航天器姿態(tài)跟蹤的幾乎干擾解耦控制

李傳江，郭敏文，2，馬廣富

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 控制科學(xué)與工程系，150001 哈爾濱，lichuan@hit.edu.cn;2.北京控制工程研究所，100190 北京)

航天器姿態(tài)跟蹤的幾乎干擾解耦控制

李傳江1，郭敏文1，2，馬廣富1

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 控制科學(xué)與工程系，150001 哈爾濱，lichuan@hit.edu.cn;2.北京控制工程研究所，100190 北京)

研究了有界干擾力矩作用下航天器姿態(tài)跟蹤的幾乎干擾解耦控制問題.采用修正羅德里格參數(shù)(MRP)作為航天器的姿態(tài)描述.利用非線性系統(tǒng)中的微分幾何理論，通過反饋線性化方法設(shè)計跟蹤控制器，使得在實(shí)現(xiàn)姿態(tài)跟蹤的同時，實(shí)現(xiàn)了對系統(tǒng)的幾乎干擾解耦控制，即在L2增益意義下實(shí)現(xiàn)了從干擾到跟蹤誤差的影響任意小，并通過Lyapunov方法證明了干擾對跟蹤誤差的L2增益可以通過調(diào)節(jié)相關(guān)參數(shù)實(shí)現(xiàn)任意減小，同時保證了姿態(tài)跟蹤誤差系統(tǒng)是全局一致最終有界穩(wěn)定的.最后進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真研究，驗證了所設(shè)計的幾乎干擾解耦控制器的可行性和有效性.

姿態(tài)跟蹤;幾乎干擾解耦;反饋線性化;Lyapunov方法;全局一致最終有界穩(wěn)定

作為航天器系統(tǒng)諸多分系統(tǒng)的重要子系統(tǒng)之一，航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)直接影響著衛(wèi)星的工作性能和使用壽命.其實(shí)際在軌飛行時不可避免地受到空間各種環(huán)境力矩(如重力梯度力矩、太陽輻射力矩、氣動力矩和地磁力矩等)和非環(huán)境力矩(如飛輪等執(zhí)行機(jī)構(gòu)的內(nèi)部摩擦、航天器活動部件的轉(zhuǎn)動以及執(zhí)行機(jī)構(gòu)的安裝誤差等)的作用.所有干擾力矩都會對航天器姿態(tài)控制性能產(chǎn)生一定影響，因此干擾力矩的抑制問題已經(jīng)成為高精度高穩(wěn)定度航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)的重要研究內(nèi)容之一.

干擾解耦控制，就是對給定的系統(tǒng)設(shè)計控制器，使得輸出與干擾是無關(guān)的，但大多數(shù)的非線性系統(tǒng)不滿足可干擾解耦的充要條件［1］，無法實(shí)現(xiàn)干擾解耦.針對此問題，相關(guān)學(xué)者提出了幾乎干擾解耦控制［2］，即設(shè)計控制器使得在L2增益意義上干擾對輸出的影響可以任意小.幾乎干擾解耦問題首先在線性系統(tǒng)中提出并得到了基本解決，而在非線性系統(tǒng)中一直是研究的熱點(diǎn)之一.國際上提出各種方法如逆最優(yōu)控制［3］，非線性H∞控制［4-5］，H∞自適應(yīng)模糊控制［6］以及反饋線性化和前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的控制方法［7］等，還有不少針對某些特殊的非線性系統(tǒng)［8-9］的研究方案，如文獻(xiàn)［10］針對一類不確定時滯系統(tǒng)，根據(jù)線性矩陣不等式和代數(shù)Riccati方程設(shè)計了靜態(tài)狀態(tài)反饋控制器，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的魯棒H∞幾乎干擾解耦，文獻(xiàn)［2］則通過輸出反饋實(shí)現(xiàn)了一類帶不確定輸入動態(tài)非線性系統(tǒng)的魯棒幾乎干擾解耦和鎮(zhèn)定問題.

然而采用幾乎干擾解耦控制思想解決航天器姿態(tài)控制問題的研究結(jié)果較少，幾乎沒有文獻(xiàn)論述.本文基于非線性系統(tǒng)的微分幾何理論中的相對階概念，針對由修正羅德里格參數(shù)(MRP)描述的剛體航天器姿態(tài)跟蹤誤差運(yùn)動模型，利用反饋線性化的方法設(shè)計跟蹤控制器，實(shí)現(xiàn)了跟蹤系統(tǒng)的幾乎干擾解耦控制，即從有界干擾到姿態(tài)跟蹤誤差的L2增益可以通過調(diào)節(jié)相關(guān)參數(shù)實(shí)現(xiàn)任意地減小，并通過Lyapunov方法證明了姿態(tài)跟蹤誤差的全局一致最終有界穩(wěn)定性.最后對姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)學(xué)仿真，結(jié)果表明了所提出方案是有效可行的.

1 航天器運(yùn)動模型

剛體航天器的動力學(xué)方程為［11］

式中:ω=［ω1ω2ω3］T表示航天器本體坐標(biāo)系相對于地心慣性坐標(biāo)系且表示在本體坐標(biāo)系上的姿態(tài)角速度向量;J∈R3×3為航天器的對稱正定 轉(zhuǎn) 動 慣 量 矩 陣;u=［u1u2u3］T、d=［d1d2d3］T分別表示航天器在軌飛行時的三軸控制力矩向量和所受干擾力矩向量;另外，對任意 l=［l1l2l3］T，定義叉乘算子［l×］如下:

由MRP參數(shù)σ=［σ1σ2σ3］T描述的航天器非線性運(yùn)動學(xué)方程為［12］

其中矩陣G(σ)∈R3×3定義如下:

式中In為n×n維單位矩陣，σ2=σT·σ.

G(σ)矩陣滿足如下性質(zhì):

2 航天器姿態(tài)跟蹤模型

令σd、σe分別表示慣性坐標(biāo)系到期望坐標(biāo)系的期望MRP向量和期望坐標(biāo)系到本體坐標(biāo)系的誤差MRP向量.由σe表示的方向余弦矩陣R(σe)定義為

取ωd及ωe分別表示期望角速度向量和誤差角速度向量，則在本體坐標(biāo)系中有關(guān)系式

將式(4)代入式(1)，整理可得航天器的誤差動力學(xué)方程為

式中矩陣P和向量q定義如下:

另一方面，由σe和ωe描述的誤差運(yùn)動學(xué)方程為

3 幾乎干擾解耦控制設(shè)計

3.1 相關(guān)基礎(chǔ)知識

定義1［12］(向量相對階)仿射型m維輸入m維輸出非線性系統(tǒng)

在x0處具有關(guān)于輸入u的向量相對階為{r1，r2， …，rm}，如果同時滿足:

1)存在x0的一個鄰域U，對其中所有x有ri-1，其中

這里L(fēng)為Lie導(dǎo)數(shù).

2)m×m維矩陣

定義2［13］(K 類函數(shù))連續(xù)函數(shù) α:［0，a)→［0，∞)，如果滿足:

1)α(0)=0;

2)α(p)＞0，?p＞0;

3)α(·)是嚴(yán)格增函數(shù);則稱該函數(shù)為K類函數(shù).

定義3［13］(KL類函數(shù))連續(xù)函數(shù)β:［0，a)×［0，∞)，如果滿足:

1)對于固定的s，β(γ，s)關(guān)于γ是K類函數(shù);

2)對于固定的γ，β(γ，s)關(guān)于s為減函數(shù);而且當(dāng)s→∞ 時，有β(γ，s)→0成立，則稱該函數(shù)β(·，·)為KL類函數(shù).

定義4［13］(微分同胚映射)若存在1個連續(xù)可微的映射φ(x)，且對于所有的x∈U，其逆映射φ-1(φ(x))=x存在且光滑(也是連續(xù)可微的)，則稱φ:U→Rn為U和Rn之間的1個微分同胚映射.

這里根據(jù)相對階的概念，針對系統(tǒng)(8)定義1個全局微分同胚映射

為如下形式:

且滿足

引理1［14］針對有界干擾d作用下的系統(tǒng)(8)，通過全局微分同胚映射(9)得到的誤差系統(tǒng)，如果設(shè)計反饋控制器u滿足如下要求:

1)系統(tǒng)是輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的;

2)對任意初始狀態(tài)x(t0)，任意時刻t≥t0，有

且

其中:c1、c2是正數(shù);ρ1、ρ2是K類函數(shù);β1是KL類函數(shù);yd=［…］T為期望輸出向量.那么稱控制器u實(shí)現(xiàn)了輸出跟蹤和幾乎干擾解耦控制.

3.2 控制器設(shè)計

取狀態(tài)變量x=［］T，其中 x1=σe，x2=ωe，則航天器姿態(tài)跟蹤方程(5)～(7)可寫為如下三維輸入三維輸出方程:

其中

由定義1可以判定，系統(tǒng)(12)在平衡點(diǎn)x0=［0 0 0 0 0 0］T處具有向量相對階{r1，r2，r3}={2，2，2}，進(jìn)而可知跟蹤系統(tǒng)總的相對階為r=6，與跟蹤系統(tǒng)的維數(shù)相等，因此系統(tǒng)可完全線性化，不存在內(nèi)動態(tài).

由映射(9)，引入如下坐標(biāo)變換:

其中A，b定義如下:

設(shè)計控制器u如下:

其中v=［v1v2v3］T為參考輸入信號.

將式(18)其代入式(16)、(17)整理得到仿射型非線性系統(tǒng)(12)的線性化狀態(tài)方程如下:

為分析問題方便，考慮第i(i=1，2，3)通道狀態(tài)方程:

定義系統(tǒng)的姿態(tài)跟蹤誤差為:

并將跟蹤誤差做如下變換:

其中ε＞0為可調(diào)參數(shù).同時令參考輸入信號

則得第i通道的線性化誤差狀態(tài)方程

其中

令λmin(Pi)、λmax(Pi)分別表示Pi的最小和最大特征值，取

及正定Lyapunov函數(shù)V為

其中Vi=0.5(ˉei)TPiˉei，k(ε)為R+→R+的任意連續(xù)函數(shù)，且滿足

對式(21)求時間導(dǎo)數(shù)，可得

由式(20)、(21)易得

由上述結(jié)論可知

進(jìn)而可得

可見當(dāng)γ＇＞0時滿足式(11)，且可增大可調(diào)參數(shù)γ＇，實(shí)現(xiàn)跟蹤誤差任意減小.

另一方面，由式(22)可知

因此根據(jù)比較原理［15］得到

可見式(10)滿足.

以上證明了干擾抑制下跟蹤問題是全局可解的，最后，證明系統(tǒng)輸出跟蹤誤差存在吸引域為球

由

即˙V≤-α*V，根據(jù)比較原理［15］，得到V(t)≤V(t0)e-α*(t-t0)，因此

由此可得

可見收斂至球域Br的收斂速率為0.5α*.整個過程證明了控制器實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)姿態(tài)跟蹤的幾乎干擾解耦控制.

為了得到關(guān)于誤差狀態(tài)ωe和σe反饋形式控制器，將控制器(18)進(jìn)行如下的推導(dǎo).由Lfh(x)=Lfσei=˙σei，可得

再由式(3)可得

因此，

經(jīng)過進(jìn)一步推導(dǎo)，最終結(jié)果由如下定理給出.

定理1 考慮航天器姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)(5)～(7)，假設(shè)干擾d有界，那么如下跟蹤控制器:

其中:ε，α1，α2均為正的常數(shù)，且

實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)姿態(tài)跟蹤的幾乎干擾解耦控制，即干擾d對姿態(tài)跟蹤誤差的L2范數(shù)可通過調(diào)節(jié)控制參數(shù)任意地減小，同時保證了跟蹤誤差的全局一致最終有界穩(wěn)定性.

4 仿真分析

本節(jié)在Matlab/Simulink環(huán)境下對某航天器姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)學(xué)仿真，以驗證所提出的幾乎干擾解耦方案的可行性和有效性.

航天器的轉(zhuǎn)動慣量取為

這里假設(shè)跟蹤的目標(biāo)角速度為

有界干擾力矩取為

誤差姿態(tài)的初始值取為

控制器參數(shù)取為

采用跟蹤控制律(23)，得到仿真結(jié)果如圖1～4所示.圖1給出了實(shí)際姿態(tài)角速度和目標(biāo)姿態(tài)角速度曲線;圖2～3分別給出了角速度跟蹤誤差和姿態(tài)跟蹤誤差曲線;控制力矩變化曲線由圖4給出.仿真結(jié)果表明，所設(shè)計控制器能較好地完成姿態(tài)跟蹤任務(wù)，實(shí)現(xiàn)幾乎干擾解耦，保證了閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤誤差是全局一致最終有界穩(wěn)定的.

圖5～圖7給出了當(dāng)控制器參數(shù)ε=0.05時的仿真結(jié)果，并將ε取不同值時的仿真結(jié)果進(jìn)行比較分析.

圖1 實(shí)際角速度ω和目標(biāo)角速度ωd(ε=0.1)

圖2 角速度跟蹤誤差ωe(ε=0.1)

圖3 姿態(tài)跟蹤誤差σe(ε=0.1)

圖4 控制力矩變化曲線(ε=0.1)

圖5 角速度跟蹤誤差ωe(ε=0.05)

圖6 姿態(tài)跟蹤誤差σe(ε=0.05)

圖7 控制力矩變化曲線(ε=0.05)

由圖5～7可見，當(dāng)ε減小為0.05時，姿態(tài)跟蹤的角速度穩(wěn)態(tài)誤差和MRP穩(wěn)態(tài)誤差都較ε=0.1時有明顯減小，但是相應(yīng)的控制力矩u卻隨著ε的減小而增大，所以在實(shí)際系統(tǒng)中應(yīng)根據(jù)執(zhí)行機(jī)構(gòu)所能提供力矩的能力，全面綜合地選擇控制器的參數(shù)，實(shí)現(xiàn)理想有效的姿態(tài)跟蹤幾乎干擾解耦控制.

5 結(jié)論

本文首先建立了帶有干擾輸入的航天器姿態(tài)運(yùn)動誤差模型，然后利用非線性微分幾何理論中的反饋線性化方法設(shè)計控制器，并應(yīng)用Lyapunov方法證明了該方法能夠有效地實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的幾乎干擾解耦控制，最終得到狀態(tài)反饋形式控制器.根據(jù)系統(tǒng)輸出跟蹤誤差的吸引域和收斂速度與調(diào)節(jié)參數(shù)ε之間的關(guān)系表達(dá)式，易知隨著ε的減小，γ＇增大同時系統(tǒng)輸出跟蹤誤差的吸引域減小，即穩(wěn)態(tài)誤差減小，且收斂速度也隨著ε的減小而增大，這說明了干擾對跟蹤誤差的L2增益可以通過減小參數(shù)ε實(shí)現(xiàn)任意減小.仿真研究也通過比較兩組不同的ε取值下的穩(wěn)態(tài)誤差值，驗證了該結(jié)論.本文不足之處在于控制器依賴系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量參數(shù)，因此設(shè)計自適應(yīng)控制律實(shí)現(xiàn)對參數(shù)不確定性下姿態(tài)跟蹤的幾乎干擾解耦控制可作為后續(xù)的研究方向.

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Spacecraft attitude tracking based on almost disturbance decoupling

LI Chuan-jiang1，GUO Min-wen1，2，MA Guang-fu1

(1.Dept.of Control Science and Engineering，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China，lichuan@hit.edu.cn;2.Beijing Institute of Control Engineering，100190 Beijing，China)

The problem of spacecraft attitude tracking under bounded disturbances is addressed based on almost disturbance decoupling.The modified Rodrigues Parameter(MRP)is adopted as attitude representation.A feedback linearization control scheme based on differential geometry for nonlinear systems is used to design the controller，by which the tracking and the almost disturbance decoupling performances can be easily achieved.Lyapunov theory is employed to prove that the influence of disturbances on theL2norm of output tracking error can be arbitrarily attenuated by changing some adjustable parameters in the controller，and that spacecraft attitude tracking system is globally uniformly ultimately bounded stable.Simulation results demonstrate the effectiveness and feasibility of the proposed control scheme.

attitude tracking;almost disturbance decoupling;feedback linearization;Lyapunov theory;global uniformly ultimately bounded stability

V448.22

A

0367－6234(2011)09－0007－07

2010－06－09.

國家自然科學(xué)基金資助項目(60774062);中國博士后科學(xué)基金資助項目(20070420858);哈爾濱工業(yè)大學(xué)優(yōu)秀青年教師培養(yǎng)計劃資助項目(HITQNJS.2008.006);哈爾濱市科技創(chuàng)新人才研究專項資助項目(2010RFQXG029).

李傳江(1978—)，男，副教授;

馬廣富(1963—)，男，教授，博士生導(dǎo)師.

(編輯 張 宏)