改進的多目標粒子群算法優化設計及應用

張蘭勇 劉 勝 于大泳

(哈爾濱工程大學自動化學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

1.引 言

在電磁兼容測試中，電磁吸收體的廣泛應用促使工程師去開發有效的優化設計算法。理想情況下，一個最薄最輕帶寬最寬的吸收體是最好的。但是這些特征是互相矛盾的。比如，設計最高反射衰減的吸收體是可實現的，但是同時具有高厚度或重量。另一方面，薄的和輕的吸收體可能只有較低的反射衰減。

因此，在電波暗室中鋪設吸收體時，工程師經常會遇到很多強迫他們尋找在兩個矛盾目標函數中最合適的折衷解的問題。所以，如果存在一系列的最優解而不是一種解，設計師可以在每種情況下選擇最適合的折衷解。這些優化解的集合在最優化理論中被稱為帕累托(Pareto)前沿最優解[1]。

目前，一些Pareto優化方法用來尋找吸收體的Pareto前沿，這些方法通常以遺傳算法為基礎[2]。此外，多目標粒子群優化算法(MOPSO)也在這個問題中得到應用。但是，一些MOPSO算法卻得不到比非支配尋優遺傳算法更好地結果[3]。

應用改進的MOPSO算法計算多層電磁吸收體的反射系數與厚度的關系，仿真測試結果證明該方法具有更好地優化效果。

2.改進的多目標粒子群優化算法

粒子群優化算法(PSO)是一種模仿鳥群社會行為的智能優化算法，已成功地應用于許多工程優化問題中。PSO可以用于解決非線性、不可微和多峰值的復雜問題，從而該算法被應用到許多領域[4-5]。

PSO算法首先初始化為一組隨機解(隨機粒子)，通過迭代搜尋最優解，PSO算法沒有像遺傳算法中用交叉及變異操作，而是通過粒子在解空間追隨最優粒子的行為進行搜索。在實際操作過程中，通過目標函數為每個粒子確定一個適應值(FitnessValue)，來評價粒子的優劣程度。由一個向量來決定粒子的飛行方向和位置。在粒子的飛行過程中，通過粒子本身目前所找到的最優解(個體極值)和整個種群目前所找到的最優解(全局極值)這兩個極值來不斷的更新自己[6]。

假設搜索空間為D維空間，并且粒子群的第i個粒子可以由D維空間向量Xi=(xi1，xi2，…，xiD)T表示。粒子的速度由向量Vi=(vi1，vi2，…，viD)T表示。第i個粒子的最佳位置記為Pi=(pi1，pi2，…，piD)T。g為粒子群中最佳粒子的標號，即第g個粒子為最佳位置的粒子，并且上標表示重復次數。在整個域中，粒子群通過式(1)和(2)計算[7]。

(1)

(2)

上述方程代表單目標PSO的基本形式。但是在大多數情況下，可能需要同時優化多個函數，各個目標函數間可能是沖突的，這就產生了多目標粒子群優化算法。

通常多目標優化問題不存在使所有目標函數同時最優的惟一的全局最優解。但是存在這樣的解：對一個或幾個目標函數不可能進一步優化，而對其他目標函數不至于劣化，這樣的解稱為非劣最優解或Pareto最優解。每個多目標優化算法的主要目的是找到Pareto最優集合。這些最優集合將會平衡相互矛盾的目標。陳民鈾等提出了一種自適應進化粒子群優化算法以求解多目標優化問題，采用非支配排序策略和動態加權法選擇最優粒子，但該算法未能解決種群多樣性問題[7]。李娟等利用改進的粒子群算法應用于Ad Hoc網絡移動的計算中，有效地改進了移動模型，但只是針對單目標函數進行的優化[8]。趙志剛等提出了一種基于雙向搜索的多目標優化粒子群算法，改進了粒子群的狀態更新機制，但增加了計算時間[9]。

Pareto最優的概念是由意大利經濟學家Vilfredo Pareto在他1906年的著作(Manual of Political Economy)中給出[10]。為了理解Pareto最優的概念，給出如下定義：

支配：一個位置向量x1支配一個位置向量x2(x1x2)，當且僅當

(3)

Pareto最優：如果不存在一個向量x≠x*∈F支配x*，一個位置向量x*∈F就是Pareto最優。

Pareto最優集合：所有Pareto最優位置向量的集合組成Pareto最優集合。

Pareto前沿：與Pareto最優集合中位置向量相對應的所有的目標向量[10-11]。

在所有多目標最優算法中第一步都是使解與Pareto前沿的距離最小化[11]。所以首先應定義這個目標適當函數。傳統的定義適當函數的方式是基于聚合方法，即適應度函數是目標函數的加權和[12]。然而，這種經典的方法對于目標的精確聚合非常敏感，并且趨向效率很低[12-16]。在Pareto支配的基礎上提出一種適應度分配的新方法，該方法中適應度與解的支配秩成比例關系。該算法流程圖如圖1所示。

圖1 多目標粒子群優化算法流程圖

算法利用式(4)計算每個粒子的速度，即

(4)

每個立方體內的粒子個數除以任何一個大于1的數x(通常取10)，所得的值賦予這個超立方體，目的是降低包含更多超立方體的適應度，并且可以看作適應度共享的一種形式。然后，基于隨機選擇的方法利用這些適當值選擇超立方體，從而可以得到相應的粒子。一旦超立方體被選定，就可以隨機選定立方體中的一個粒子。

為了進行更好的區域搜索以及避免收斂于錯誤的Pareto解，提出了一種變異算子。它的作用是降低迭代次數。它由變異率μ控制。

變異算子為一個隨機算子，滿足局部最優解的變異率μ計算公式為

(5)

pg=pg·(1+η)

(6)

由于加入了變異算子，就可以改變粒子的前進方向，從而讓粒子進入搜索空間的其他區域進行搜索，在其后的搜索過程中，算法就有可能發現新的個體極值以及全局極值。如此反復迭代，算法就有可能找到全局最優解。

在子群的歷史最優粒子位置Pi連續無變化或變化極小時，若粒子群出現較嚴重聚集情況，則保留歷史最優粒子位置Pi，將粒子中少部分維重新隨機初始化，以此來增強全局搜索能力，克服收斂到局部最優點的缺點，同時又不降低收斂速度和搜索精度。在更新數據時，μ必須保證自由支配，對相鄰子群內所有粒子的所有維，按幾率μ進行重新隨機初始化位置和速度。并且在每個粒子的更新記憶中，如果當前位置是統治最佳位置，則取代過往最佳位置(Pbest)，其算法如下：

If LogjamStep>=MaxStep

If SwarmDist

對相鄰子群內所有的粒子的所有維，按幾率μ進行重新隨機初始化位置和速度

LogjamStep=0；

Else

按式(1)和式(2)更新粒子位置和速度

End

Else

按式(1)和式(2)更新粒子位置和速度

End

其中，LogjamStep為子群歷史最優粒子位置Pi連續不變化或變化極小的迭代次數，MaxStep為連續不變化次數的閾值；SwarmDist為群內所有粒子到歷史最佳位置Pi(t)的歐幾里得空間距離，SwarmDist可采用為平均聚集距離MeanDist或最大聚集距離MaxDist，定義如下：

(7)

(8)

m為相鄰子群離子束，BorderDist為判斷群內粒子聚集程度的距離閾值。變異率μ、MaxStep和BorderStep的選擇將對算法的性能產生很大的影響，過大的μ和MaxStep以及過小的MaxStep都會影響算法的收斂速度和搜索精度。

這種算法描述了Pareto前沿的多樣性。但是Pareto前沿邊緣的一些點經常找不到。實際工程中可能對這些點更感興趣。比如，在一些應用中，只要求高的吸收率，盡管厚度也會增加。為了得到這些Pareto前沿的邊緣點，應用算法的改進形式：

在一些迭代中(比如30次迭代之后)，僅僅在重要的目標函數(反射系數)上運行算法優化。為了減少計算時間，在這些迭代中應用快速單目標PSO.

3.電磁吸收體建模

以良導體為底層的多層吸收體如圖2所示。第0層為入射介質，第M層為良導體[9]。

層數在設計中已經確定為5層。材料根據電磁特性需要從不同頻率的材料庫中選取。材料的介電常數與磁導率如表1所示[16]。對于每一層，厚度和材料類型必須詳細給出。因此，對于M層的吸收體，這里有2M維位置向量。

考慮有M層不同材料組成的平面吸收體固定在良導體上，設計目的是選擇不同材料抑制頻帶寬度B內的入射波的反射，并且材料厚度盡量薄。不同層的材料是預先確定的，在表1中選擇。吸收材料的構成參數隨頻率變化[20]。

圖2 多層吸收體結構

無損絕緣材料(μr=1+j0)#εr010150

有損磁導材料(εr=15+j0)μi(f)=μi(1GHz)fβ;μr(f)=μr(1GHz)fα,μ=μr-jμi#μr(1GHz),αμi(1GHz),β25,0.97410,0.96133,1.00015,0.95747,1.00012,1.000有損絕緣材料(μr=1+j0)εi(f)=εi(1GHz)fβ,εr(f)=εr(1GHz)fα,ε=εr-jεi#εr(1GHz),αεi(1GHz),β55,0.8618,0.56968,0.77810,0.682710,0.7786,0.861松弛型磁性材料μ=μr-jμi,μr=μrmf2mf2+f2m,εr=15+j0#μmfm8350.89350.51030111180.512201.513302.51430215253.5

平面波入射到由M層吸收材料組成的導體板上，在頻率f下都可以求解吸收體的反射系數R(f)。其中第i層厚度為ti，介電常數為εi(f)，磁導率為μi(f)(i∈{1，2，…，NL})，在表1中均給出計算公式，則每層的反射系數為

(9)

式中：

(10)

由于

可得

R(f)=RM(f)

(11)

該計算過程可以通過重復代入頻帶B內的典型頻率得到吸收體的頻率響應。

吸收體總厚度為

(12)

設計的目的是同時使頻帶內最高反射系數R=20log10{max[R(f)]，f∈B}與總厚度t最小。

每層的厚度在0～2 mm區間內，兩個目標函數為

(13)

式中：B為需要的頻帶寬度；R為多層結構的反射系數；ti為每層的厚度。由于目標函數中只需知道整個頻段內最大的反射系數，因此，最終的反射系數與頻率無關。

設計目標是在整個頻帶中使反射系數的最大值和吸收層的厚度同時最小。因為兩個目標是矛盾的，所以必須尋找這個問題的Pareto最優前沿，從而找到兩個目標之間的最佳折衷。

4.試驗結果分析

本節利用上面提出的算法來設計不同頻帶范圍的吸收體。

1) 低頻吸收體：0.2 GHz

2) 高頻吸收體：2 GHz

Pareto前沿計算結果如圖3和圖5所示。假定c1和c2為[1.49，2]內的任意數，ω為[0，1]內的任意數。系數μ=0.5，檔案數量=100，群大小=1000。迭代次數最大為3000。根據第三節的分析，每進行30次迭代，在群大小為100和最大迭代次數為100時運行PSO函數計算f1函數(反射系數)。

圖3 利用IMOPSO獲得的0.2～2 GHz帶寬的Pareto前沿

圖5 利用IMOPSO獲得的2～8 GHz帶寬的Pareto前沿

圖3為利用改進多目標粒子群優化算法計算的Pareto前沿，圖4(看824頁)為進化非支配排序遺傳算法(NSGAII)、非支配排序遺傳算法(NSGA)以及多目標粒子群優化算法(MOPSO)進行優化的Pareto前沿。兩圖對比可以證明提出的方法在Pareto前沿從上到下取得更好的多樣性，即后者的設計結果為前者Pareto前沿的子集。

表2 各種算法性能比較

表2給出了通過計算機仿真IMOPSO算法的性能并結合文獻[7]-[11]的數據進行比較。從表中可以看出，IMOPSO所得的非劣解最多，并且收斂速度較快，多樣性性能最高。結合圖3與圖4可以得出結論：IMOPSO算法所得的非劣解在近似Pareto最優解集中所占的比重最大，并且算法的平均線密度最小，非劣解前端均勻性最好。

5. 結 論

文章對多層吸收體的兩個矛盾目標進行優化：厚度和反射系數。對于多目標優化問題通常有NSGA，NSGAII，MOPSO等算法來解決這類問題。為了取得更好的解，提出了變異算子以及適應度共享對MOPSO進行了改進。數值計算結果顯示該算法優于其他優化策略，并且NSGA，NSGAII和MPSO尋優的 Pareto前沿是文章提出的改進MOPSO得到的Pareto最優解的子集。這個范圍更寬的Pareto前沿可以幫助工程師選擇更好的最優解進行設計，具有重要的工程應用價值。

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