時頻二維逼近及在故障分量提取中的應用

劉小峰，柏 林，趙 玲

(重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044)

機械振動信號中通常包含了多種故障特征分量以及各種干擾噪聲，他們相互作用、相互干擾，且它們大多數都是非平穩信號，給正確故障診斷帶來了很大的困難［1］。如果能將故障信號中的特征分量提取出來作進一步分析，將為機械故障準確診斷提供更有力的判斷依據。常用的非平穩信號提取方法是，在往往將故障信號變換到時頻空間，使得在該空間中的各故障信號相互獨立，相互分離，再采用時頻濾波的方法最大限度地提取出分量時頻區域進行重構，以達到分量提取的目的。這種時頻濾波的提取方法較一維的線性濾波算法具有更好的自適應性和較強的魯棒性，更適用于非平穩非線性時變信號的分析處理，但不適合時頻重疊的分量提取，并且必須滿足時頻唯一重構的條件［2］。另外一種非平穩信號處理方法是基于基函數的信號分解法，常用復雜噪聲中的于非平穩信號提純。這種時域一維逼近方法是將信號投影到預先選取的若干個向量上，根據待分析信號在基信號投影距離最短化原則來確定擴展系數和基函數參數，也就是在時域內用很少的正交基向量來有效地逼近某一類信號。這種時域一維逼近方法對于一致正則的信號提取是十分精確的，而對于有不同類型的時頻結構的復雜信號不能產生很好的逼近效果［3］－［4］

本文結合時頻濾波和時域一維逼近方法的原理與優點綜合，發展了一種時頻二維逼近的故障分量提取方法。該方法根據信號分量的具體特征設計相應的信號模型，并從信號時頻域出發，在時頻重排的基礎上采用曲面擬合方法來確定基函數簇各個參數值，再采用各個擬合出的基函數的線性組合重構出所需提取的信號分量。文章最后列舉了仿真信號分析實例和軸承故障診斷實例對該方法進行了驗證。實驗結果表明，使用本文所提出的方法只需少量的擬合步驟即可精確地提取出所需的信號分量，對故障信號特征起到了準確定位的作用。

1 時頻重排

時頻二維逼近方法是采用信號模型的時頻函數對被分析信號的時頻分布進行二次曲面擬合，因此，選擇能夠真實反映被分析信號時頻特征的時頻變換方法是確保分量精確提取的首要條件。目前的時頻分析方法主要有短時傅里葉變換(STFT)、Gabor變換、以Wigner變換(WVD)的二次時頻分布，這幾種時頻分布都不可避免地存在著時頻分辨率不夠理想或交叉項干擾的問題［5，6］。重排時頻分布可以兼顧時頻聚集性和交叉項的抑制且計算也相對簡單。這種方法的基本原理是代表信號局部能量分布的非線性卷積的值由卷積核的幾何中心重排到其質量中心，以提高時頻譜圖的時頻聚集性［7］。

重排變換過程可以表述為:對原始信號z(t)首先進行STFT變換:

將信號z(t)的STFT的幅進行平方運算得到STFT譜圖，即:

可以將譜圖看作是信號的WVD和分析窗η(t)的WVD的二維卷積:

這個分布減小了信號WVD分布的交叉項，但卻以降低時頻分辨率為代價。重排方法就是將譜圖在任一點(t，f)處計算得到的譜圖移動到另外一點(t^，f^)，這個點是點(t，f)附近信號能量的重心，即:

2 時頻二維逼近

前面我們討論了，時頻重排是建立在STFT的基礎上的，它具有能量集中、時頻域分辨率高的特點，可以使信號特征在時頻面上得以真實呈現。如果用一組基函數時頻分布曲面來擬和原始信號的時頻曲面，由于基函數與其時頻分布的對應的關系，也就相當于用基函數的線性疊加來逼近原始信號。在擬和的過程中，基函數的特征參數能夠隨著被分析信號的局部時頻特征自動調節，以達到最佳匹配效果。

對于這種信號分量的模型逼近方法，基函數的選取舉足輕重，一般應遵循以下兩個原則，首先，基函數應能夠描述被分析信號的局部特征，也就是要盡量選擇與被分析信號結構相似的基函數;其次，基函數應具有良好的時頻分辨能力。對于機械系統而言，可以從信號產生機理出發，以系統的動力學方程為基礎對分量模型進行初步設計，然后再輔以模擬仿真試驗對模型進行校正。對首先信號產生機理研究，對信號系統進行動力學建模，對于機械系統另一方面也可以增加模型參數。在模型參數選擇時還應注意，增加分量的模型參數，雖然會提高了基函數對具有非線性時頻關系信號的匹配能力，但另一方面也增加了模型參數計算的復雜度。而設計的分量模型參數太少，就會增強了卻不同分量之間相似度，削弱不同分量之間的差異度，不利于分量的精確提取。

假設設計出的模型函數為 hqk，pk，fk，uk(t)，簡寫為hk(t)。其中，t為模型函數的自變量，qk，pk，uk，fk是模型函數hk(t)的待定參數。基于時頻二維逼近方法的信號分量提取方法的步驟可簡述如下:

(1)根據式(1)－式(5)，選定分析窗函數η(t)，并計算被分析信號zk=0(t)(k表示迭代次數)的STFT重排時頻譜，表示為(t，f);

(2)根據所需提取的分量特征設計相應的信號模型，表示為hk(t)，并計算其Wigner－Ville時頻分布，表示為 Whk(t，f);

(3)用Whk對zk=0(t)的重排時頻譜RSPηz=0(t，f)用最小二乘法進行曲面擬合，即，

非線性最小二乘法的意義就是要適當確定hk的參數 qk，pk，uk，fk，使根據 Whk算出的能量值與逼近信號能量值之間的殘差平方和Δ為最小。其求解方法是計算Δ 對各個系數 qk，pk，uk，fk的偏導數，并令其為 0，即?Δ/?αi(αi=qk，pk，uk，fk)，可得到 4 個聯立方程:

由于可以把Δ看成自變量為qk，pk，uk，fk的一個4元函數，所以問題就歸結為求方程組(7)的解，而(7)為非線性方程組不便直接求出各參數的精確解，因此這里采用了經典的高斯－牛頓法來進行參數求解。具體做法是在初始值 αi0處將 fj(α1，α2，α3，α4)展開泰勒級數，并取其一階近似:

這里 fj=1，2，3，4表示第 j個方程，αi=1，2，3，4，5代表第 i個參數，α1，0，α2，0，α3，0，α4，0是 qk，pk，uk，fk的初始值。只要:

我們得到:

可寫成迭代形式:

每次的迭代值 α1，m比上次迭代值 α1，m－1要更逼近估計參數 α1，迭代過程直到為容許誤差)，結束，從而獲得α1的非線性最小二乘估計。按照上述方法，依次可求得α2，α3，α4的估計值，也就是確定了hk的各項參數。

(4)從逼近信號中減去步驟(3)求得的分量，即，zk+1(t)=zk(t)－hk(t)，每次擬合時，總是先擬合出殘余信號zk(t)中與模型函數時頻分布最相近的時頻區域，也就是提取出與能夠用信號模型表達出的信號分量;

(5)重復上述步驟n次后，設第n次擬合出的信號分量為hn(t)，殘余信號為zn+1(t)，定義第n次擬合出信號分量與重構信號之間的能量比作為擬合分量信號能量下降的一個測度:

隨著擬合次數的增多，當大部分信號分量已經提取出來，擬合出分量的能量就會越小，則SNRk越小，重構精度越高。因此，可以以此來控制分解迭代次數k。設定門限值P，當SNRk小于P時分解停止。

因為曲面擬合時采用的是具有較高時頻聚集性的信號模型基函數，所以在擬和時總是先擬和出與基函數時頻特征相似且能量集中的信號分量，然后才輪到時頻特征相差較大或時頻能量較分散的其它信號分量或噪聲。本文正是利用這種分量被擬和出的先后關系，進行信號分離的。經過前幾步擬合信號的大部分有用成分已經被提取出，隨著分解次數的增加，殘余信號中與模型相匹配的成分越來越少，提取的信號成分的能量就越來越少。當殘余能量變化趨于平緩，可以認為這時的殘余信號主要由干擾信號組成。設定這時的SNRk的為門限值P，以此來控制分解迭代次數k。

(6)選擇擬合出的基函數及其擴展系數的線性組合重構出所需要提取的信號。

3 方法性能分析

傳統的信號時頻分解法都是將信號分割成短時間內頻率線性變化的基函數，如短時傅里葉變換是將信號在短時間內將信號分解成諧波分量、小波變換選擇的基函數是小波函數、自適應分解選擇的基函數是高斯調頻小波，而本文提出的時頻二維逼近方法采用的基函數是信號分量的隨時間變化的統一模型。因此，對于同一個分量而言，時頻逼近方法在模型設計恰當的情況，只需分解迭代一次就可以完成，而上述傳統方法則需要將其分割成若干個時間段，分別進行逼近，很顯然，前者需要的分解迭代次數明顯要少于后者。另外，時頻二維逼近方法是從信號的時域特征和頻域特征對同時信號進行逼近，而傳統方法是在時域內對信號特征進行逼近，因此前者分解重構的信號分量的失真度更小。

傳統時頻分解方法是將信號分解成短時間的的基函數，如果噪聲在某段時間內的時頻特性與信號分量相似，那么在時頻譜內就很容易將其看作有用信號分量。本文提出的時頻逼近方法是對信號分量進行建模，而非將其作短時間的分割處理，因此只要噪聲與信號分量的時頻特征有所不同，不管是有色噪聲還是白噪聲，其分解迭代受到噪聲干擾不大。

傳統的基于時頻濾波的信號提取方法大都是建立在時頻加窗的基礎上，采用時頻加窗方法提取出信號分量的時頻區域，再進行時頻信號到時域信號的反變換。這種方法必須要滿足信號分量的時頻區域是不能交疊的，否則時頻加窗無法進行，而且還應滿足時頻信號到時域信號的唯一重構的條件。本文提出的時頻逼近方法在進行信號提取時只用到了信號的具體的時頻分布函數和信號模型，而與其時頻分布到底是何種特征，信號分量的時頻區域是否交疊無關，只與信號的時頻分布質量和分量模型的設計質量有關。

4 仿真信號分析

為說明基于時頻信號逼近的自適應時頻分布的有效性，我們構造如式(13)的多頻信號。該信號由兩個瞬態沖擊信號組成，一個線性調頻信號及一個二次調頻信號。

n(t)為標準偏差為2的白噪聲。仿真信號的采樣頻率為2000Hz，采樣點數為1000。假設我們需要提取的是仿真信號中的兩個瞬態沖擊信號，圖1(a)為仿真信號的時域波形，從圖1(a)中可以看到，瞬態沖擊信號幾乎完全淹沒在其他信號分量及噪聲中，無法分辨。

圖1 仿真信號及其頻譜Fig.1 The simulation signal x(t)

從仿真信號的頻譜圖［圖1(b)］中，可以看到，各個分量的帶相互重疊，無法用常規濾波方法提取出瞬態沖擊分量。基于時頻濾波的分量提取方法通常要將信號分量所在的時頻區域提取出來，然后進行時頻重構，這種方法必須滿足信號時頻區域能夠提取，并且時頻信號滿足唯一重構的條件。從圖2(a)的仿真信號Gabor變換時頻分布可以看出，由于噪聲干擾太大，信號分量時頻區域無法提取。圖2(b)為仿真信號的重排時頻分布，它能同時刻畫出信號的非線性和性形成分，較真實地顯現信號分量的頻率隨時間的演化過程，而且沖擊分量的時頻區域與其他分量與噪聲完全分離。基于時頻重排可以提取出沖擊信號的時頻區域，但是這種重排時頻分布并不滿足時頻信號唯一重構的條件。同樣，WVD的交叉項干擾嚴重，無法準確反映信號的時頻特征，Chirplet自適應分布隨無交叉干擾，但Chirplet基函數的時域逼近會產生太多的信號截斷，引起信號分量的嚴重失真。因此，采用傳統的時頻濾波方法無法提取出我們所需的信號分量。

圖2 x(t)的時頻分布比較圖Fig.2 The TF representation of x(t)

下面采用本文提出的時頻二維逼近的方法對仿真信號中的沖擊分量進行提取，建立如式(14)中的沖擊模型，

并采用其WVD時頻分布來對圖2(b)中的重排時頻信號進行二次逼近，擬合兩次后得到的 qk，pk，uk，f，wk參數值分別為:

將參數值帶入式(2)中進行信號重構，重構出的沖擊分量如圖3所示，可見信號分量除了在幅值上有一定誤差外，重構效果是十分理想的。

5 故障診斷實例分析

為了說明基于時頻二次逼近的信號分量提取方法在機械故障診斷中的適用性，下面以軸承故障信號作為該方法的應用實例進行了具體分析。

當滾動軸承的某一元件表面存在局部故障時，在軸承的旋轉過程中，故障表面會周期性地撞擊滾動軸承其它元件表面，從而會產生周期性的沖擊。這些沖擊會激起軸承系統的中、高頻固有振動。表征軸承故障特征的低頻成分由于易受其它機械零件和結構的影響，信噪比較低，所以通常使用包含固有振動的中頻成分作為軸承故障診斷分析的對象。圖4是一外圈嚴重剝落的滾動軸承振動加速度信號的時域波形，經計算其故障特征頻率為45.6Hz，該軸承的一階固有頻率約3000Hz左右，設置的分析頻率為5000Hz(采樣頻率12.8 kHz)。下面采用本文提出的時頻信號逼近方法對軸承信號中的沖擊成分進行提取。機械系統的沖擊信號通常可表示為負指數函數與正弦函數的乘積，研究表明式(14)中hk(t)作為沖擊瞬態信號的逼近模型是非常理想的［8］。

五次逼近后得到的基函數進行重構，得到如圖5中的時域波形。在得到的五組基函數［h1(t)，h2(t)，h3(t)，h4(t)，h5(t)］的時間中心參數 u1，u2，u3，u4，u5之間的平均時間差為0.021 s，相應的頻率為47.5Hz 與外圈的故障頻率相近;5 組基函數的 f1，2，3，4，5的平均值為 2978Hz，接近固有頻率 3000Hz;q1，2，3，4，5的平均值約為2.28/(m·s－2)。這說明軸承外圈，在運轉時出現了故障產生了寬頻沖擊信號，激起了軸承的共振，使軸承振動幅度大大增加。從提取的沖擊信號的幅值可知故障較嚴重，與事實相符。可見這種時頻信二維逼近方法可以較精確地對軸承故障進行定位，并對故障原因及故障程度提供相應的判斷依據。

圖3 時頻二次逼近后重構的信號分量Fig.3 The reconstructing components of simulation signal

圖4 軸承信號的時域波形Fig.4 The bearing viberation signal

圖5 提取的軸承信號沖擊分量Fig.5 The bearing Impulse components extracted

6 結論

時頻二維逼近的分量提取方法適合于分析非平穩復雜的多分量故障信號，它摒棄了傳統自適應信號分解的時域一維逼近方法，不受噪聲種類及信號時頻分布特征的影響，精確地對故障信號中的特征成分進行快速分離。通過本文的分析，基于時頻二維逼近的故障分量提取方法主要有以下幾個特點:

(1)時頻二維逼近的基函數分解法，對比短時傅里葉變換、小波變換、自適應分解等這些傳統的基函數信號分解方法，其迭代的次數更少，信號分量的重構失真度更小。

(2)基于時頻二次曲面擬合的信號分量提取方法，對信號的噪聲種類沒有要求，不管是有色噪聲還是白噪聲，均不影響信號分量的提取效果;而且信號分量的時頻分布特征對分量提取的效果影響不大，不管所需提取的信號分量與其他分量在時頻區域內是否交疊，二維逼近的方法均可得到較理想分量提取效果。

(3)本文提取的時頻二維逼近的故障分量提取方法可適用于各類分量的提取，具有較強的適用性和廣泛性，只要能夠較準確地建立信號分量的參數模型，均可達到較理想的提取效果。

(4)要指出的是，這種時頻二維逼近方法必須對所需提取的信號分量進行統一的建模，設計模型的優劣對分量提取的效果有較大的影響。關于模型的進一步的優化設計問題還有待下一步的分析研究。

(5)被分析信號的時頻變換方法的選擇對分量的提取精度影響也較大，選擇的時頻分布要求兼顧時頻聚集性與抗交叉項干擾性。對于時變成分十分相近的信號分量，采用本文選擇的重排時頻分布仍然無法得到較好的時頻分布質量，這時，可以嘗試用時頻分布級數進行替換。

總而言之，本文以仿真信號和軸承故障信號為分析實例，成功應用上述方法匹配出軸承信號中的沖擊信號，達到了正確診斷故障的目的。這種方法為特征提取、故障診斷提供了新的工具，具有較好的應用前景。

［1］虞和濟，韓慶大.振動診斷的工程應用［M］.北京:冶金工業出版社，1992.

［2］柏 林，劉小峰，秦樹人.時頻面上基于瞬頻估計的信號提取方法［J］.振動與沖擊，2008，27(7):140－145.

［3］Mallat S，Zhifeng Z.Adaptive time-frequency decomposition with matching pursuits ［J］.Trans on Signal Processing，1993，41(11):3397 －3415.

［4］張海寧，吳冬梅.信號逼近在復雜信號去噪中的應用［J］.西安科技大學學報，2007，27(2):296－298.

［5］Cohen L.A primer on time-frequency analysis:Time-Frequency Signal Analysis Methods and Applications［M］.New York:Wiley Halsted Press，1992.

［6］秦樹人，季忠，尹愛軍.工程信號處理［M］.北京:高等教育出版社，2008，86 －97.

［7］呂金飛，程乃平，袁嗣杰.非線性時頻分布重排算法在非合作調頻信號檢測中的應用［J］.裝備指揮技術學院學報，2007，18(4):78 －83.

［8］于偉凱，劉 彬.軋機扭振非平穩瞬態沖擊信號的處理方法［J］.儀器儀表學報，2006，26(8):504－505.