基于Mallat算法的動彈性模量測量研究*

王 磊，劉瑞安

(天津師范大學 物理與電子信息學院，天津 300387)

動彈性模量 (Dynamic Young's Modulus)是建筑工程設計中混凝土等剛性材料的力學性能的一個重要參數,反映了某段時間內材料在外力作用下的細微形變,因此動彈性模量的測量在建筑工程的質量監控與評估中有著重要的意義。混凝土的彈性模量是頻率的單值函數,該函數的關鍵變量是混凝土試件的共振頻率,即由試件的諧振頻率,可推算出其強度來。由此,混凝土的強度測量可以簡化為先進行動彈諧振頻率測量,再計算動彈性模量的過程[1]。

當前剛性材料的動彈性模量測量方法有掃頻法、快速傅里葉變換法(FFT)等。在掃頻法中,先由激振器從低頻到高頻依次發射振動波到待測試件表面,迫使其產生非平穩、瞬態的反饋振動波形,通過不同頻率間反饋波形幅值的比較,掃描出諧振頻率點。而FFT法是在數字電路快速發展的背景下,由數字處理器對反饋波形進行快速離散傅里葉變換,計算出功率譜中的峰值頻率作為諧振頻率。在FFT算法中,消除了掃頻法中激振器在不同頻率下激振波振幅的誤差影響。而FFT算法在有限的采樣點下,其低頻精度較低(頻譜范圍為 20 kHz時,誤差在±20 Hz以上)。為此,本文將小波變換中的多分辨分析方法引入到動彈性模量的測量中來,可在現有傳感器硬件電路基礎上,通過在DSP平臺上的Mallat算法實現高精度的頻譜計算,提高諧振頻率測量精度,消除因傳感器不一致所導致的誤差影響,從而提高動彈性模量測量的準確度。

1 Mallat算法的頻譜分析原理

1.1 Mallat算法原理及分解過程

Mallat算法是小波信號處理中最常用的小波快速算法。連續小波變換是指：把某一被稱為基本小波(亦稱母小波或基波)的函數Ψ(t)作位移τ后,在不同尺度α下再與待分析信號 x(t)作內積[2]。

Mallat算法主要是用基于多分辨分析的多采樣濾波器組來分解信號,可以把信號分解為離散平滑分量和離散細節分量。這些離散分量間的關系可用濾波器組的形式表現。Mallat算法的小波分解公式：

其中k=0,1,2,…,N-1,N表示輸入采樣序列的個數；和分別是第j級小波分解后的低頻平滑分量與高頻細節分量；j的最大值為log2N,j=0時,是原始輸入信號的離散序列；hk-2n是多分辨分析的尺度系數；gk-2n是多分辨分析的小波系數。從濾波器角度理解,尺度系數與小波系數可分別視作分解過程中的低通濾波器系數和高通濾波器系數[3]。

式(4)中,f(l)是濾波器系數,無論是低頻系數Lo_D還是高頻系數Hi_D,都需從其第1個數開始計算,即l從0開始,其范圍是l=0,1,2,…,lmax。由此,離散小波分解過程可簡化為：

1.2 Mallat算法的波形重構及頻譜細化

重構算法是分解算法的反演,以得到特定頻域段的低頻系數,其利用相鄰兩級的低頻與高頻系數復原出上一級信號。離散小波算法的重構公式為:

其中x1(n)和x2(n)分別為波形信號x(n)的偶數序列與奇數序列,WN=,k=0,1,2,…,N-1。

對不同尺度下的波形信號進行重采樣和離散傅里葉變換后得到的頻譜,再經過組合疊加即是所求的細化后的頻譜。

2 動彈性模量測量原理

上式中，Edt為橫向動彈性模量,單位為 Pa；G是試件質量,單位為 kg；fmax是在外力作用下試件諧振時的峰值頻率；l、b、h分別對應試件的長、寬和高,單位為 mm；R是取決于試件邊長及泊松比的修正系數,對于l/h=4、泊松比大約為1/6的混凝土試件,R取1.5。在混凝土等硬質材料的動彈性模量的測量中,當溫度與濕度等外界環境因素穩定時，式(8)中其他變量的測量誤差較小，難點是非平穩狀態的測試波形的頻譜計算。每個試件因為結構的差異及縫隙的存在,其共振頻率都有若干個,稱其為共振頻率帶,在力學測量中,建筑力學設計中的動彈性模量測試只研究其低頻段(≤20 kHz)內的共振頻率。

測量過程硬件框圖如圖2所示,激振器由密封在鋼制圓柱體內腔的大功率動圈揚聲器構成,垂直安裝在揚聲器錐盆上的鋁制測桿伸出腔外3 mm。拾振器構造與激振器類似,但揚聲器由靈敏度較高的壓電陶瓷片替換。在測量前,首先將激振器正對混凝土試件側面的中心位置,拾振器則放置在試件同一面的側邊沿,保持激振器和拾振器的測桿都輕輕地接觸在混凝土試件表面上(測桿與試件的接觸面涂抹一薄層耦合介質)。

測量過程中,首先由DSP調制出PWM信號,通過可編程運放(PGA)調整波形幅度后,再經功放電路功率放

根據胡克定律(Hooke's law)定義：材料在彈性形變范圍內,力與形變成正比,其比例系數稱為彈性模量,而根據測試方向分為橫向動彈性模量和縱向動彈性模量。在建筑工程中,混凝土的彈性模量測試以橫向外力作用測試為主,簡稱為橫向動彈性模量,下面列出了橫向動彈性模量計算式：大后連接到激振器的正負極。激振器的測桿將激勵信號施加到混凝土試件中間點,試件在外力作用下振動。由于壓電效應,拾振器中的壓電陶瓷片將試件因受迫振動而產生的機械波轉換為電壓信號(Vp-p＜1 mV),該非平穩電壓信號經低通濾波器濾除高頻干擾后送至由LM833構成的單端運放電路放大1 000倍,其濾波放大電路如圖3所示。

放大的電壓信號接入DSP的ADCINA0管腳,DSP以固定的采樣頻率對該電壓信號進行模數轉換,所得的數組x(n)作為Mallat算法的原始處理數據源(每次算法的采樣點數N=1 024)。當激勵源的激勵頻率接近于試件的固有頻率時,產生共振效應,試件強迫振動的振幅及功率達到最大,通過算法計算出的峰值頻率fmax作為試件的共振頻率。

3 Mallat算法測量諧振頻率過程分析

3.1 DSP中Mallat算法的程序設計方法

在動彈性模量測量中,Mallat算法是基于TMS320F2808型32位定點數字信號處理器(DSP)平臺實現的。基于哈佛總線結構的F2808型DSP最高運算速度為100 MIPS,其內置的12位ADC模塊最小轉換時間為160 ns。針對剛性材料的共振頻率低頻段分布的特點,由Nyquist抽樣定理可知模數轉換單元的最小采樣頻率為40 kHz,但為了減小能量泄漏及幅值失真,采樣頻率fs設定為采樣點數N的整數倍,即fs=40.96 kHz。

程序中設置16位的ePWM模塊作為激振器的信號源：首先將來自系統的時鐘信號通過PLL(鎖相環)預分頻到10 kHz,修改周期寄存器TyPR以改變輸出PWM方波的頻率。

在DSP程序設計中,為了提高系統運算效率,Mallat算法操作通過C語言嵌套匯編語言實現:在C函數的框架中,匯編語句通過動態參數傳遞的形式進行調用,并且對相應C語句進行優化,以減少函數的調用次數。DSP中,當RPT流水線啟動后,通過循環尋址指令間接地在RAM空間構造的循環緩存區中調用采樣序列x(n),DSP可在單指令周期內通過硬件乘法器實現快速乘加操作,以便迅速完成卷積、濾波等小波運算。

波形信號分解過程中,根據采樣數組x(n),針對式(5)中的n,從尺度n=1開始循環計算,求出濾波器系數與剩余系數的加權和,分別得到和。當濾波器系數序列與x(n)作乘法運算時,各個系數依次相乘然后累加即為的值。依次循環,再將濾波器系數序列向右移兩位,再與輸入信號相乘。最后剩下兩個值時再從第一個位置繼續,從而構成循環,得到最后的與。最終獲得不同尺度下的分解波形信號[5]。

對小波分解出的低頻波形信號再重采樣后,為減小系統程序開發難度,DSP調用TI提供的FFT庫進行1 024點的FFT變換,以進行頻譜計算操作。

3.2 頻譜細化中頻率混淆的改進

由于小波實際濾波器的非理想截止特征,信號卷積后各頻帶混入了相鄰頻帶成分,且各尺度的隔點采樣不滿足采樣定理,Mallat算法進行頻譜計算過程易產生頻率混淆。

為此在重建過程中,DSP程序中引入了單子帶重構改進算法,即利用FFT和 IFFT(快速傅里葉逆變換)消除各重構后的子帶信號中多余的頻率成分,以最終消除頻率混淆。對于小波分解出的信號，在以fs/2j+1為對稱中心,半徑小于fs/2j+1的頻率范圍內,會因頻譜折迭而造成虛假頻率成分。以消除取得過程中的頻率混淆為例進行說明：對與hk-2n卷積后的結果先 進 行 FFT,對FFT結果中頻率大于fs/2j+1部分的譜值置零,再對置零后的結果進行IFFT,最后對IFFT的結果進行隔點采樣,將采樣后的結果作為真正的作進一步分解[6]。圖 4為改進后的分解過程圖。

4 試驗分析及結果

為驗證測試系統中算法的精確度,在試驗電路中：DSP的 PWM周期定時器設定值 FT從 50 Hz～1 kHz范圍內以 0.25 Hz/ms增加,當 FT達到 1 kHz后，以 1 Hz/ms增加到5 kHz為止；為了減小激振器中電磁線圈的溫漂,將PWM的脈寬調制為0.3,激振器輸出平均功率PT=5 W；功率譜計算時間平均為3.2 ms；圖5是標準試件頻譜圖的打印輸出結果。

由圖5可知,峰值頻率fmax=1.502 kHz,即該試件的諧振頻率為1.502 kHz,符合一般情況下混凝土的諧振頻率分布。對于l=400 mm、b=h=100 mm的標準試件,當其質量G=10.0 kg時,由式(8)計算出動彈性模量Edt為 20.90 GPa。

由于通常制備的混凝土試件的共振頻率分布不均勻且難以預測[7]。試驗中,為了測試系統的計量準確度,使用了函數信號發生器來模擬激振波形：信號源輸出不同中心頻率下峰值為0.5 mV的sinx/x周期函數波形,利用DSP硬件平臺測試FFT算法與Mallat算法在同樣采樣點數下的諧振頻率測量的相對誤差,結果如表1所示。

由表1可知,測試平臺在20 kHz量程時,FFT算法的低頻段相對誤差較大,在高頻段與Mallat算法相同,而Mallat算法測量頻譜的相對誤差始終小于0.3%。所以,兩種算法相對于量程的精度相同,而由于Mallat算法的多尺度分析等特點,其在低頻段內諧振頻率測量值的可信度更高,相對于常規FFT算法有效提高了動彈性模量的測量精度。

表1 20 kHz范圍的FFT與Mallat算法比較

本文通過在DSP平臺上實現Mallat算法,運用離散小波變換的多分辨率分析方法對非平穩的諧振波形進行頻譜分析。利用其多尺度測量由粗至細提取出激振信號的局部頻域特征,再通過小波改進算法去除頻率混淆,可快速準確地掃描出其中的功率峰值點以作混凝土等剛性材料的動彈性模量計算。

通過Mallat算法的多分辨率分析方法,保證了測試系統在20 kHz量程內相對誤差小于0.3%,重復性誤差小于0.5%,滿足了建筑工程設計中混凝土動彈性模量測量的精度需求。在利用Mallat算法研究聲信號頻譜的基礎上,可通過超聲波定位精度高、穿透能力強等特點來進行混凝土結構件的探傷定位等無損檢測研究。

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