電樞槽口寬度對內置式永磁同步電機齒槽轉矩的影響

楊玉波， 王秀和， 朱常青

(山東大學電氣工程學院，山東濟南250061)

0 引言

隨著高性能永磁材料的出現和現代電機控制技術的發展，永磁電機以其高效率、高功率密度等優勢得到越來越廣泛的應用。但是永磁電機中，永磁體和有槽電樞相互作用，引起電機內磁場能能量的變化，產生齒槽轉矩、振動和噪聲，影響系統的控制精確度，因此關于齒槽轉矩的產生機理、計算方法和削弱措施一直是中外學者的研究熱點。目前對于齒槽轉矩的分析計算方法一般有兩種，解析法和有限元法。解析法難以考慮飽和、漏磁以及復雜結構等因素，影響了其計算的準確性，但是解析法能夠揭示結構參數的變化對齒槽轉矩的影響，能夠得到指導性的規律［1－2］，因此得到了廣泛的應用［3－7］。有限元法能夠考慮漏磁、飽和以及復雜結構的影響，可準確計算齒槽轉矩。但是采用有限元法時，必須計算至少一個齒槽轉矩周期，為了保證計算的精確度，必須保證足夠小的步長，并且研究結構參數變化對齒槽轉矩的影響時，需不斷重復整個計算過程，耗時較長，并且計算結果只針對特定模型，很難得到具有指導性的規律［1］。

由于效率高、能量密度高，內置式永磁同步電動機在控制系統中得到了廣泛的應用。由于內置式永磁電機的有效氣隙小等因素的影響，齒槽轉矩的影響更大［1］。文獻［8－13］中研究了極弧寬度、磁極形狀、極弧系數組合、轉子軸向分段等方法對內置式永磁電機齒槽轉矩的影響。

本文研究槽口寬度對內置式永磁電機齒槽轉矩的影響。槽口寬度的變化會引起氣隙磁導的變化，通過合理的選擇槽口寬度能夠削弱齒槽轉矩。文獻［14］中，作者采用解析法建立了表面式永磁電機的氣隙磁導模型，推導得到了削弱齒槽轉矩的槽口寬度確定方法，作者指出由于采用了簡化模型，解析計算的槽口寬度并不能削弱齒槽轉矩，提出的解析法實用價值不大。文獻［15］中，作者推導了相對氣隙磁導的解析表達式，得到了氣隙磁場的表達式。文獻［16］中作者建立了氣隙磁場的一維解析模型和氣隙磁導的表達式，得到了對齒槽轉矩有影響的氣隙磁導的傅里葉分解系數，得出了槽口寬度計算方法。

現有的槽口寬度對齒槽轉矩影響的研究主要針對表面式結構，采用解析法，但是解析法的難點在于難以準確的確定有效氣隙長度。有限元法能夠準確的計算齒槽轉矩的大小，但是對于不同槽口寬度，需建立不同的模型，對于每個模型需要計算足夠多的點，計算量非常大。為了兼顧準確性和計算量，本文將解析法與有限元法相結合，采用解析法確定對齒槽轉矩有影響的氣隙磁導平方的傅里葉分解次數，采用有限元法計算該傅里葉分解次數，進而確定了最佳槽口寬度。

1 齒槽轉矩解析表達式

齒槽轉矩可以表示為電機內的磁場能量W相對于位置角α的導數，假設鐵心的磁導率無窮大，

電機內的磁場能量可近似為永磁體與氣隙內磁場能量之和。基于相對氣隙磁導和氣隙磁密平方的傅里葉變換，可推導得到齒槽轉矩的解析表達式［7］為

式中:z為定子槽數;LFe為電機軸向長度;R1和R2為氣隙的內半徑和外半徑;μ0為真空磁導率;GnNp為相對氣隙磁導平方的傅里葉分解系數;Br(nNpz/2p)為永磁體產生的氣隙磁密平方的傅里葉分解系數，Np可表示為

其中:p為極對數;h為最大公約數。

氣隙相對磁導的平方和氣隙磁密平方的特定的傅里葉分解系數對齒槽轉矩有重要影響，因此齒槽轉矩的削弱措施主要分為兩類，一類是通過改變永磁體的氣隙磁密，削弱對齒槽轉矩有影響的傅里葉分解次數Br(nNpz/2p)，一類為改變相對氣隙磁導，削弱傅里葉分解次數GnNp，通過改變槽口寬度削弱齒槽轉矩的方法屬于第二類。對于氣隙相對磁導的平方的傅里葉分解系數中，只有nNp次對齒槽轉矩有影響。槽口寬度的變化導致了氣隙相對磁導的變化，進而影響了齒槽轉矩的大小。因此，為了研究槽口寬度的變化對齒槽轉矩的影響，可簡化為研究其對GnNp的影響，可進一步簡化為對最低次諧波 GNp的影響。

2 基于有限元的GNp計算

目前采用解析法分析相對氣隙磁導的方法中，一般對有效氣隙長度進行簡化，很難得到準確的槽口寬度確定方法［14－16］，本文采用有限元法計算。氣隙磁密［15］可表示為

式中:Λ(φ)為氣隙相對磁導率;F(θ，φ，z)為氣隙磁壓降。對于內置式永磁同步電動機，每極中心位置處，氣隙磁壓降為常值，因此槽口寬度對氣隙磁密的影響可以體現其對相對氣隙磁導的影響。本文采用有限元法計算不同槽口寬度時，氣隙中心線處的氣隙磁密，對其平方后傅里葉分解，即可得到槽口寬度變化對GNp的影響。本文采用兩種內置式結構永磁同步電動機為例，說明槽口寬度的確定方法，樣機模型結構如圖1所示，分別為4極9槽和4極15槽結構。兩模型共同的參數為:電機極數為4極，電樞槽數為9/15槽，定子外徑為100 mm，定子內徑為52 mm，轉子內徑為20 mm，轉子外徑為51 mm，氣隙長度為0.5 mm，鐵心軸向長度為50 mm，永磁體剩磁為0.95 T，矯頑力為764 kA/m。

圖2為有限元計算模型，磁極中心線與槽中心線對齊，只需計算位于磁極中心位置處一個齒距的氣隙中心線的氣隙磁密。圖3為計算得到的一個齒距內的氣隙磁密的分布。

圖4為4極9槽內置式永磁電機(Np=4)G4和齒槽轉矩幅值隨槽口寬度的變化曲線，其中槽口寬度與齒距的比值ν為

式中:bo為槽口寬度;τp為齒距。

圖4 齒槽轉矩幅值與G4隨槽口寬度變化曲線(4極9槽)Fig．4 The amplitude of cogging torque and G4 with slot-opening(4-pole 9-slot IPM)

可見G4和齒槽轉矩幅值隨槽口寬度的變化有完全相同的變化規律，能夠使得G4減小的槽口寬度同樣能使齒槽轉矩的幅值減小。對于4極9槽電機，槽口寬度與齒距之比ν=0.28時，G4和齒槽轉矩的值都很小。不同ν值時的齒槽轉矩對比如圖5所示。

圖5 不同槽口寬度齒槽轉矩的對比(4極9槽)Fig．5 The comparison of cogging torque with different slot-opening(4-pole 9-slot IPM)

圖6為4極15槽內置式永磁電機(Np=4)不同槽口寬度時，G4和齒槽轉矩幅值的變化規律，可見G4與齒槽轉矩幅值隨ν有相同的變化規律，兩者在ν=0.275時都取得最小值。不同ν值時，齒槽轉矩的對比如圖7所示。

表1為本文計算結果與文獻［14］中解析計算結果的對比，其削弱效果在圖4和圖6中有對比，本文得到的槽口寬度效果更好。對于4極9槽和4極15槽電機，雖然對齒槽轉矩有影響的氣隙磁導平方的傅里葉分解次數都為G4，得到的最佳槽口寬度與齒距之比并不完全相同。

以上對比表明，為得到槽口寬度變化對內置式永磁電機齒槽轉矩的影響，可采用有限元法計算得到不同槽口寬度時的氣隙磁密，得到槽口寬度變化對GNp的影響，能夠削弱GNp的槽口寬度可削弱齒槽轉矩。

表1 解析法與有限元法確定的槽口寬度對比Table 1 The comparison of slot opening calculated by analytical method and finite element method

3 槽口寬度對電機性能的影響

為了對比槽口寬度變化對電機性能的影響，采用有限元法計算了4極9槽內置式永磁電機不同槽口寬度時，相繞組的反電動勢、同步電抗以及電磁轉矩。相繞組總串聯匝數為36匝，電機轉速為1 000 r/min，圖8為相電動勢的基波和諧波的對比。可見，隨著槽口寬度的增加，相電動勢基波幅值略有減小，槽口寬度與齒距比值ν從0.2增加到0.325，相電動勢的幅值減小2.76%，其3次和5次諧波的變化很小。表2為電樞電流21A時，不同槽口寬度時的鐵耗、交直軸同步電抗和電磁轉矩的計算結果，可見，由于電機轉速較慢，槽口寬度的變化對鐵耗的影響較小。隨著槽口寬度的增大，齒部漏磁減小，交軸飽和加重，交軸同步電抗會減小。

圖8 相電動勢的基波和諧波對比Fig．8 The comparison of harmonics of phase EMF

表2 槽口寬度對性能影響Table 2 The effect of slot-opening on the performance of permanent magnet synchronous motor

4 結語

本文采用解析法和有限元法結合計算了槽口寬度對內置式永磁電機齒槽轉矩的影響。采用解析法確定了對齒槽轉矩有影響的氣隙磁導平方的傅里葉分解次數，采用有限元法計算這些傅里葉分解次數的值，并將不同槽口寬度時的這些傅里葉分解次數與齒槽轉矩的幅值進行了對比，兩者隨槽口寬度有相同的變化規律。最后，以兩種內置式結構永磁電機為例，采用有限元法對進行了驗證，計算結果表明，齒槽轉矩的幅值和傅里葉分解次數有相同的變化規律，驗證了本文結論的正確性。對反電動勢、鐵耗、交直軸同步電抗和電磁轉矩的計算表明，槽口寬度對其影響不大。

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