不等長非均勻有損耗傳輸線FDTD瞬態分析

史凌峰 林 凱 袁 冰 葉 強 趙亞楠

(1.西安電子科技大學超高速電路設計與電磁兼容教育部重點實驗室，陜西 西安 710071； 2.西安電子科技大學電路CAD所，陜西 西安 710071；3.陜西廣播電視大學，陜西 西安 710068)

1. 引 言

在當今大規模高速集成電路的設計中，信號頻率的提高和電路規模的不斷增大，使得電路系統內部傳輸線的耦合問題日趨嚴重，從而對多導體傳輸線的瞬態分析成為了研究熱點。目前，針對傳輸線耦合問題的研究多集中在等長均勻傳輸線的瞬態響應上[1-3]，而對于不等長、非均勻的多導體傳輸線的研究，多是在忽略傳輸線損耗的情況下進行的[4-5]，且并沒有形成一個比較完善的理論。然而在實際高速電路系統中，連接系統中各信號處理器的傳輸線通常會出現不等長、非均勻等情況。同時，隨著信號頻率的提高，傳輸線損耗對信號完整性的影響越來越大。因此，對不等長非均勻有損耗傳輸線的研究具有重要的現實意義。

目前，分析多導體傳輸線的主要方法有數值拉氏反變換法(NILT)[6]、時域有限差分(FDTD)法[3,7]等。數值拉氏反變換法可以單獨對取樣點上的時域信號進行求解，但誤差較難控制[5]。時域有限差分法可以獲得傳輸線上任意點的電壓、電流波形，并且結果直觀，計算量較小，可以對非線性系統進行分析[5]。

本文基于FDTD法，提出了適用于分析不等長非均勻有損耗多導體傳輸線的瞬態響應的計算方法，并利用該方法對不等長傳輸線模型進行了數值計算和理論分析，仿真實驗證明了該方法的有效性。

2. 不等長非均勻有損耗傳輸線的FDTD算法

圖1為不等長非均勻多導體傳輸線模型，其中導體1、導體2為信號線，導體3(未畫出)為參考地平面，并在導體1的始端設置激勵源。L1為導體1的長度，L2為導體2的長度。由圖1可以看出：沿信號傳輸方向L1距離內，導體1、導體2和參考地平面(未畫出)組成了三導體傳輸線，之后的L2-L1距離內，導體2和參考地平面(未畫出)組成了二導體傳輸線。

圖1 不等長非均勻多導體傳輸線模型

按照FDTD方法將多導體傳輸線離散化[7-9]，如圖2所示。其中：Vs0為始端端接激勵矩陣，Rs0為始端端接電阻矩陣;Rs1為沿信號傳輸方向L1距離處的端接電阻矩陣;Rs2為終端端接電阻矩陣;圖中電壓節點與電流節點均相距Δz/2，時間點的間隔為Δt/2。

圖2 多導體傳輸線的離散化

根據圖2所示，在不考慮外界電磁場作用的情況下，多導體傳輸線方程的時域形式為

(1)

(2)

式中：V和I分別為多導體傳輸線上的電壓和電流矩陣；R和G分別為多導體傳輸線上的電阻和電導矩陣；L和C分別為多導體傳輸線上的電感和電容矩陣。

(3)

(4)

式中：E為單位矩陣。

根據傳輸線始端和終端邊界條件，結合式(3)和式(4)可以得到傳輸線在始端和終端的電壓迭代公式

(5)

(6)

式中：RS為始端電阻矩陣；RL為終端電阻矩陣。

為計算傳輸線始端的電流，應用Kirchhoff定律，可以得出其電流的迭代公式[10]

(7)

對于如圖1所示的不等長非均勻多導體傳輸線，在始端以及L1和L2-L1長度范圍內的等長多導體傳輸線處，均滿足各自的多導體傳輸線方程，利用FDTD法對其進行差分，結果即為公式(3)、(4)、(5)、(7)。而在不同段的等長多導體傳輸線的分段處，電壓相等，電流對導體長度的導數相等。因此，在分析不等長多導體傳輸線時，可以在初始端以及不同的等長多導體傳輸線段中對其滿足的多導體傳輸線方程進行差分，而在連接處使其滿足連接條件[8]。

在兩段不同的等長傳輸線連接處，較短傳輸線的端接電阻為線路中的實際電阻，而較長傳輸線與參考地平面為開路，其端接電阻可以看作無窮大。同時，在連接處，較短傳輸線中只有Δz/2長度起作用，所以與較短傳輸線相關的電容量與電感量取原來的一半[8]。因此，在計算各段連接處電壓時，對于較短傳輸線使用公式(6)、較長傳輸線使用公式(3)。而計算連接處電流時，其計算公式與公式(4)相同，只是對于不同的分段及各段連接處代以不同的電感矩陣和電阻矩陣即可。

綜上式(3)、(4)、(5)、(6)、(7)為傳輸線上各點的迭代公式。Δz、Δt分別為空間和時間步長，k，n分別為空間和時間的劃分數。為了保證算法穩定，通常要求Δt≤Δz/V，當取等號時，Δt為最佳時間步長。其中V為電磁波在多導體傳輸線中傳播的最大速度[7]。

計算時，交替使用電壓遞推公式和電流遞推公式，對傳輸線上各點進行迭代，便可以得到不等長非均勻多導體傳輸線上各點的時域響應。

3. 仿真驗證

考慮如圖1所示3導體不等長非均勻傳輸線作為仿真模型。將其按圖2的方法進行離散。則1至k1分段為3導體傳輸線，k1+1至k2分段為2導體傳輸線。傳輸線的分布參數為[11-13]：

L(x)=387/[1+K1(x)

nH/m

Lm(x)=K1(x)L(x)

nH/m

C(x)=104.13/[1-K2(x)]

pF/m

Cm(x)=-K2(x)C(x)

pF/m

R(x)=30/[1+K3(x)]

Ω/m

G(x)=0.001/[1-K3(x)]

S/m

模型中電磁波在傳輸線1和傳輸線2中傳播的速度分別為V1=1.521×108m/s，V2=1.482×108m/s.因此，選取V1來確定最佳仿真步長，以保證算法的穩定。在導體1的始端接上升/下降沿為500 ps，脈沖寬度為5 ns，幅值為1 V的激勵源，如圖3所示。取Δz=0.002 m，根據Δt≤Δz/V，得最佳仿真時間步長為Δt=1.315×10-11s.

圖3 激勵波形

對于分段處，以圖1形式設置電阻為R1=50 Ω，R2=75 Ω，R3=10 Ω，R4=10 Ω.

式中：VG1為導體1始端激勵電壓。

當k=k2+1時，Vs2=(0)Rs2=(R4)

Gs2=(G(k×dz)/2)Cs2=(C(k×Δz)/2)

Ls2=(L(k×Δz)/2)

為驗證算法的有效性，取導體1長度為0.1 m、導體2長度為0.104 m.這種情況下，由于兩傳輸線長度相差很小，可以將兩傳輸線近似地認為等長，仿真得到不等長非均勻有損傳輸線兩端各點電壓波形，如圖4所示。再取導體1、導體2長度為0.1 m，使用文獻[13]中提出的等長非均勻有損耗多導體傳輸線的計算方法(見文獻[13]的第29頁)，仿真得到傳輸線兩端各點電壓波形，如圖5所示。比較圖4和圖5，可以看出：圖4中端點4的電壓幅值略高于圖5中端點4的電壓幅值，這是由于圖4的仿真模型并不是標準的等長傳輸線，從而導致了兩組仿真試驗中受擾線遠端串擾的電壓幅值有所不同，這一現象與傳輸線理論是相一致的[14]。除此之外，兩者可較好地吻合。由此可得：文中提出的針對不等長有損耗多導體傳輸線的FDTD算法是可行有效的。

下面分析不等長非均勻多導體傳輸線的情況，取導體1長度為0.1 m、導體2長度為0.2 m，分別進行兩組仿真實驗。其中第一組仿真忽略傳輸線的損耗(R=0，G=0)，第二組仿真考慮傳輸線的損耗。實驗結果分別如圖6、圖7所示。

將圖4與圖7進行比較，可以看出：當導體1長度不變，導體2長度變化時，有激勵源的導體1兩端電壓變化不大，而無激勵源的導體2兩端電壓的主要區別為遠端串擾的瞬態響應發生時間不同，且由于導體2長度不同，其遠端串擾的電壓幅值有所下降，同時波形趨于穩定的時間也不同。這與文獻[4]所得出的結論一致。

(a) 傳輸線端點1和3電壓波形

(b) 傳輸線端點2和4電壓波形圖4 L1=0.1 m，L2=0.104 m時不等長非均勻有損耗多導體傳輸線兩端電壓波形

(a) 傳輸線端點1和3電壓波形

(b) 傳輸線端點2和4電壓波形圖5 L=0.1 m時等長非均勻有損耗多導體傳輸線兩端電壓波形

(a) 傳輸線端點1和3電壓波形

(b) 傳輸線端點2和4電壓波形圖6 L1=0.1 m，L2=0.2 m時不等長非均勻無損耗多導體傳輸線兩端電壓波形

(a) 傳輸線端點1和3電壓波形

(b) 傳輸線端點2和4電壓波形圖7 L1=0.1 m，L2=0.2 m時不等長非均勻有損耗多導體傳輸線兩端電壓波形

比較圖6與圖7，可以看出傳輸線的損耗導致了導體兩端電壓有減小的趨勢。另外，由于傳輸線損耗的存在，使得導體1的終端電壓幅值、導體2近端串擾與遠端串擾的電壓幅值均有所下降。這與傳輸線理論也是相一致的[14]。

4. 結 論

針對傳輸線損耗以及不等長非均勻多導體傳輸線之間的耦合是目前大規模高速電路系統的設計難點問題，作者提出了基于FDTD法的不等長非均勻有損耗傳輸線瞬態響應的算法，并通過實驗仿真分析，得出了與參考文獻[4]、[14]相一致的結論，證明了該方法在考慮傳輸線損耗的情況下，可以準確、快速地計算不等長非均勻多導體傳輸線中各點的瞬態響應。為不等長非均勻有損耗傳輸線的研究提供理論參考。

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