基于UKF和線性優化的改進粒子濾波算法＊

黃雙華 白海東），2） 柯 斌 江艷陽）

（海軍工程大學1） 武漢 430033）（武漢軍械士官學校2） 武漢 430075）（海司四部雷達處3） 北京 100000）

1 引言

針對非線性問題，常用的算法有擴展卡爾曼濾波（EKF）、不敏卡爾曼濾波（UKF）、粒子濾波等，其中粒子濾波不受線性化誤差和高斯噪聲假定的限制，適用于任何環境下的任何狀態模型和量測模型。

1993年由Gordon［1］等提出的一種新的基于SIS的Bootstrap非線性濾波方法，奠定了粒子濾波算法的基礎。近年來提出的許多非線性濾波新方法，都是基于SIS濾波思想，根據重要性函數的不同選擇和重采樣方法的不同，可以對粒子濾波器進行改進。

本文將對重要性函數選擇的改進方法和一種新的重采樣方法結合起來，提出了基于UKF［2］和線性優化［3～4］的粒子濾波算法。

2 粒子濾波

2.1 粒子濾波算法概述

粒子濾波算法是一種基于Monte Carlo仿真的最優回歸貝葉斯濾波算法，這種濾波方法的基本思想是用隨機樣本來描述概率分布，這些樣本被稱為“粒子”，然后在測量的基礎上，通過調節各個粒子權值的大小和樣本的位置，來近似實際的概率分布，并以樣本的均值作為系統的估計值。隨著樣本（粒子）數目的增加，粒子的概率密度函數逐漸逼近狀態的概率密度函數，粒子濾波估計即達到了最優貝葉斯估計的效果。

2.2 重要概率密度函數

在粒子濾波中，重要性概率密度函數［5～6］分布與目標概率分布是否接近，將直接影響到跟蹤的精度。最優的重要概率密度函數就是后驗分布函數p（xk｜z1：k）本身，但是通常情況下很難直接從p（xk｜z1：k）抽樣得到樣本。在標準粒子濾波算法中，為了求解方便，一般取重要概率密度函數為先驗概率分布，即：q（xk｜xik－1，zk）＝p（xk｜xik－1）。

2.3 重采樣

2.4 標準粒子濾波算法存在的問題

標準粒子濾波算法存在的最大問題是粒子退化現象。粒子退化意味著大量的計算資源都被用來更新那些對q（xk｜z1：k）的估計幾乎沒有作用的粒子上。

針對此問題，最直接的方法就是使用大量的粒子數目，因為粒子濾波的理論基礎是大數定理，采樣足夠多的粒子，必可以使樣本均值以概率1趨于數學期望。但實際上，這是不現實的，隨著粒子數的增大會增加系統的資源開銷，影響算法的實時性。因此通常采樣的兩種方法是：改進重要概率密度函數和改進重采樣方法。

3 改進的粒子濾波

3.1 不敏卡爾曼濾波［7］（UKF）

UKF對狀態向量的PDF進行線性化，表現為一系列選取好的δ采樣點。這些δ采樣點經過任何非線性系統的傳遞后得到的均值和協方差都能夠精確到真實后驗分布的二階矩，因此可以很容易的應用該算法得到極為接近真實后驗分布的重要概率密度函數。

3.2 線性優化

線性優化重采樣克服了標準粒子濾波算法中重采樣過程中由于去掉權值小的粒子的同時，只是簡單的復制權值大的粒子而導致的粒子多樣性的喪失。線性優化重采樣的基本思想是：在需要復制某個粒子時，通過將該粒子和被拋棄的粒子進行適當的線性組合而產生一個新的采樣點。

線性優化重采樣具有的優點是：不存在重復的粒子，保證了粒子的多樣性，小權值的粒子未被完全拋棄，仍以一定的概率參與對狀態向量的估計。

3.3 UKF和線性優化的粒子濾波

將UKF和線性優化重采樣的思想結合起來，產生本文的改進粒子濾波算法。該算法步驟為：

1）初始化：k＝0。

重要性采樣：i＝1，2，…，Ns，使用UKF算法更新粒子。選取粒子：

其中，na＝nx＋nw＋nv

時間更新：

測量更新：

采樣粒子：

其中，N（·）表示高斯函數。計算權值：

3）線性優化重采樣：

比較粒子的權值：

按照xn＝xα＋L（xα－xβ）進行線性優化以產生新的粒子。式中xn表示新粒子，xα表示復制組的粒子，xβ表示拋棄組的粒子，L為（xα－xβ）的合適步長。L按下式選取：

4）輸出：

協方差估計：

5）判斷是否結束，是則退出本算法，否則返回到步驟2）。

4 仿真驗證

本文應用標準粒子濾波算法和改進的粒子濾波算法分別對單變量非靜態增長模型（UNGM模型）進行仿真分析，該模型的狀態方程和量測方程如下：

狀態方程：

式中，w（t）、v（t）為零均值高斯噪聲。

取N＝100，初始值：Q＝1，R＝1，P＝2，x＝0.1。進行100次Monte Carlo仿真，得到的狀態估計曲線圖如下。

由圖1和圖3可以看出改進的粒子濾波算法較標準粒子濾波算法有非常明顯的改進效果。圖2和圖4分析可知，改進的粒子濾波算法較UPF

圖1 PF與Improved PF的狀態估計

圖2 PF與Improved PF的均方誤差曲線

圖3 UPF與Improved PF的狀態估計

圖4 UPF與Improved PF的均方誤差曲線

表1 三種粒子濾波器的性能比較

5 結語

本文通過結合不敏卡爾曼濾波算法和線性優化的思想，提出了一種新的改進粒子濾波算法，通過仿真驗證了算法的有效性和實時性。

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