基于DPT的非線性調(diào)頻信號(hào)的DOA估計(jì)*

高春霞,張?zhí)祢U,譚方青,魏世朋

（重慶郵電大學(xué) 信號(hào)與信息處理重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400065）

非線性調(diào)頻信號(hào)是一種具有低頻截獲率的時(shí)變信號(hào)，它在雷達(dá)、聲納、電子對抗、生物醫(yī)學(xué)、語音和通信等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。但是對非線性調(diào)頻信號(hào)的波達(dá)方向估計(jì)方法仍處于初步研究階段。目前，人們已經(jīng)提出多種非線性調(diào)頻信號(hào)的形式，主要包括多項(xiàng)式相位信號(hào)(PPS)和正弦調(diào)頻信號(hào)(SFM)。非線性調(diào)頻信號(hào)的估計(jì)算法大多都是針對多項(xiàng)式相位信號(hào)，而對正弦調(diào)頻信號(hào)的估計(jì)算法研究較少，參考文獻(xiàn)[1]提出的基于離散多項(xiàng)式相位變換的方法僅討論了對正弦調(diào)頻信號(hào)的波形重構(gòu)，但沒有推導(dǎo)算法，所以現(xiàn)有算法還不完善。目前，還沒有普遍適用的算法，故本文將非線性調(diào)頻信號(hào)統(tǒng)一建模成高階多項(xiàng)式相位信號(hào)模型。

多項(xiàng)式相位信號(hào)PPS(Polynomial Phases Signal)是信號(hào)處理領(lǐng)域中的一個(gè)具有重要意義的非平穩(wěn)寬帶信號(hào)。寬帶信號(hào)高分辨率估計(jì)方法主要有兩大類：極大似然估計(jì)(MLM)[2]和相干信號(hào)子空間方法(CSM)[3]。MLM是一種非線性最優(yōu)化算法，但它運(yùn)算復(fù)雜，運(yùn)算量極大。而CSM存在角度預(yù)估計(jì)問題，估計(jì)精度受預(yù)估計(jì)的影響。目前國內(nèi)外學(xué)者大多是針對多項(xiàng)式相位信號(hào)的相位系數(shù)估計(jì)[4-5]進(jìn)行研究，而對多項(xiàng)式相位信號(hào)波達(dá)方向(DOA)估計(jì)方面的研究甚少,并且針對大于二階的多項(xiàng)式信號(hào)的研究也相對較少。在現(xiàn)代電子對抗中，精確估計(jì)多項(xiàng)式相位信號(hào)的來波方向，實(shí)現(xiàn)超分辨測向顯得非常重要。

本文研究了一種基于 Peleg[6]提出的 DPT方法，對非線性調(diào)頻信號(hào)進(jìn)行DOA估計(jì)。離散多項(xiàng)式變換(DPT)是分析恒定振幅多項(xiàng)式相位信號(hào)的有力工具，其主要用途是估計(jì)相位信號(hào)的系數(shù)。該方法估計(jì)模型參數(shù)，進(jìn)一步推導(dǎo)了信號(hào)參數(shù)與模型參數(shù)的關(guān)系，得出信號(hào)參數(shù)的估計(jì)公式。且該方法能夠很好地解決非線性調(diào)頻信號(hào)的角度估計(jì)問題。

1 離散多項(xiàng)式相位變換

根據(jù)Weierstrass逼近理論[8]，任一閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)都可以用多項(xiàng)式相位函數(shù)來近似。多項(xiàng)式相位變換(PPT)是多項(xiàng)式相位信號(hào)檢測與估計(jì)普遍采用的一種方法，在用于離散時(shí)間信號(hào)處理時(shí)，又稱為離散多項(xiàng)式相位變換(DPT)。本節(jié)系統(tǒng)地介紹了DPT，給出多項(xiàng)式相位變換的定義[6]。則非線性調(diào)頻信號(hào)可建模成：式中，N為采樣長度，Vt為采樣間隔，am為實(shí)相位系數(shù)，M為相位多項(xiàng)式的階數(shù)，b0、am和M統(tǒng)稱為模型參數(shù)。

接收信號(hào)可表示為：

對于信號(hào)s(n),M階PPS信號(hào)的一階瞬態(tài)矩DP1[s(n)，τ]、二階瞬態(tài)矩DP2[s(n)，τ]及三階瞬態(tài)矩DP3[s(n)，τ]分別定義為：

所以高階瞬態(tài)距(HIM)定義為：

式中，τ為時(shí)延長度，0≤τ≤N-1。

M階離散多項(xiàng)式相位變換 DPTM定義為DPM[s(n)，τ]的離散傅里葉變換，表示為：

將式(2)代入式(8)，于是有：

對于式(3)中的信號(hào)模型，經(jīng)多項(xiàng)式變換將其變換為單個(gè)諧波和新的噪聲。于是，可以通過計(jì)算DPM[s(n)，τ]得正弦信號(hào)，然后通過FFT將在ω0處呈現(xiàn)峰值。從而可從峰值估計(jì)出最高階多項(xiàng)式相位的系數(shù)aM:

其中，ω0=M!(τVt)M-1aM。τ的選擇與最后參數(shù)估計(jì)的精度有關(guān)，根據(jù)參考文獻(xiàn)[4]中的分析，當(dāng) M＞3時(shí)，選擇 τ=N/M+2;當(dāng) M≤3時(shí)，選擇 τ=N/M，此時(shí)參數(shù)有較高的估計(jì)精度。

2 陣列信號(hào)模型及原理結(jié)構(gòu)圖

陣列模型為M個(gè)陣元的均勻線陣(ULA)，陣元間距為d，如圖1所示。假設(shè)有一寬帶的非線性調(diào)頻信號(hào)s(t)，入射角為θ。其中第一個(gè)陣元作為參考陣元，則第 l個(gè)陣元上的觀測信號(hào)可以表示為:

nl(t)為第l個(gè)陣元相互獨(dú)立且與信號(hào)無關(guān)的高斯白噪聲；τl是信號(hào) s(t)在第 l個(gè)陣元相對于第一個(gè)陣元的延時(shí)；c為光速；DP2代表其二階瞬時(shí)矩；DP3代表其三階瞬時(shí)矩；DP[W(n)]代表噪聲的高階瞬時(shí)矩。

3 對單頻正弦信號(hào)進(jìn)行DOA估計(jì)

求根MUSIC算法是MUSIC算法的一種多項(xiàng)式求根形式，兩者具有相同的漸進(jìn)性能，但是在小樣本的情況下，MUSIC算法不能分辨空間相距比較近的信號(hào)，而求根MUSIC算法能夠很好地分辨。故本文采用求根MUSIC對單頻正弦信號(hào)進(jìn)行DOA估計(jì)。

接收信號(hào)表示為：

三階無噪聲污染信號(hào)的瞬態(tài)距表示見式(10)，則：

其中，Rls和Rln分別為信號(hào)和噪聲協(xié)方差矩陣。對上式協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，可得λ1＞λ2，…,λQ＞λQ+1=λQ+2=…,λm,其中,Q為信號(hào)源個(gè)數(shù)，信號(hào)子空間是由對應(yīng)大特征值組成的特征矢量，而噪聲子空間是由對應(yīng)小特征值組成的特征矢量。

求根MUSIC算法需要先定義如下一個(gè)多項(xiàng)式：

式中：ei是數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣中小特征值對應(yīng)的M-Q個(gè)特征矢量 p(z)=[1,z,…,zM-1]T。

由以上的定義可知：當(dāng)z=ejω時(shí)，即多項(xiàng)式的根正好位于單位圓上時(shí)，p(ejω)是一個(gè)空間頻率為ω的導(dǎo)向矢量。由特征結(jié)構(gòu)類算法可知，p(ejω)=p(z)就是信號(hào)的導(dǎo)向矢量，所以其與噪聲子空間是正交的。因此，多項(xiàng)式可定義為：

也就是說只要求得式(19)的根即可獲得有關(guān)信號(hào)源到達(dá)角的信息，同時(shí)發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式存在z*項(xiàng)，這使得求零過程變得復(fù)雜，可將式(19)修正為：

因?yàn)槎囗?xiàng)式 f(z)的階數(shù)為 2(M-1)，所以有(M-1)對根，且每對根是相互共軛的關(guān)系。在這(M-1)對根中有Q個(gè)根z1,…,zQ正好分布在單位圓上，即：

上式考慮的是數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣精確可知時(shí)的情況。在實(shí)際應(yīng)用中,也就是數(shù)據(jù)矩陣存在誤差時(shí)，只需求式(20)的Q個(gè)接近于單位圓上的根即可。即對于等距均勻線陣來說，根據(jù)方向?qū)蚴噶緼l可知波達(dá)方向。

由以上分析，可總結(jié)出多項(xiàng)式相位信號(hào)波達(dá)方向估計(jì)的算法流程：

(1)初始化，令 m=M 和 xm(n)=x(n)，其中 1≤n≤N-1;

(2)對信號(hào)進(jìn)行高階瞬態(tài)矩變換，可以得到變換后的單頻正弦信號(hào)HIM3;

(3)對單頻正弦信號(hào)HIM3進(jìn)行FFT變換;

(6)替換 m=m-1，直到 m=2為止;

(7)由式(15)確定信號(hào)所對應(yīng)的導(dǎo)向矢量；

(8)利用求根MUSIC算法進(jìn)行 DOA估計(jì)，估計(jì)最終信號(hào)的波達(dá)方向。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)一：設(shè)信號(hào)模型為：x(n)=s(n)+W(n)=b0exp[j(a1n+a2n2+a3n3)]+W(n),0≤n≤N-1。其中，a1=0.15,a2=0.2/N,a3=0.55/N2，采樣點(diǎn) N=360，延時(shí) τ=N/3，離散 FFT 時(shí)變換的長度為 120×100點(diǎn)，快拍數(shù)為τ。

圖2給出了本文多項(xiàng)式相位信號(hào)分別在沒有噪聲和SNR=20 dB時(shí)，經(jīng)過瞬態(tài)矩變換后的信號(hào)實(shí)部幅值特性圖。從圖中可以看出，經(jīng)過瞬態(tài)矩后，當(dāng)沒有噪聲時(shí)，變換后的信號(hào)為正弦信號(hào);當(dāng)SNR=20 dB時(shí)，信號(hào)為正弦信號(hào)和新的噪聲。

圖3給出了的均方誤差和CRB差隨信噪比的變化曲線，從圖中可以看出，三階PPS在SNR大于或等于 8 dB時(shí)，此方法的估計(jì)性能越來越接近克拉美羅線，且隨著信噪比的降低，仿真結(jié)果與理論結(jié)果產(chǎn)生較大偏差。

實(shí)驗(yàn)二：在實(shí)驗(yàn)一的基礎(chǔ)上，對信號(hào)的波達(dá)方向進(jìn)行估計(jì)，且參數(shù)和實(shí)驗(yàn)一相同。信號(hào)的入射角為30°。對其進(jìn)行200次的Monte-Carlo仿真實(shí)驗(yàn)，如圖4所示。

對信號(hào)的波達(dá)方向進(jìn)行估計(jì)，從圖4(a)可以看出，本文能較為準(zhǔn)確地估計(jì)信號(hào)的波達(dá)方向，且隨著快拍數(shù)的增加逐漸趨于穩(wěn)定。圖4(b)是在不同陣元的情況下誤差分析，在相同信噪比的情況下，陣元數(shù)越多估計(jì)性能就越好。陣元數(shù)為10要比陣元數(shù)為6的估計(jì)性能要好一些，陣元數(shù)為6要比陣元數(shù)為4的好一些。

本文提出了一種非線性調(diào)頻信號(hào)的波達(dá)方向估計(jì)方法。推導(dǎo)了該方法的具體步驟，并給出了相應(yīng)的仿真分析，理論分析和仿真結(jié)果表明，在大于或等于8 dB時(shí)能很好地估計(jì)出多項(xiàng)式相位信號(hào)的來波方向，計(jì)算量大大減少，算法相對簡單很多。

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