一般Orlicz序列空間中的一點注記

段麗芬，楊德清

(通化師范學院 數學系，吉林 通化 134002)

若

y，z∈B(lM，p){0}

滿足2x=y+z，

且(i)集合

{i∈N:x(i)≠0}

為單元集或(ii)對任何

μ{i∈N:kx(i)?SCM}≤1，

則

1 定義及符號

本文總以X表示一個Banach空間，B(X)、S(X)分別表示X的閉單位球和單位球面.

設

x=(x(i))i，y=(y(i))i，…

表實數序列，稱

為x關于M的模.據[1]，線性集

關于p-Amemiya范數(1≤p≤∞):

成為Banach空間，并且這些范數是等價的.簡記

文中其他定義與符號同[1](只要將LM,p改為lm,p).

2 主要結果及證明

為了方便，我們首先給出兩個有用的結論.

引理2 對任何1≤p≤∞及x=(x(i))i∈lM，p{0}，都有

(i)若

則

(ii)若

(iii)若

由于這兩個引理分別是[1]中引理4、引理5之(vi)和定理6的平行結果，其證明亦可平行獲得(只要把函數改為序列即可)，且過程較冗長，這里略去.

利用它們，再證明一個引理.

引理3 設1≤p≤∞，則

ρM(kx)=ck‖x‖1，‖x‖M，p=c‖x‖1

這說明lM，p(10.這樣，對x∈lM，p{0}，存在k0>0，使得ρN(p+(k0|x|))>0.于是，

當p=1時，若cM<∞，證明過程完全同1

若cM=∞，假設

x=(x(i))i∈ExtB(lM，p)，x(1)>0，x(2)>0

0≤M(u)/u≤M(v)/v(0≤u≤v)，

p-(u/2)≥p+(u/3)(u>0)，

記ε∈(0，min{x(1)，x(2)}).定義

x1=(x(1)+ε，x(2)-ε，x(3)，x(4)，…)，

x2=(x(1)-ε，x(2)+ε，x(3)，x(4)，…)

同理，‖x2‖M，1≤1.

但x1≠x2，這與x∈ExtB(lM，p)矛盾.結論得證.

(ii)設

則存在實數a:0≤a≤1及滿足

使得

x=ay+(1-a)z且‖x‖M，p=1.

注意到，對任何k∈R，都有

ρM(kx)≤aρM(ky)+(1-a)ρM(kz)<∞.

這樣，θ-1(x)=∞.

師：是啊，人生得一知己足矣。都說，友情是一杯茶，需要慢慢品嘗；友情是一杯酒，越陳越香。今天我們要學的課文就是跟友情有關的。

由引理1，對固定的

有

1=‖x‖M，p=

2≥‖y‖M，p+‖z‖M，p=

這蘊涵

‖x‖M，p=‖y‖m，p=‖z‖M，p=

1=(2kz)-1sp°ρM(2kzx)，

利用Sp的連續性和級數形式法都引理得，對任何正整數i，

=M(2kzx(i)).

Akz|y(i)|+M(kzsigny(i)z(i))=

M(kz|y(i)|+kzsigny(i)z(i)).

無論題設(i)或(ii)哪條成立，都存在i∈N，使得2kzx(i)∈SCM.記

u=kzsigny(i)z(i)，v=kz|y(i)|，

則M(u+v)=M(u)+Av，利用M的凸性，有u≥0且對任何w≥v，

對任何0≤w

這蘊涵著對任何w≥0，都有

M(u+w)=M(u)+Aw.

所以u+v?SCM，故2kzx(i)=±(u+v)?SCM，產生矛盾.

參考文獻：

[1]Cui Y A，DUAN L F，HUDZIK H，et al.Basic theory of p-Amemiya norm in Orlicz Spaces :Extreme points and rotundity in Orlicz spaces endowed with these norms[J].Nonlinear Analysis: Theory，Methods & Applications，2008，69(5-6):1796～1816.

[2]Orlicz W.über Eine Gewisse Klasse Von R?umen Vom Typus B[M].Poland:Bull Acad Polonaise A，1932.

[3]Luxemburg W A J.Banach Function Spaces[D].Delft-Netherland:Technische Hogeschoolte Delft，1955.

[4]Chen S T.Geometry of Orlicz Spaces[M].Warszawa:Dissertations Math，1996.

[5]段麗芬，崔云安.賦廣義Orlicz范數的Orlicz序列空間的端點和強端點[J].華東師范大學學報:自然科學版，2009(1):53～60.

[6]Cui Y A，HUDZIK H，NOWAK M，et al.Some Geometric Properties in Orlicz Sequence Spaces Equipped with Orlicz Norm[J].Journal of Convex Analysis，1999，6(1):91～113.