索牽引并聯(lián)機(jī)器人中變長度柔索的動力學(xué)分析

杜敬利，保 宏，宗亞靂，崔傳貞

(西安電子科技大學(xué) 電子裝備結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710071)

正在籌建的500 m大射電望遠(yuǎn)鏡中的索支撐系統(tǒng)是一典型的6索牽引并聯(lián)機(jī)器人，由6根大跨度柔索拖動裝有精調(diào)機(jī)構(gòu)的饋源艙體實(shí)現(xiàn)空間掃描運(yùn)動［1］，如圖 1 所示。

索牽引并聯(lián)機(jī)器人結(jié)合了并聯(lián)機(jī)構(gòu)和柔索驅(qū)動的特點(diǎn)，已形成比較完整的體系。文獻(xiàn)［2］研究了索牽引并聯(lián)機(jī)器人的工作空間，并給出了一種求解工作空間邊界的解析方法。文獻(xiàn)［3］采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)復(fù)合策略研究了索牽引并聯(lián)機(jī)器人的正解問題。文獻(xiàn)［4］建立了一種6自由度索牽引并聯(lián)機(jī)器人的動力學(xué)模型，采用反饋線性化+PD控制的方法研究了其軌跡跟蹤問題。文獻(xiàn)［5］探討了7索牽引時的索張力優(yōu)化與控制問題，利用非線性前饋+PD控制來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的運(yùn)動控制。以上研究中，由于系統(tǒng)的工作空間較小，均將柔索簡單地處理成僅能承受張力的索桿單元，沒有考慮柔索彈性變形、自身振動等力學(xué)特性。

圖1 索支撐系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic of the cable-supporting system

對于大射電望遠(yuǎn)鏡的索支撐系統(tǒng)，由于柔索跨度巨大且運(yùn)行精度要求較高，力學(xué)分析時文獻(xiàn)［1，6，7］均認(rèn)為必須考慮柔索垂度的影響，但因系統(tǒng)運(yùn)動緩慢，可忽略柔索的動態(tài)特性，基于靜力學(xué)模型進(jìn)行運(yùn)動控制。

從已有文獻(xiàn)來看，現(xiàn)階段研究中，當(dāng)系統(tǒng)的工作空間較小，柔索的垂度可忽略不計(jì)時，均采用索桿單元來模擬柔索;當(dāng)柔索跨度較大必須考慮垂度影響，且系統(tǒng)運(yùn)動緩慢時，則忽略其動態(tài)特性而采用靜態(tài)懸鏈線對柔索建模。但當(dāng)柔索跨度較大，運(yùn)行精度要求較高時，能夠考慮到柔索自身動態(tài)特性影響的索牽引并聯(lián)機(jī)器人動力學(xué)模型卻尚未見刊載。

柔索本身的柔性較大，系統(tǒng)運(yùn)行過程中必然導(dǎo)致動態(tài)運(yùn)動軌跡偏離其靜平衡位置。同時因?yàn)樗鳡恳⒙?lián)機(jī)器人的剛度較小，即使索長變化非常緩慢，甚至保持不變時，在外界擾動作用下末端執(zhí)行器也會出現(xiàn)繞其平衡位置的振動。隨著對索牽引并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)行精度和速度要求的不斷提高，研究更為精確的、適用于時變索長的動力學(xué)模型具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。本文的目的是對索長緩慢變化時的索牽引并聯(lián)機(jī)器人的動力學(xué)特性進(jìn)行探討，此時可將其視為一個平衡位置不斷變化的結(jié)構(gòu)振動問題。

本文將結(jié)合大射電望遠(yuǎn)鏡的索支撐系統(tǒng)，對其精確動力學(xué)建模問題進(jìn)行研究。文中首先建立了變長度柔索的偏微分動力學(xué)方程，并采用中心差分法進(jìn)行求解。然后，根據(jù)柔索與末端執(zhí)行器之間的動力學(xué)耦合關(guān)系得到索牽引并聯(lián)機(jī)器人的動力學(xué)模型。最后，給出兩個數(shù)值算例來證明本文模型的有效性。

1 變長度柔索的動力學(xué)分析

索支撐系統(tǒng)中的任一柔索j(j=1，2，…，6)，從執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出后繞過定滑輪與末端執(zhí)行器相連，見圖1。為簡潔起見，本節(jié)推導(dǎo)中省略了柔索的下標(biāo)j。以柔索的無應(yīng)變狀態(tài)為參考，對于長度為L的柔索，設(shè)其上任一點(diǎn)P距原點(diǎn)的曲線坐標(biāo)為s∈［0，L］，受力后對應(yīng)的長度為se。這樣柔索的軸向應(yīng)變可表示為:

柔索應(yīng)滿足的幾何約束為:

式(2)兩邊同除以 d s，并將式(1)代入，得(1+ε)2=，略去二次小項(xiàng)后有［8，9］:

在任意時刻 t，設(shè)點(diǎn) P對應(yīng)的位置矢量為 r(x，t):［t0，∞)×［0，L］→R3，且柔索在該處的切線方向?yàn)?

其中，r(s，t)=［x(s，t)，y(s，t)，z(s，t)］T。

于是，柔索的動力學(xué)方程可以表示為:

式中，ρ為柔索單位無應(yīng)變長度的重量，ε(s，t)為柔索的應(yīng)變，EA為柔索的抗拉剛度，g(s，t)為柔索單位無應(yīng)變長度上的外力，本文中僅考慮柔索自重的影響。

柔索上曲線坐標(biāo)為s處點(diǎn)P的速度為:

加速度為:

將式(3)、式(4)和式(8)代入式(5)即為柔索的動力學(xué)方程，為一關(guān)于s和t的偏微分方程。

2 動力學(xué)模型的空間離散化求解

采用有限差分法對式(5)進(jìn)行空間離散化，每根柔索均劃分為n個等長單元，見圖2，有:l=L(t)/n (9)其中，L(t)為柔索當(dāng)前時刻的無應(yīng)變長度。

圖2 柔索的空間離散化Fig.2 Spatial discretization of a cable

采用中心差分法，柔索上曲線坐標(biāo)為si的第i(i=1，2，…，n－1)個節(jié)點(diǎn)的x分量關(guān)于s的一階和二階偏微分可分別表示為:

于是，第i個節(jié)點(diǎn)沿x方向的速度和加速度分別為:

同理，可得節(jié)點(diǎn)i沿y軸和z軸的加速度。將相關(guān)各式代入式(5)得:

式中，pix(xi－1，…，zi+1)為柔索內(nèi)力項(xiàng)，是節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)xi－1，…， zi+1的非線性函數(shù)，gix為重力項(xiàng)沿x方向的分量，分別對應(yīng)于式(5)右邊的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)。限于篇幅有限，不再給出pix的具體表達(dá)式。

柔索沿y和z方向的動力學(xué)方程與式(14)類似。于是，第i個節(jié)點(diǎn)的動力學(xué)方程可以寫成如下形式:

其中:

這里，I和0分別為3×3階單位陣和0矩陣。對于整根柔索，記:

采用有限元裝配操作對式(15)中的矩陣mi、ci、ki和fi進(jìn)行裝配操作得到相應(yīng)的全局矩陣mc、cc、kc和fc。于是可得變長度單根柔索的動力學(xué)方程為:

這是一個共3(n—1)個變量的二階微分方程組。需要指出的是，這里fc為節(jié)點(diǎn)等效力向量，cc和kc是與索長收放速度相關(guān)的系數(shù)矩陣，不同于普通有限元中的阻尼陣和剛度陣。普通有限元中的阻尼項(xiàng)和剛度項(xiàng)體現(xiàn)在式(16)右端的等效力向量fc中。

3 索牽引機(jī)器人的動力學(xué)模型

在末端執(zhí)行器上建立與其固連的局部坐標(biāo)系{B}，將末端執(zhí)行器位置和姿態(tài)坐標(biāo)取為:

其中，r=［x y z］T為末端執(zhí)行器的位置向量，ψ=［α β γ］T為姿態(tài)向量。

柔索作用在末端執(zhí)行器上的合力fr和合力矩mr可分別表示為:

其中，pj為第j(j=1，2，…，6)根柔索對末端執(zhí)行器的牽引力。

末端執(zhí)行器的動力學(xué)方程可以表示為［10］:

柔索連接末端執(zhí)行器的6個索連接點(diǎn)在其局部坐標(biāo)系{B}中的位置向量記為bj(j=1，2，…，6)。將其轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系中，有:

其中T為從局部坐標(biāo)系{B}到全局坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣，可由末端執(zhí)行器的姿態(tài)向量ψ確定。xnj為式(16)求解時第j根柔索的末端節(jié)點(diǎn)n的當(dāng)前位置。

式(16)、式(20)與式(21)聯(lián)立即為索牽引并聯(lián)機(jī)器人的動力學(xué)模型。

4 索牽引并聯(lián)機(jī)器人數(shù)值算例

針對本文提出的時變索長索牽引并聯(lián)機(jī)器人動力學(xué)模型，首先給出一平面兩索牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)的算例，并與多體系統(tǒng)動力學(xué)分析軟件DADS的分析結(jié)果進(jìn)行對比來驗(yàn)證本文算法的有效性，然后再給出6索牽引并聯(lián)機(jī)器人的分析結(jié)果。

4.1 平面兩索牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)

圖3所示的平面兩索牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，柔索AB與BC共同牽引B點(diǎn)處的質(zhì)量m進(jìn)行平面運(yùn)動。柔索AB的A端固定不動，柔索BC的C端繞過定滑輪后在點(diǎn)D處施加運(yùn)動即可改變BC段的長度，從而拖動質(zhì)量m運(yùn)動。各點(diǎn)位置坐標(biāo)為 A(– 1.0，1.0)，C(2.0，1.0)，(單位 m，下同)。初始平衡時 B點(diǎn)坐標(biāo)為(0.00177，0.50529)。柔索抗拉剛度 EA=6.5973 ×104N，單位長度重量 ρ=2.0 N/m，質(zhì)量 m=1.37kg。此處ρ值取得較大而EA和質(zhì)量m的值較小是為了能夠突出柔索自身動態(tài)特性對質(zhì)量m運(yùn)動的影響。

需要指出的是，點(diǎn)C為系統(tǒng)處于初始平衡狀態(tài)時，柔索BC與定滑輪的切點(diǎn)，采用本文算法時認(rèn)為該點(diǎn)固定不動。仿真時柔索AB劃分為7個單元，BC劃分為10個單元。

為了驗(yàn)證模型的正確性，對圖3所示機(jī)構(gòu)采用DADS軟件建立了如圖4所示的彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)來模擬兩索牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動力學(xué)行為。在點(diǎn)D處施加位移驅(qū)動以改變?nèi)崴鰾C段的長度，每個質(zhì)量點(diǎn)用一剛性小球來表示，小球與滑輪間處理為接觸，用DADS的接觸副建模，滑輪半徑為0.08 m。

柔索AB長度不變，柔索BC端點(diǎn)D處的收放規(guī)律為 ΔL(t)=0.15sin(0.8πt)，仿真時間為 5 s。此時，質(zhì)量m沿x軸和y軸的運(yùn)動規(guī)律如圖5所示。圖5中，實(shí)線為本文算法結(jié)果，圓點(diǎn)(·)為DADS仿真結(jié)果。圖6給出了本文結(jié)果相對于DADS結(jié)果之間的差別。由圖5和圖6可知，質(zhì)量點(diǎn)在x方向的運(yùn)動幅度約為0.10 m，兩種模型之間的差別在5 mm以內(nèi);y方向的運(yùn)動幅度約為0.30 m，相應(yīng)的差別在15 mm內(nèi)。可以看出，本文結(jié)果與DADS仿真結(jié)果之間吻合得很好，由此可以證明本文提出的柔索動力學(xué)模型是非常有效的。考慮到DADS模型中切點(diǎn)C的位置是略有變化的，兩模型間存在一些差別，仿真結(jié)果稍有不同也是合理的。

應(yīng)當(dāng)指出的是，為了保證柔索與滑輪之間連續(xù)且光滑接觸，兩質(zhì)量點(diǎn)間的距離應(yīng)小于滑輪半徑。為此，將柔索BC劃分為30個彈簧－質(zhì)量元。由于工程應(yīng)用中滑輪半徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于柔索長度，采用DADS軟件分析時必須將柔索劃分成大量的彈簧－質(zhì)量元。同時采用接觸副時求解步長必須足夠小。因此，與本文提出的求解模型相比，采用DADS軟件分析時由于引入柔索節(jié)點(diǎn)與滑輪間的接觸，求解過程是非常耗時，而且使用接觸容易出現(xiàn)數(shù)值計(jì)算上的失敗，極大限制了這種方法的應(yīng)用。

4.2 6索牽引并聯(lián)機(jī)器人

圖1所示的大射電望遠(yuǎn)鏡索支撐系統(tǒng)中，6個塔頂定滑輪的高度均為21 m，均勻分布在直徑為50 m的圓上。柔索抗拉剛度EA=2.39×106N，單位長度重量ρ=1.37 N/m。作為末端執(zhí)行器的半球殼形饋源艙體半徑為 0.50 m，質(zhì)量為 400kg，慣量矩陣為 diag(33.97，33.97，54.34)(kg·m2)，這里 diag表示對角陣。6個索連接點(diǎn)均位于艙體表面上，其中3個距艙底面的高度為0.10 m，另外3個的高度為0.48 m。空間離散化時每根柔索劃分為20個單元。

給定末端執(zhí)行器初始位姿為 q0=(2.00，1.00，16.0，0.0889，－ 0.1756，3.108)T，其中長度單位為m，角度單位為rad，下同。要求末端執(zhí)行器在10 s內(nèi)沿直線軌跡運(yùn)動到終點(diǎn) q1=(2.50，1.50，16.2，0.135，－0.263，3.121)T，運(yùn)動過程中每個坐標(biāo)分量的軌跡均為直線。文［1，6］認(rèn)為由于運(yùn)動緩慢，在軌跡上任一點(diǎn)處系統(tǒng)均處于靜平衡狀態(tài)。本文將這種運(yùn)動稱為靜態(tài)運(yùn)動。

圖7 末端執(zhí)行器的動態(tài)位移Fig.7 Dynamic displacement of end-effector

本文模型結(jié)果相對于靜態(tài)運(yùn)動的位移偏差如圖7所示。可以看出，系統(tǒng)運(yùn)動過程中會出現(xiàn)圍繞其靜平衡位置的振動。振動導(dǎo)致的總體位置誤差((Δx2+Δy2+Δz2)1/2)為3.5 mm，總體姿態(tài)誤差為 8.25 ×10–3rad(0.47°)。由此可見，在理想情況下，文獻(xiàn)［1，6］認(rèn)為系統(tǒng)處于靜平衡狀態(tài)是合理的。

但當(dāng)系統(tǒng)中存在誤差時，柔索動態(tài)特性的影響會顯著增加。例如，由于設(shè)備的測量誤差，導(dǎo)致給定的末端執(zhí)行器初始位置沿3個坐標(biāo)軸方向各有20 mm的位置誤差時，系統(tǒng)沿x軸平動和繞x軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動軌跡如圖8所示，相對于靜態(tài)運(yùn)動的位移偏差在圖9中給出。可以看到，初始誤差導(dǎo)致的振動始終存在，沿x軸的平動振幅接近于20 mm;繞x軸的轉(zhuǎn)動振幅接近6.0×10–2rad(3.4°)。其他方向上的運(yùn)動與此類似。此時，振動導(dǎo)致的總體位置誤差為32 mm，總體姿態(tài)誤差為8.2 ×10–2rad(4.7°)。而且，運(yùn)動過程中振幅衰減很慢，這是由于柔索系統(tǒng)的阻尼很小造成的。

計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)的運(yùn)動速度增大時，動態(tài)特性的影響也會相應(yīng)增大，導(dǎo)致動態(tài)運(yùn)動軌跡遠(yuǎn)離其靜平衡位置。因此，當(dāng)系統(tǒng)的運(yùn)動速度較大或運(yùn)動精度要求較高時，考慮柔索動態(tài)特性的影響是必要的。

5 結(jié)束語

本文首先推導(dǎo)了索長慢速變化時柔索的動力學(xué)方程，在此基礎(chǔ)上根據(jù)柔索與末端執(zhí)行器之間的耦合關(guān)系推導(dǎo)出索長變化時索牽引機(jī)器人的時變結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型，為評估柔索動態(tài)特性對末端執(zhí)行器定位精度的影響提供了參考。

計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)柔索長度變化很慢時，含索長變化速度L·(t)的相關(guān)各項(xiàng)均可忽略不計(jì)。此時系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€平衡位置不斷變化的結(jié)構(gòu)振動問題。工程中對柔索進(jìn)行動力學(xué)分析時大多只需考慮其前一、二階振動模態(tài)的影響，因此，僅需將柔索劃分為少數(shù)幾個單元就可以很好地考慮到這些模態(tài)的影響。

隨著索長收放速度的加快，末端執(zhí)行器偏離其靜態(tài)平衡位置的程度越來越大，系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性更加復(fù)雜。此時分析時必須依據(jù)不同索長及索長收放速度，采用不同的建模方法。控制器的設(shè)計(jì)與系統(tǒng)的動力學(xué)模型直接相關(guān)。只有多方面因素綜合考慮，才能精確控制其未端執(zhí)行器的定位精度。

應(yīng)當(dāng)指出的是，根據(jù)不同的索長變化速度來確定與索長變化速度和加速度相關(guān)各項(xiàng)的取舍以及柔索劃分單元數(shù)目的合理確定仍是需要進(jìn)一步討論的一個重要問題。

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