基于簡化實(shí)頻方法的寬帶天線阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)

武軍偉 龔子平 萬顯榮 柯亨玉

(武漢大學(xué)電子信息學(xué)院電波傳播實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430079)

1.引 言

天線與饋線之間的阻抗匹配程度直接影響到天線與收發(fā)信機(jī)之間的信號傳輸效率。為實(shí)現(xiàn)小型化短波天線輸入阻抗的寬帶化，在天線與饋線間插入寬帶匹配網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行補(bǔ)償，減少由阻抗失配引起的損耗，提高饋電效率[1]。

針對寬帶阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，Carlin于1977年提出了基于線性分段折線逼近最佳網(wǎng)絡(luò)特性的原始實(shí)頻方法[2]。自Carlin之后原始實(shí)頻方法得到了許多改進(jìn)，并演變?yōu)橹苯佑?jì)算實(shí)頻方法[3]和簡化實(shí)頻方法[4]。簡化實(shí)頻方法采用實(shí)歸一化的散射參量矩陣函數(shù)描述二端口匹配網(wǎng)絡(luò)，以散射參量矩陣函數(shù)為變量，優(yōu)化匹配網(wǎng)絡(luò)的傳輸功率增益TPG(定義為負(fù)載得到的實(shí)際功率與信號源的資用輸出功率之比)，然后將得到的散射參量矩陣函數(shù)變換為策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)(阻抗或?qū)Ъ{函數(shù))，運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)綜合技術(shù)將策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)實(shí)現(xiàn)為物理網(wǎng)絡(luò)，完成匹配網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)。

簡化實(shí)頻方法避免了原始實(shí)頻方法中策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)實(shí)部的折線表示和相應(yīng)的希爾伯特變換處理，方法簡便，程序計(jì)算簡單快速[5]。同時(shí)，該方法克服了電路CAD軟件直接優(yōu)化方法(在軟件中預(yù)先指定

網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，然后直接對元件取值進(jìn)行優(yōu)化)中預(yù)設(shè)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不合理、網(wǎng)絡(luò)增益特性與元件取值之間具有高階非線性關(guān)系的缺點(diǎn)。

然而，簡化實(shí)頻方法也存在自身的局限性。由于網(wǎng)絡(luò)散射參量函數(shù)形式的限制，以及缺乏對網(wǎng)絡(luò)增益帶寬理論極限的預(yù)估，特定網(wǎng)絡(luò)階數(shù)和零頻傳輸零點(diǎn)階數(shù)下的單次優(yōu)化過程并不一定能夠收斂到或者比較好地逼近目標(biāo)傳輸功率增益。針對這一問題，進(jìn)行了分析并給出了改進(jìn)后的匹配網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)方法。

2. 理論分析

2.1 簡化實(shí)頻方法基本原理

考慮由信號源、匹配網(wǎng)絡(luò)和天線組成的系統(tǒng)，如圖1所示：Ug和Zg分別表示信號源的等效電壓源和內(nèi)阻抗；ZL表示天線的輸入阻抗；Zq表示由匹配

圖1 信號源、匹配網(wǎng)絡(luò)和負(fù)載組成的系統(tǒng)

網(wǎng)絡(luò)的端口2向信號源方向看去的策動(dòng)點(diǎn)阻抗。目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)無源雙端口匹配網(wǎng)絡(luò)，使得信號源與天線之間在所關(guān)心的頻帶內(nèi)實(shí)現(xiàn)最大功率傳輸。

無耗互易雙端口網(wǎng)絡(luò)的實(shí)歸一化散射參量矩陣函數(shù)S(s)的Belevitch表示形式[6]為

(1)

式中：S表示散射參量;s表示拉普拉斯復(fù)頻率。當(dāng)f(s)為s的偶函數(shù)時(shí)S11(s)前面取負(fù)號，當(dāng)f(s)為s的奇函數(shù)時(shí)S11(s)前面取正號，f(s)、h(s)與g(s)之間滿足以下關(guān)系式

f(s)f(-s)+h(s)h(-s)=g(s)g(-s)

(2)

根據(jù)達(dá)林頓(Darlington)原理[7]，任何有理正實(shí)函數(shù)[8]都可以實(shí)現(xiàn)為端接一歐姆電阻的無耗二端口網(wǎng)絡(luò)。因而，策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)Zq的正實(shí)性就成為了匹配網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)崿F(xiàn)為無源二端口網(wǎng)絡(luò)的充分必要條件。采用Belevitch形式的散射參量矩陣函數(shù)表示二端口網(wǎng)絡(luò)時(shí)，策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)的正實(shí)性要求就變化為以下三個(gè)條件：f(s)、h(s)和g(s)均為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式；g(s)為嚴(yán)格霍維茨(Hurwitz)多項(xiàng)式[8]；f(s)和h(s)的階次均不超過g(s)的階次，并且滿足關(guān)系式(2)。

在滿足前述正實(shí)性要求的前提下，設(shè)f(s)、h(s)和g(s)分別為

f(s)=f0+f1s+…+fnsn

(3)

h(s)=h0+h1s+…+hnsn

(4)

g(s)=g0+g1s+…+gnsn

(5)

式中,n為網(wǎng)絡(luò)的階數(shù)，{f0f1…fn}、{h0h1…h(huán)n}和{g0g1…gn}分別為f(s)、h(s)和g(s)的多項(xiàng)式系數(shù)組。

Belevitch形式下匹配網(wǎng)絡(luò)的傳輸功率增益為

(6)

式中SL(s)表示與負(fù)載ZL對應(yīng)的反射系數(shù)，傳輸功率增益就表示成為了負(fù)載的實(shí)頻數(shù)據(jù)和匹配網(wǎng)絡(luò)的散射參量的函數(shù)，以f(s)、h(s)和g(s)的系數(shù)組為待優(yōu)化變量，優(yōu)化匹配網(wǎng)絡(luò)的傳輸功率增益，便可獲得具有最優(yōu)傳輸功率增益的散射參量函數(shù)，然后將其變換為策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)，運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)綜合技術(shù)將策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)實(shí)現(xiàn)為對應(yīng)的物理網(wǎng)絡(luò)，確定網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和元件取值，就完成了匹配網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)過程。由于f(s)、h(s)和g(s)之間存在關(guān)系式(2)的約束，因而獨(dú)立的自變量系數(shù)組只有兩組，第三組系數(shù)可以由另外兩組系數(shù)重構(gòu)，這里選擇f(s)和h(s)的系數(shù)組作為待優(yōu)化變量。

式(3)表示一般形式下的f(s)，對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)通常含有互耦線圈(采用達(dá)林頓級聯(lián)綜合方法[7])及理想變壓器(采用達(dá)林頓串聯(lián)綜合方法[7])，不便于工程應(yīng)用。文獻(xiàn)[9]指出并證明，當(dāng)f(s)取sk(k表示零頻率處傳輸零點(diǎn)的階數(shù)，k≤n)的形式時(shí)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)始終可以實(shí)現(xiàn)為端接電阻的LC混合梯形網(wǎng)絡(luò)。此時(shí)網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù)的零點(diǎn)均位于jω軸上的原點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，這相當(dāng)于把S21(s)限制為最小相移函數(shù)，避免了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中橋形電路的出現(xiàn)。LC混合梯形網(wǎng)絡(luò)所需元件數(shù)比較少，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的傳輸性能對元件取值的微小偏差不敏感[8]，便于工程應(yīng)用。因此，優(yōu)化過程中將f(s)限定為sk的形式。

對f(s)做出上述約束后，待優(yōu)化變量就只剩下了系數(shù)組{h0h1…h(huán)n}，這樣就簡化了優(yōu)化過程的處理。由式(2)可得

g(s)g(-s)=sk(-s)k+(h0+h1s+…+hnsn)

[h0+h1(-s)+…+hn(-s)n]

(7)

指定網(wǎng)絡(luò)階數(shù)n和零頻傳輸零點(diǎn)階數(shù)k，初始化系數(shù)組{h0h1…h(huán)n}以后，分離上式右邊項(xiàng)開左半平面的根構(gòu)成嚴(yán)格霍維茨多項(xiàng)式g(s)，就保證了網(wǎng)絡(luò)的可實(shí)現(xiàn)性。由于網(wǎng)絡(luò)是無耗的，散射參量在jω軸上必須滿足|S22(jω)|2+|S12(jω)|2=1，所以在選擇k和{h0h1…h(huán)n}的時(shí)候需注意當(dāng)k=0時(shí)h0必須為0。對于簡單的問題，hi的初始值可以設(shè)為±1[4].

對傳輸功率增益的優(yōu)化采用線性最小二乘優(yōu)化算法，評估函數(shù)設(shè)為

(8)

式中：m表示所考慮帶寬內(nèi)的頻率抽樣點(diǎn)數(shù);T0表示預(yù)設(shè)的目標(biāo)傳輸功率增益;T(ωi)表示抽樣頻點(diǎn)ωi處的傳輸功率增益。在給定源和負(fù)載的前提下，匹配問題本身就存在著由任意電阻 電容 電感(RLC)無源網(wǎng)絡(luò)所能達(dá)到的增益和帶寬的理論極限[10]，當(dāng)預(yù)設(shè)的目標(biāo)傳輸功率增益超過這一理論極限時(shí)，優(yōu)化過程便永遠(yuǎn)不能收斂。為了避免由于預(yù)設(shè)的目標(biāo)傳輸功率增益不合理所引起的優(yōu)化過程不收斂現(xiàn)象，設(shè)定一定的條件，如迭代次數(shù)達(dá)到最大值或者評估函數(shù)的改變小于預(yù)設(shè)的容差等，作為最小二乘優(yōu)化算法的終止條件。

最小二乘優(yōu)化結(jié)束后，將得出的系數(shù)組{h0h1…h(huán)n}代入式(7)重構(gòu)g(s)，根據(jù)式(9)和式(10)就可以得到策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)Zq(s)的表達(dá)式，移除Zq(s)位于jω軸原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的零極點(diǎn)便可綜合出對應(yīng)的物理網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

(9)

(10)

由于散射參量函數(shù)始終滿足Belevitch形式下的策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)正實(shí)性約束條件，保證了網(wǎng)絡(luò)的可實(shí)現(xiàn)性，因而無需再對優(yōu)化得到的策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)進(jìn)行正實(shí)性校驗(yàn)。同時(shí)，避開了原始實(shí)頻方法中以線性分段折線逼近最佳策動(dòng)點(diǎn)阻抗的過程以及相應(yīng)的希爾伯特變換處理，將原始實(shí)頻方法的“折線逼近-有理多項(xiàng)式逼近-網(wǎng)絡(luò)綜合”三個(gè)步驟簡化為了“有理多項(xiàng)式逼近-網(wǎng)絡(luò)綜合”兩個(gè)步驟，物理概念清晰，方法簡便，程序計(jì)算簡單快速。

2.2 改進(jìn)后的設(shè)計(jì)方法

然而，簡化實(shí)頻方法也有它自身的局限性：首先，把S21(s)設(shè)為最小相移函數(shù)、給定網(wǎng)絡(luò)階數(shù)n和零頻傳輸零點(diǎn)階數(shù)k為特定值都是對網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的限制，所能實(shí)現(xiàn)的傳輸功率增益形式不如由任意RLC無源網(wǎng)絡(luò)所能實(shí)現(xiàn)的形式廣泛，存在匹配性能的損失。其次，對于具體負(fù)載而言，特定網(wǎng)絡(luò)階數(shù)n和零頻傳輸零點(diǎn)階數(shù)k下的優(yōu)化并不一定是全面的，潛在的優(yōu)良解可能在設(shè)定n和k的時(shí)候就已經(jīng)被排除在搜索域之外了，此時(shí)優(yōu)化過程便不能夠在優(yōu)化帶寬內(nèi)收斂或者比較好地逼近目標(biāo)傳輸功率增益。

針對特定n和k下的優(yōu)化并非全面的問題，引入圖2所示的設(shè)計(jì)方法框圖。讀入負(fù)載阻抗數(shù)據(jù)并設(shè)定優(yōu)化頻率范圍和目標(biāo)傳輸功率增益以后，首先進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)階數(shù)n=1、零頻傳輸零點(diǎn)階數(shù)k=0條件下的優(yōu)化，達(dá)到最小二乘優(yōu)化算法的終止條件后，退出該次優(yōu)化并保存優(yōu)化結(jié)果。然后逐次增加零頻傳輸零點(diǎn)的階數(shù)k和網(wǎng)絡(luò)的階數(shù)n，重新優(yōu)化，直到n和k均達(dá)到預(yù)設(shè)的最大網(wǎng)絡(luò)階數(shù)nmax.這樣就遍歷了所有網(wǎng)絡(luò)階數(shù)和零頻傳輸零點(diǎn)階數(shù)下的優(yōu)化，避免了基本簡化實(shí)頻方法丟失潛在優(yōu)良解的可能。另外，多次優(yōu)化所給出的多個(gè)結(jié)果也為通過權(quán)衡考慮網(wǎng)絡(luò)的匹配性能和物理實(shí)現(xiàn)難易程度，從所有優(yōu)化結(jié)果中確定最終方案提供了更大的選擇空間。

在遍歷完所有優(yōu)化過程以后，從所有優(yōu)化結(jié)果中選擇傳輸功率增益特性較好的數(shù)個(gè)結(jié)果，運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)綜合技術(shù)將它們變換為對應(yīng)的物理網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)成待考察空間。然后權(quán)衡考慮網(wǎng)絡(luò)的增益特性和物理實(shí)現(xiàn)難易程度，從考察空間中選擇一個(gè)結(jié)果作為最終方案，完成整個(gè)設(shè)計(jì)過程。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的匹配性能與物理實(shí)現(xiàn)難易程度(通常為制作射頻寬帶變壓器的問題)相互矛盾時(shí)，只能退而求其次，犧牲匹配性能，選擇物理實(shí)現(xiàn)較為容易的結(jié)果作為最終方案。

圖2 設(shè)計(jì)方法框圖

3. 實(shí)際應(yīng)用及結(jié)果分析

圖3 待匹配天線的輸入阻抗

由武漢大學(xué)研制的新型多功能變頻高頻地波雷達(dá)采用相控陣接收天線，單元天線為小型化單極加載螺旋天線，帶寬要求為8～24 MHz.圖3為用Anritsu MS2024A矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀測得的未經(jīng)匹配的單元天線輸入阻抗。從圖中可以看出，該天線輸入阻抗的虛部呈容性，實(shí)部離射頻電纜的50 Ω特性阻抗比較遠(yuǎn)，若與射頻電纜直接相連的話，8～24 MHz內(nèi)的阻抗失配損耗在56%～80%之間，平均值為69%，天線接收到的雷達(dá)回波信號功率不能有效地饋送到射頻電纜上。為提高該接收天線對射頻電纜的饋電效率，采用前面給出的方法設(shè)計(jì)天線與射頻電纜之間的寬帶阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)。優(yōu)化頻率范圍設(shè)為8～24 MHz，頻率抽樣點(diǎn)設(shè)為442點(diǎn)。與濾波器理論相似的是，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的階數(shù)大于6階時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的傳輸功率增益隨著頻率的變化將出現(xiàn)大的抖動(dòng)，同時(shí)，過高的網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度在工程上也是不樂于采用的，因此，優(yōu)化過程中將網(wǎng)絡(luò)的最大階數(shù)nmax設(shè)為6階。最小二乘優(yōu)化算法的終止條件設(shè)為達(dá)到最大迭代次數(shù)5000時(shí)停止。取式(8)作為評估函數(shù)時(shí)，優(yōu)化過程使所有頻率抽樣點(diǎn)處的TPG與預(yù)設(shè)目標(biāo)值之間的偏差在平方和意義上最小。若某頻點(diǎn)處有T(ωi)-T0>0，則該點(diǎn)的TPG已經(jīng)優(yōu)于目標(biāo)值，但這一差值經(jīng)過平方后仍然會(huì)累積進(jìn)誤差函數(shù)，與TPG未能達(dá)到要求的頻點(diǎn)一起使評估函數(shù)值變大。為避免這種情況出現(xiàn)，設(shè)T0為最大值1，這樣所有頻點(diǎn)處都滿足T(ωi)-T0≤0.

遍歷6階以下所有網(wǎng)絡(luò)階數(shù)和零頻傳輸零點(diǎn)階數(shù)的優(yōu)化過程后共有27個(gè)結(jié)果。寬帶匹配網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)需保證頻帶內(nèi)的最低TPG值不低于容許的門限值。表1給出了所有結(jié)果在8～24 MHz之間的最低TPG值。從中可以看出：(n=1,k=1)、(n=2,k=1)、(n=2,k=2)、(n=3,k=1)、(n=3,k=2)條件下優(yōu)化結(jié)果的最低TPG值均大于-0.5 dB(最大電壓駐波比小于2)，而(n=3,k=3)、(n=4,k=2)等條件下優(yōu)化結(jié)果的最低TPG值小于-3 dB，典型的(n=5,k=4)條件下優(yōu)化結(jié)果的最低TPG值甚至降低到了約-24 dB，這表遍歷不同網(wǎng)絡(luò)階數(shù)和零頻傳輸零點(diǎn)階數(shù)下的優(yōu)化過程，避免因網(wǎng)絡(luò)階數(shù)和零頻傳輸零點(diǎn)階數(shù)設(shè)置不當(dāng)引起的潛在優(yōu)良結(jié)果的丟失是必要的。

圖4給出了表1中最低TPG值大于-0.5 dB的五個(gè)結(jié)果的TPG曲線。(n=1,k=1)下優(yōu)化結(jié)果的TPG曲線對應(yīng)圖5中的匹配網(wǎng)絡(luò)1，其中理想變壓器的變比N=3.2，L1=11823nH；(n=2,k=1)下優(yōu)化結(jié)果的TPG曲線對應(yīng)圖5中的匹配網(wǎng)絡(luò)2，其中N=3.1，L1=13520 nH，L2=505 nH；(n=2,k=2)下TPG曲線對應(yīng)圖5中的匹配網(wǎng)絡(luò)3，其中N=3.2，C1=1945 uF，L1=11827 nH；(n=3,k=1)下優(yōu)化結(jié)果的TPG曲線對應(yīng)圖5中的匹配網(wǎng)絡(luò)4，其中N=3，C1=11.8 pF，L1=9852 nH，L2=2328 nH；(n=3,k=2)下優(yōu)化結(jié)果的TPG曲線對應(yīng)圖5中的匹配網(wǎng)絡(luò)5，其中N=3.7，L1=9515 nH，C1=231.8 pF，C2近似為0 pF.

表1 不同n和k下優(yōu)化結(jié)果的帶內(nèi)最低TPG

圖4 優(yōu)化的傳輸功率增益

(a) 匹配網(wǎng)絡(luò)1 (b) 匹配網(wǎng)絡(luò)2

(c) 匹配網(wǎng)絡(luò)3 (d) 匹配網(wǎng)絡(luò)4

(e) 匹配網(wǎng)絡(luò)5圖5 匹配網(wǎng)絡(luò)

上述五個(gè)結(jié)果中n=3，k=1下優(yōu)化產(chǎn)生的TPG曲線較為平坦，并且，對應(yīng)的匹配網(wǎng)絡(luò)4中的變壓器變比為3，比其他四個(gè)電路中的變壓器更容易以傳輸線變壓器[1，11-12]實(shí)現(xiàn)，故選定該結(jié)果作為最終的匹配方案。引入1∶3傳輸線變壓器后匹配網(wǎng)絡(luò)4的整體結(jié)構(gòu)如圖6中虛線框內(nèi)部分所示，內(nèi)虛線框內(nèi)為1∶3傳輸線變壓器。根據(jù)圖6實(shí)際制作了匹配網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)負(fù)載端接天線時(shí)從輸入端口測得的駐波比以實(shí)線表示于圖7中，為方便比較，同時(shí)用虛線給出了理論計(jì)算值(與圖4中的實(shí)線對應(yīng))?？梢钥闯觯?～24 MHz范圍內(nèi)實(shí)際測量的電壓駐波比在2以下，8～13 MHz之間與理論值吻合較好，但13～24 MHz之間與理論值存在偏差，主要是由于實(shí)際傳輸線變壓器的阻抗變換特性并非完全理想引起的。

圖6 最終的匹配網(wǎng)絡(luò)

圖7 匹配網(wǎng)絡(luò)輸入端駐波比測量值

從實(shí)際測得的駐波比計(jì)算，經(jīng)過匹配以后8～24 MHz范圍內(nèi)的阻抗失配損耗在9%以下，平均值為5%，與未匹配時(shí)相比明顯減小了?？梢?，文中給出的設(shè)計(jì)方法有效地解決了該小型短波寬帶天線的阻抗匹配問題。

4. 結(jié) 論

給出的匹配網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)方法克服了基本簡化實(shí)頻方法的局限性，避免了潛在優(yōu)良解的丟失問題，設(shè)計(jì)過程中引入對匹配網(wǎng)絡(luò)物理實(shí)現(xiàn)難易程度的考慮，具有較大的工程實(shí)用價(jià)值。通過一個(gè)實(shí)際小型短波寬頻帶天線阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)和測量，表明該方法是有效和實(shí)用的。

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