縱向與橫向振動(dòng)耦合作用下軸向運(yùn)動(dòng)梁的非線性振動(dòng)研究

黃建亮，陳樹輝

(中山大學(xué) 應(yīng)用力學(xué)與工程系，廣州 510275)

傳動(dòng)系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于各類工程領(lǐng)域中，例如磁帶、空中纜車的纜繩、高速電梯繩、高速轉(zhuǎn)動(dòng)的鋸片、動(dòng)力傳輸帶、造紙帶等，它們的振動(dòng)一直以來都是國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)，大部分的模型可看作是軸向運(yùn)動(dòng)梁繩，屬于經(jīng)典的陀螺系統(tǒng)［1］。早期對(duì)該軸向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的研究集中在線性振動(dòng)問題的分析上，包含了固有頻率、模態(tài)分析和運(yùn)動(dòng)臨界速度等，然而線性振動(dòng)分析解釋不了振幅大或在臨界速度附近出現(xiàn)的一些自激振動(dòng)、參數(shù)振動(dòng)、內(nèi)共振、次諧波共振、超諧波共振、組合諧波共振、跳躍問題等非線性振動(dòng)特有的現(xiàn)象，這些共振點(diǎn)會(huì)給工程設(shè)計(jì)帶來隱患，僅研究線性問題無能為力，所以非常有必要考慮該類系統(tǒng)的非線性振動(dòng)問題。

對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的非線性振動(dòng)問題，國內(nèi)外已有大量的文獻(xiàn)報(bào)道。Wickert等［2］全面評(píng)論了至1988年以前的研究工作，Pellicano 等［3］和 Chen［4］分別在 2000年和2005對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的研究工作做了很好的綜述。其中Riedel等［1］采用多尺度法研究了軸向運(yùn)動(dòng)體系的內(nèi)部共振，Chen等［5］分析了粘彈性運(yùn)動(dòng)梁的橫向振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，最近丁虎和陳立群對(duì)軸向變速運(yùn)動(dòng)黏彈性梁的受迫振動(dòng)響應(yīng)作了分析［6］。?z等［7］研究了變速下運(yùn)動(dòng)梁的橫向振動(dòng)的穩(wěn)定性問題。Sze等［8，9］應(yīng)用IHB法研究了在恒定速度下運(yùn)動(dòng)梁的橫向振動(dòng)的基諧波、超諧波、次諧波等一系列復(fù)雜的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，陳樹輝等［10］進(jìn)一步研究了內(nèi)部共振的情況，以及利用多元L－P法研究運(yùn)動(dòng)梁的橫向非線性振動(dòng)［11］。張偉等［12］分析具有Kelvin黏彈性材料的傳動(dòng)帶，利用多尺度法和Galerkin離散法得到在1∶3內(nèi)共振時(shí)平均方程，用數(shù)值模擬方法得到系統(tǒng)的周期振動(dòng)和混沌動(dòng)力學(xué)。由于運(yùn)動(dòng)梁的縱向振動(dòng)頻率遠(yuǎn)離橫向振動(dòng)頻率，多數(shù)的研究都是直接忽略縱向振動(dòng)對(duì)橫向振動(dòng)的影響。然而，在高速傳動(dòng)或振動(dòng)幅度大時(shí)，縱向振動(dòng)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響將不可忽略，并直接影響系統(tǒng)的內(nèi)部共振特征。

本文探討在縱向振動(dòng)和橫向振動(dòng)耦合作用及受簡諧外激勵(lì)作用下軸向運(yùn)動(dòng)梁的非線性振動(dòng)，應(yīng)用IHB法深入分析在橫向第1，2固有頻率1∶3內(nèi)部共振條件下系統(tǒng)的響應(yīng)特征。

1 運(yùn)動(dòng)方程

圖1所示為軸向運(yùn)動(dòng)梁的示意圖，采用歐拉－伯努利梁力學(xué)模型。梁在兩端鉸支的條件下以軸向速度V運(yùn)動(dòng)，梁的橫截面積為A，質(zhì)量密度ρ，長度為L，抗彎剛度為EI，P為軸向張力，X為軸向坐標(biāo)，XOZ是固定坐標(biāo)系。記運(yùn)動(dòng)梁的橫向位移為W(X，T)，縱向位移U(X，T)，T為時(shí)間。根據(jù)哈密頓原理(Hamilton’s Principle)建立梁的運(yùn)動(dòng)微分方程，得到下列無量綱化的縱向與橫向耦合的非線性振動(dòng)方程［8］:

考慮運(yùn)動(dòng)梁兩端為鉸支，忽略支座處的彎矩，其邊界條件為:

圖1 運(yùn)動(dòng)梁的以速度V運(yùn)動(dòng)的示意圖Fig.1 Schematic of an axially moving beam with velocity V

其中無量綱量:

2 Galerkin方法

首先采用變量分離，把時(shí)間變量t和空間變量x進(jìn)行分離，為此，令:

為簡便計(jì)，只取N=M=2，將式(5)，式(6)和式(7)代入式(1)和式(2)后，應(yīng)用Galerkin方法進(jìn)行運(yùn)算。在實(shí)際運(yùn)動(dòng)梁系統(tǒng)中存在著材料結(jié)構(gòu)阻尼或粘彈性阻尼，為簡單計(jì)，這里加入模態(tài)阻尼項(xiàng)μ，從而得到下列方程:

由方程(8)～方程(11)得知，阻尼矩陣具有反對(duì)稱性質(zhì)，所以該類系統(tǒng)具有陀螺特性，且方程中的恢復(fù)力包含了2次和3次非線性項(xiàng)。方程(8)和方程(9)及方程(10)和(11)可表示成矩陣形式:

其中:

3 增量諧波平衡法(IHB法)

增量諧波平衡法(IHB法)自提出以來，在解決非線性振動(dòng)的問題被廣泛應(yīng)用。Sze，陳樹輝等［8，9］進(jìn)一步推廣到適合于含有陀螺系統(tǒng)特性的軸向運(yùn)動(dòng)梁的橫向非線性振動(dòng)。

引入新的時(shí)間變量τ，令:

方程(14)變?yōu)?

IHB法的第一步是Newton－Raphson的增量過程。令qj0和ω0表示振動(dòng)過程中的某一狀態(tài)，則其鄰近的狀態(tài)可以表示為增量的形式:

其中 j=1，2，…，m， m=N+M

將表達(dá)式(17)，(18)代入方程(16)并略去高階項(xiàng)，便得到矩陣形式的增量方程:

其中:

R是誤差向量，當(dāng)q0，ω0為準(zhǔn)確解時(shí)，其值為零。

IHB法的第二步驟是諧波平衡過程。為此把q0和Δq展開成傅里葉級(jí)數(shù):

其中:

于是，

其中:

將式(23)代入公式(19)并應(yīng)用Galerkin過程，可以得到以ΔA，Δω表示的線性方程組。

其中:

方程是一個(gè)線性方程組，其未知量的數(shù)目比方程數(shù)目多一個(gè)。因此，求解時(shí)必須選定其中一個(gè)增量作為控制增量。如果我們選擇 Δω作為控制增量的話，則在給定的增量中，Δω是已知值，其他的增量從下列方程求解得到。

求得ΔA后，由表達(dá)式(16)求得Δq，q0，再由表達(dá)式求得q，從而求得新的，于是又可以從方程求得ΔA。這一過程稱為迭代過程。迭代過程一直進(jìn)行下去，直到誤差向量R小于預(yù)先規(guī)定的誤差值，此時(shí)就得到對(duì)應(yīng)于Ω的振幅A，從而求得原方程的解。當(dāng)?shù)^程結(jié)束，再給控制增量Ω增加一個(gè)增量Δω，于是在新的Ω值之下進(jìn)行上述的迭代過程，以求出對(duì)應(yīng)新的Ω值的振幅A。這一人為給出增量Δω的過程稱為Ω增量過程。整個(gè)非線性振動(dòng)問題的求解過程就是反復(fù)交替應(yīng)用增量過程和迭代過程。

4 算例

［1］所取的具有工程背景的參數(shù)=1124，=0.03，v=0.6。那么系統(tǒng)的固有頻率可由方程(14)線性化后確定，表示為:

其中G為去除阻尼項(xiàng)之后的具有陀螺性質(zhì)矩陣系數(shù)。

由式(26)得到橫向振動(dòng)的2個(gè)固有頻率為2.82和 9.14，縱向振動(dòng)的 2個(gè)固有頻率為 105.29和210.65。縱向的前2階模態(tài)的固有頻率已遠(yuǎn)離橫向的前2階模態(tài)的固有頻率，當(dāng)橫向振動(dòng)幅度較小或軸向運(yùn)動(dòng)速度低時(shí)，縱向?qū)M向振動(dòng)的影響是有限的，然而不在上述情況時(shí)，我們不得不考慮兩者耦合作用時(shí)的非線性振動(dòng)。

在方程(21)中，取 nc=5，ns=4，令:

圖2為橫向振動(dòng)的各階頻幅響應(yīng)曲線圖，實(shí)線和虛線分別表示為有無縱向振動(dòng)影響下的響應(yīng)曲線。從圖中得知系統(tǒng)的呈現(xiàn)出硬彈簧特性，且Ω/ω1－A31的響應(yīng)占主導(dǎo)地位，說明該系統(tǒng)的振動(dòng)以橫向的第一基諧波振動(dòng)為主。圖2(a)所示為橫向振動(dòng)的第一階模態(tài)的頻幅響應(yīng)，當(dāng)系統(tǒng)的振幅小時(shí)，縱向振動(dòng)對(duì)橫向振動(dòng)的影響很小，而當(dāng)振幅大時(shí)，縱向振動(dòng)對(duì)橫向振動(dòng)的影響越來越明顯，在同一頻率處，在縱向振動(dòng)的影響下，其橫向振動(dòng)的振幅要比沒有耦合情況時(shí)要大，說明了縱向振動(dòng)的能量向橫向振動(dòng)轉(zhuǎn)移。但整個(gè)過程兩者的非線性特性沒有發(fā)生改變，在Ω/ω1≈1.2附近發(fā)生了內(nèi)部共振現(xiàn)象，然而有耦合情況下，內(nèi)部共振的特性更為復(fù)雜。圖2(b)和(c)所示為橫向振動(dòng)第2階模態(tài)的頻幅響應(yīng)，第1和第3諧波項(xiàng)響應(yīng)較為接近。但因橫向第2階模態(tài)響應(yīng)較小，所以縱向振動(dòng)對(duì)它的影響非常大，圖2(b)可看出其第1諧波響應(yīng)的特性在縱向振動(dòng)的影響下已完全改變;從圖2(c)可看出在縱向振動(dòng)的影響下第3 諧波響應(yīng)分別在 Ω/ω1=1.14，1.25，1.62三個(gè)點(diǎn)趨于零，然而只考慮橫向振動(dòng)時(shí)沒有出現(xiàn)該類現(xiàn)象。

圖2 橫向振動(dòng)的頻幅響應(yīng)，f1=0.0055，f2=0Fig 2 .Frequency response of the first and third transverse mode with f1=0.0055，f2=0

圖3 縱向振動(dòng)的頻幅響應(yīng)，f1=0.0055，f2=0Fig 3 .Frequency response of the first and third transverse mode with f1=0.0055，f2=0

圖3所示為縱向振動(dòng)各階模態(tài)的頻幅響應(yīng)曲線圖，圖3(a)為第2，4階模態(tài)各諧波響應(yīng)，圖3(b)為第2階諧波響應(yīng)(第4階太小，未給出)。從圖3得知，縱向振動(dòng)響應(yīng)遠(yuǎn)小于圖2中的橫向振動(dòng)響應(yīng)。其振動(dòng)也呈現(xiàn)出硬彈簧特性，在Ω/ω1≈1.2附近也發(fā)生了復(fù)雜的內(nèi)部共振現(xiàn)象。

5 結(jié)論

IHB法是一種十分有效的非線性動(dòng)力學(xué)定量分析方法，應(yīng)用該法對(duì)縱向振動(dòng)與橫向振動(dòng)耦合時(shí)的橫向兩個(gè)模態(tài)之間1∶3的內(nèi)部共振的運(yùn)動(dòng)梁的系統(tǒng)響應(yīng)作了理論分析。縱向模態(tài)的頻率雖然遠(yuǎn)離橫向模態(tài)的頻率，在只考慮橫向振動(dòng)的非線性特性時(shí)，為了進(jìn)行簡化，我們可先忽略縱向模態(tài)的影響。然而在縱向振動(dòng)的影響下，橫向振動(dòng)其出現(xiàn)的內(nèi)部共振現(xiàn)象更為復(fù)雜，在振幅較大時(shí)，縱向振動(dòng)對(duì)橫向振動(dòng)的影響越來越大，且縱向模態(tài)的能量會(huì)向橫向模態(tài)轉(zhuǎn)移。所以設(shè)計(jì)高速傳動(dòng)的運(yùn)動(dòng)梁時(shí)，我們不得不考慮縱向模態(tài)與橫向模態(tài)之間的耦合作用。

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