表面式永磁電機氣隙磁場分析

盧曉慧， 梁加紅

(國防科技大學機電工程與自動化學院，湖南 長沙 410073)

0 引言

永磁電機因具有結構簡單、運行可靠、高效節能等優點，在航空航天、工業自動化等領域獲得了越來越廣泛的應用。氣隙磁場分析是永磁電機設計及性能分析的基礎。電機磁場分析有多種方法，可分為數值法［1－2］、解析法［3－8］和幾種方法結合的混合法［9－12］。有限元數值法是一種準確計算電機內磁場分布的有效工具，但處理過程復雜，計算時間較長，在工程實際中的應用受到限制［7］。解析法計算時間短，不需要復雜的前處理過程［8］。常用的解析法有保角變換法［3－5］、分離變量法［6，8］、等效磁路法［13］等。其中，等效磁路法常存在模型不精確的問題。文獻［3］雖然采用許克變換準確分析電機磁場，但討論的待確定場的多角形形狀相對簡單，對電機的定子槽做了相應的簡化，很難得到永磁電機磁場精確解析解。

針對表面式永磁電機齒槽結構復雜，應用許克變換法計算電機磁場分布時，常將電機齒槽結構做了相應簡化，本文將12槽10極表面式永磁電機氣隙磁場分為定子繞組和永磁體產生的氣隙磁場兩部分。基于許克變換，借助許克變換工具箱將電機不規則空氣間隙轉化為幾何上簡單區域，分析表面式永磁電機定子繞組氣隙磁場。將永磁體簡化為線電流，應用許克變換工具箱分析永磁體氣隙磁場。然后在此基礎上，應用疊加原理，合成表面式永磁電機氣隙磁場，并將計算結果與有限元仿真結果進行比較。

1 基本原理

許克變換是保角變換的一種，其思想是將多角形內(外)域變換至另一個平面上(下)半平面［14］，如圖1所示。具體描述如下:

P為多角形Γ內一點，其中，多角形Γ有n個頂點分別為 ω1，…，ωn，對應的內角為 α1π，…，αnπ。f為H+到P的保角映射，其中f(∞)=ωn。對復常量A、C 有

式中:ωk=f(zk)，k=1，…，n －1;z=x+jy、ω =u+jv分別表示z、ω平面內的復數。

圖1 許克變換原理示意圖Fig.1 Block diagram of the SC transformation theorem

磁場中若將相互正交的磁力線和等位線分別用二維函數來表示，并將兩個二維函數分別作為復變函數的實部和虛部，由麥克斯韋理論可知，它們均滿足拉普拉斯方程，則該復變函數是解析函數，可借助該解析復變函數來求解磁場［15］。

若復平面z的某區域D內存在一復變數z=x+jy(x、y為實數)為變量的函數 ω =f(z)=φ +jψ(φ、ψ為實數)，則稱ω是z的復變函數，即

通常稱φ(x，y)和ψ(x，y)為共軛調和函數。另外，可以證明，若f(z)為解析函數，且f'(z)≠0，φ=常數和ψ=常數是兩組相互正交的曲線族，由于與磁場分布具有相同的形式，因此可以稱φ為通量函數，ψ 為磁位函數［16］。

根據電磁場定義可知

式中Hx和Hy分別為x、y方向的場強。

又因為 φ(x，y)和 ψ(x，y)為共軛調和函數，滿足柯西—黎曼條件，由式(3)可得

由式(4)、式(5)可得

式中“*”代表共軛。

2 定子繞組氣隙磁場分析

利用許克變換來求解磁場分布的思想是首先找出一個簡單且分布已知的磁場，然后建立待確定場與已知場之間任意點的對應關系，再把已知磁場的分布通過這種對應關系映射到待確定場上，從而可以得到待確定場的分布情況。

通過兩次許克變換，將定子繞組氣隙磁場轉化為單無限大平面線電流產生的磁場，其變換關系如圖2所示。

圖2 定子繞組氣隙磁場變換關系Fig.2 Relation of the magnetic field distribution from the armature winding currents in th slotted air gap of SMPM motors

2.1 兩無限大平行平面內線電流磁場分析

由鏡像法可知，位于兩無限大平行邊界之間線電流在該區域中形成的磁場，由該線電流形成的磁場和兩個無限大平行面鏡像的無數個電流所形成的磁場疊加而成。求解無數個電流所形成的磁場并非易事，而靠近單無限大平面線電流所形成的磁場由該線電流和平面內的一個鏡像線電流所確定，求解磁場分布相對簡單，利用許克變換將兩無限大平行平面內線電流形成的磁場映射到單無限大平面線電流形成的磁場上，如圖2所示。利用鏡像法得到靠近單無限大平面線電流所形成的磁場分布為

式中:I為線電流值;μ1為上半平面的磁導率;μ2為下半平面的磁導率;t為所求磁場的位置;ta為線電流所在位置。假設下半平面的磁導率無限大，即μ2?μ1，式(7)可以簡化成

利用許克變換建立圖2所示t平面的實軸邊界與z平面由兩無限長平行線構成的多角形邊界的變換關系，然后根據t平面線電流形成的磁場分布來求解z平面的線電流磁場分布。

根據式(1)，得到許克變換的方程為

z平面內兩無限大平面的距離為L。取t=－∞、t=∞的點分別與z=∞ +jψ0及z=∞的點相對應，t=－1的點與z=jL的點相對應，t=0的點和多角形在z=－∞處的頂點相對應，多角形在z=－∞處的內角為零。因此，有

由式(8)、式(10)得到z平面的磁場分布

式中:za為z平面中電流所在位置;G為常數。

根據電磁場理論可知，z平面中兩無限大平面的磁位差為I/2，為了使z=0時，imag(wz)=0，z=jL時，imag(wz)=I/2，可取G= －，代入式(11)中得到z平面中線電流產生的磁場為

根據式(6)得到z平面線電流產生的磁場強度

2.2 電樞電流磁場分析

由于12槽10極表面式永磁電機具有對稱性，對其進行簡化如圖3所示，所得結果可以推廣到整個電機。

圖3 表面式永磁電機M平面簡化圖Fig.3 Simplified model of the SMPM motor in the M plane

定子電樞繞組在電機氣隙中產生的磁場與定、轉子的材料導磁率以及形狀有關。其中，定子和轉子為導磁材料，其磁導率遠大于氣隙磁導率，而永磁體的磁導率近似等于氣隙磁導率。因此，在分析繞組磁場時先不考慮永磁體材料的影響。圖3中多角形由52個頂點組成，按逆時針方向對每個頂點進行編號，其在 M 平面的坐標為(ai，bi)，ai、bi分別表示第i個頂點的橫坐標和縱坐標。采用復平面坐標表示多角形頂點為

利用許克變換工具箱［17］中函數p=polygon(v)，創建M平面的多角形p。利用函數f=crrectmap(p，α)求出z平面多角形到M平面多角形的許克變換映射函數。變換后的z平面多角形頂點數量保持不變，其中α為z平面多角形頂點對應的內角。上面已經求出兩無限大平行平面內的磁場分布，因此，選取已知多角形為矩形，如圖4所示。此時，頂點1、2、3和52的內角為π/2，其余各頂點的內角為π，則

圖4 表面式永磁電機z平面圖Fig.4 Rectangle in the z plane

z平面內的點z0在M平面內對應的點m0=f(z0)。利用函數z0=evalinv(f，m0)求得z平面內與M平面相對應的點。圖4中z平面矩形下方區域由電機轉子變換得到，矩形上方區域由電機定子多角形變換得到，中間區域為電機氣隙多角形變換得到。假設z平面中定子和轉子區域的導磁率遠大于氣隙的導磁率，則氣隙磁場分布的邊界條件和兩無限大平面之間磁場的邊界條件相同，因此，z平面中氣隙磁場的分布可以通過式(12)求解，氣隙磁場強度可以由式(13)求出。根據保角變換定義可知，變換前后對應點的磁場分布相同，即

由文獻［14］可知，變換前后磁場強度的關系為

式中:df/dz可通過函數evaldiff(f，z)來實現。氣隙磁感應強度Bm(m)=μ0Hm(m)。采用許克變換工具箱求解M平面電機氣隙磁場強度步驟為:

1)利用函數z0=evalinv(f，m0)求M平面內電流I在z平面中的對應位置zI;

2)利用函數 zsolve=evalinv(f，msolve)求 M 平面中需要求解磁場強度的點msolve在z平面中的位置zsolve;

3)利用式(13)得到z平面中zI位置處電流作用下zsolve點的磁場強度值Hz(zsolve);

4)利用式(17)將Hz(zsolve)變換得到M平面中msolve點的磁場強度值Hm(msolve)。

2.3 有限元驗證

給表面式永磁電機B相通電，利用許克變換和有限元法得到電機M平面氣隙中線段Γ1上的磁感應強度，如圖5所示。其中，圖5(a)和圖5(b)分別表示Γ1切線方向和法線方向的磁感應強度值。

圖5 電樞電流在Γ1上的磁感應強度分布圖Fig.5 Magnetic flux density from the armature winding currents along Γ1using SC transformation and FEM

由圖5可知，利用Matlab許克變換工具箱得到的結果和有限元計算的結果相同，因此，利用許克變換工具箱來計算定子電樞繞組電流產生氣隙磁場是正確、可靠的。

3 永磁體氣隙磁場分析

分析永磁體在氣隙中產生的磁場時，可以將永磁體進行等效處理。

3.1 永磁體等效為面電流

磁介質經過外磁場磁化后產生磁化強度M，在介質體內和表面形成束縛電流，對于均勻磁化介質，束縛體體電流為零，僅產生束縛面電流，因此圖6(a)所示永磁體可等效為圖6(b)所示面電流，其表面電流密度為

式中:n為面電流表面法線方向的單位向量;hi為等效面電流臂的厚度。

圖6 永磁體等效示意圖Fig.6 Equivalent diagram of the permanent magnet

對于具有近似線性去磁特性的永磁體(例如稀土永磁體)，面電流密度im=HC，此時永磁體的磁導率為

式中:HC為矯頑力;Br為剩磁;β1為去磁曲線1的傾角，如圖7所示。

圖7 永磁體去磁曲線圖Fig.7 Demagnetization curve of the permanent magnet

為了簡化分析，將實際的去磁曲線1用另一條去磁曲線2來代替，且其磁導率為真空磁導率μ0，有

式中β2為去磁曲線2的傾角。曲線2與曲線1相交于0.75Br點。

通常為了充分利用永磁材料和不被電樞磁場過去磁，電機的工作點通常選在0.5Br～Br之間，這里取平均值0.75Br。在這個范圍內，由圖7可得工作點磁密的最大誤差ΔBmax為

假設相對磁導率 μr/μ0=1.1，則0.025Br，即最大誤差小于2.5%。本文研究的永磁體相對磁導率一般小于1.1，所以用上述方法近似處理永磁體滿足工程所需精確度。

利用電磁場有限元分析軟件Maxwell建立永磁體模型及等效面電流如圖8所示。建立一個環形磁路，磁路由鐵軛、永磁體和氣隙組成。其中，鐵軛為導磁材料，永磁體為釹鐵硼材料。氣隙長度為1 mm，永磁體磁化方向的高度hm=3 mm，釹鐵硼的磁化強度M=9.788×105A/m，等效面電流的壁厚hi=0.1 mm。

圖8 永磁體等效模型示意圖Fig.8 Equivalent model of the permanent magnet

利用有限元仿真得到兩個氣隙磁場中線段1的磁感應強度B分布如圖9所示。其中，橫坐標為線段1的長度，縱坐標為線段1上磁路方向即y軸方向的磁感應強度值。

由圖9可知，兩個磁場中線段1上的磁感應強度值近似相等，線段1兩邊處的磁感應強度相等，而在線段1中心處等效面電流磁場的磁感應強度大于永磁體的磁場。

圖9 氣隙磁場中線段1的磁感應強度分布圖Fig.9 Magnetic flux density along the line 1

3.2 面電流等效為線電流

為了簡化許克變換計算，將等效面電流密度im簡化成nmw匝線電流線圈，如圖6(c)所示。

等效線電流線圈中電流的安匝數與等效面電流的電流值相等，即

式中:Im為等效線電流;nmw為線圈匝數。根據式(18)得到等效線電流為

定義等效線電流線圈的密度ηm=nmw/hm，則等效線圈的電流可改寫成

進一步分析可知，若不斷增加等效線電流線圈的密度，當密度趨近于無窮時，等效線圈將會變為等效面電流。因此，等效線圈的密度越大，與永磁體磁場的近似性越好;反之亦然。有限元仿真得到不同線圈密度下線段1上的磁感應強度與永磁體產生磁場的誤差曲線，如圖10所示。

由圖10可知，等效面電流磁場的誤差最小，最大誤差小于2.5%;等效線電流線圈密度ηm=6.67×103匝/m時，最大誤差小于3%，隨著等效線電流線圈密度不斷減小，與永磁體磁場的最大誤差不斷增大，當ηm=1×103匝/m時，最大誤差超過20%。一般為了滿足工程需要，最大誤差不超過10%。在進行許克變換時，為了提高計算精度，取等效線圈磁場的誤差不超過5%，即等效線電流線圈密度ηm＞3.33×103匝/m，等效線電流線圈匝數nmw＞10。

圖10 不同線圈密度下的線段1上磁感應強度誤差曲線Fig.10 Error curves of magnetic flux density along the line 1 under different line current densities

3.3 有限元驗證

將12槽10極表面式永磁電機中永磁體等效成線電流線圈如圖11所示。

圖11 電機永磁體等效線圈示意圖Fig.11 Equivalent coils of the permanent magnets

利用許克變換工具箱得到永磁體等效線圈產生的氣隙磁場如圖12所示，其中，圖12(a)和圖12(b)分別為永磁體產生的磁場在Γ1切線方向和法線方向的磁感應強度。

由圖12可知，利用許克變換工具箱計算得到的永磁體氣隙磁場與有限元仿真結果吻合。由于許克變換忽略了永磁體非線性特性，有限元計算的結果略小于許克變換的結果，但氣隙磁場的磁感應強度最大誤差小于8%，滿足工程計算的要求。

圖12 永磁體在Γ1上的磁感應強度分布圖Fig.12 Magnetic flux density from the permanent magnet along Γ1using SC transformation and FEM

4 表面式永磁電機氣隙磁場分析

給12槽10極表面式永磁電機定子繞組通三相交流電，其中，A相電流值為－15A，B相電流值為15A，C相電流值為0，電機轉子位置如圖3所示，電機線段Γ1上的磁感應強度值分布如圖13所示。

圖13 永磁電機在Γ1上的磁感應強度分布圖Fig.13 Magnetic flux density along Γ1using SC transformation and FEM

由圖13可知，利用許克變換工具箱計算得到的表面式永磁電機氣隙磁場與有限元仿真結果吻合。因此，利用許克變換工具箱來計算表面式永磁電機氣隙磁場是準確、可靠的。

5 結語

本文將12槽10極的表面式永磁電機氣隙磁場分為定子繞組產生的氣隙磁場和永磁體產生的氣隙磁場。利用許克變換及其工具箱將電機不規則氣隙轉化為幾何上簡單區域，得到了定子繞組氣隙磁場分布。并將永磁體產生的磁場等效成線電流線圈產生的磁場，應用許克變換工具箱得到了等效線圈不同線電流密度下的氣隙磁場分布，通過對比永磁體產生的氣隙磁場，得到等效線圈的線電流密度需要大于3.33×103匝/m才能滿足工程計算的精確度要求。最后，疊加定子繞組和永磁體產生的磁場得到表面式永磁電機氣隙磁場分布，其結果與有限元仿真結果對比，兩者相吻合，其結果為進一步分析永磁電機的各種工作特性提供了參考。

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