有限元＼邊界元混合算法分析波導裂縫陣列天線

孫 良 劉其中 鄒艷林

（西安電子科技大學天線與微波技術國防科技重點實驗室，陜西 西安710071）

1.引 言

波導裂縫陣列天線具有輻射效率高，口面分布易于控制，結構緊湊等許多優點，是雷達和通訊領域最常用的天線之一。國內外許多學者對波導裂縫陣列天線做了大量研究。Khac在七十年代初首先采用矩量法對單個縱縫進行了分析計算[1]，由于他選用分域基點選配方法，計算比較冗繁。之后Lyon和Sangster采用全域基伽略金法對單縫進行了計算[2]。在文獻[3] 中，Elliott把縫陣的設計歸結為兩個基本的方程，通過迭代可以完成對小型縫陣的設計，但這種方法無法考慮波導內部裂縫之間的互耦及波導壁厚的影響，而這些因素對天線的性能有著較大的影響。Hamadallah[4]，Gulick 和 Elliott[5]，Yee[6]，李建瀛，等[7－8]，丁君，等[9]，Mondal，et al.[10]等都基于矩量法對波導裂縫天線陣列做了深入的研究分析。

有限元法特別適合于分析結構復雜以及不同媒質中的電磁問題，但是它需要在遠離分析目標的地方設置吸收邊界，所以它與矩量法一樣難以解決電大尺寸問題。而有限元－邊界元混合方法（FE－BI）能夠把邊界直接放置到分析目標的邊界，這就大大降低了計算量，從而能夠以有限的內存來精確分析大尺寸目標。

裂縫波導陣列的結構及其饋電網絡雖然較為復雜，但是實際上，我們可以將其視作分布式的腔體來整體考慮。由于FE－BI法分析特殊結構大尺寸目標的有效性，采用它來分析計算波導裂縫天線陣列。在本文的分析中，以此為出發點建立了理論分析模型，波導裂縫陣列天線的計算被分成了兩部分：體部分（波導內部及裂縫）和面部分（與裂縫上表面相關的部分），分別用有限元法和邊界元法對這兩部分進行分析。求解矩陣方程之后就可以由裂縫上的等效磁流計算得到波導裂縫陣列天線的遠場方向圖。通過對本文方法的數值計算結果與測試結果的比較，驗證了本文方法的有效性。

2.理論方法

對于無限大地面上的三維腔體的散射問題，可以在腔體內部和口面上的電場建立泛函[11－12]，即

這里的V表示腔體的體積；Sa表示腔體口面的面積；M（r）表示口面上的等效磁流；Hinc是入射平面波的磁場；k0是自由空間的波數；Z0是自由空間的波阻抗；G0（r，r′）表示自由空間的格林函數。其中

對式（1）中的泛函求駐點，把等效磁流用基函數展開并求解矩陣方程即可得到等效磁流。

把式（1）分解成與體部分（波導內部及裂縫）和面部分（與裂縫上表面相關的部分）：首先利用有限元法對體部分進行分析

為了離散FV，可以把腔體V劃分成若干小的體積單元（四面體或長方體），使用矢量基函數對腔體V內的電場進行展開然后求解。采用四面體單元來離散所研究的裂縫陣列天線的體部分。在每個體積單元（第e個單元）中，把電場展開為

對于每一個小的體積單元（小四面體），

式中Nv＝6，是四面體棱邊的數目。

對于面部分（與裂縫上表面相關的部分），使用邊界元法來分析

為了離散這些面積分，用三角形面元對式（2）中裂縫表面處的電場E進行展開，這樣就能與選擇的體單元的一個面相重合。引入下面的展開式

基函數Si的表達形式可參考文獻[13] 。

然后對F（E）取變分，并使其為零。

把公式（10）進一步細化即可建立一個求解電場展開系數的矩陣方程，由此即可得到波導裂縫上的等效磁流，根據等效磁流就可以通過計算得到波導裂縫陣列天線的遠場方向圖。

3.結果及分析

采用前面介紹的理論模型，用TE10模來激勵波導。本文首先計算了文獻[4] 中介紹的一個刻有7個縫的單根波導陣列天線。選用的波導型號為WR62（15.80 mm ×7.90 mm），其幾何結構如圖1所示。波導的壁厚t是1.0 mm.縫寬w是1.0 mm，縫的間隔ds為14.52 mm（1/2波導波長），縫的偏移量d為2.1 mm，裂縫長度l為9.99 mm.為了驗證本文方法的正確性，我們把使用FE－BI法分析裂縫天線得到的計算結果與文獻[4] 中的測量結果做了比較。圖2中給出了在14.03 GHz頻點上裂縫陣列天線的H面（yoz面）方向圖。可以看出，計算結果與測量結果基本吻合，驗證了本文方法的有效性。但是，在副瓣水平上，二者之間存在一定的差別，這是因為計算模型假設波導裂縫開口位于無限大導體平面上，沒有考慮波導寬邊的邊緣效應。由于寬邊縱縫波導的裂縫距離波導的邊緣比較遠，所以這種計算模型的精度是能夠滿足工程應用需求的。

圖1 開7個縫的單根波導的幾何結構

第二個算例是8根波導組成的平面陣列，每個線性陣列單元都刻有6個縱向輻射裂縫，如圖3所示。波導的尺寸是21.26 mm×5.08 mm，波導的壁厚t是0.81 mm，縫寬w是3.175 mm，縫的間距ds為22.28 mm，波導間的間距為1.02 mm.表1中給出了縫的偏移量和裂縫長度。在圖4和圖5中分別給出了在9.75 GHz頻點上陣列天線E面（xoy面）和H面（yoz面）輻射方向圖的計算值和測量值。計算值與文獻[6] 中的測量值基本吻合，再次驗證了本文方法的正確性和有效性。

圖2 開7個縫的單根波導的H面方向圖

圖3 6×8的波導陣列幾何結構

表1 偏移量和縫的長度

圖4 6×8的波導陣列的E面方向圖

圖5 6×8的波導陣列的H面方向圖

4.結 論

在本文中，我們將有限元－邊界元法（FE－BI）引入到波導裂縫陣列天線的計算中，有效地解決了分析這類天線所需計算資源過大的問題。在建立理論分析模型的基礎上，分別計算了單根波導裂縫天線和大型波導裂縫陣列天線，計算結果和測量結果吻合良好，驗證了該方法分析波導裂縫陣列天線的可行性和有效性。

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