法提取信號(hào)的特征值，本文中提取對(duì)沖擊性振動(dòng)敏感的峭度值作為特征值.運(yùn)用均方根誤差算法來檢驗(yàn)序貫概率比檢驗(yàn)算法的診斷能力.結(jié)果表明本文提出的方法能夠有效地對(duì)齒輪進(jìn)行故障診斷.序貫概率比檢驗(yàn)算法對(duì)齒輪裂紋的識(shí)別和診斷具有很好的有效性和可行性.此外，上述方法也適用于復(fù)雜旋轉(zhuǎn)機(jī)械的故障診斷與檢測(cè).

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