基于時間序列分析的彈道目標進動周期提取

饒 彬 屈龍海 肖順平 王雪松

(國防科技大學電子科學與工程學院，湖南 長沙 410073)

1.引 言

中段彈道目標識別問題是當前研究的熱點[1]。在彈道中段，潛在的威脅目標群以大致相同的速度作慣性飛行，并且來襲導彈通常會采用各種先進的突防手段[2]，這給防御系統的識別帶來了極大的技術難題，已經成為制約反導防御系統性能的主要技術瓶頸。目前，在彈道中段，可利用的雷達識別特征有：雷達散射截面積(RCS)、微運動、一維像、二維像、極化等[1]。其中微運動是一類比較重要的特征，例如文獻[3]指出美國MD(導彈防御)系統的識別方法即包含微運動特征。

微運動研究包含一類方法，利用RCS、微多普勒、一維像等均可以提取目標的進動周期。其中RCS是最容易獲取的電磁散射信息，例如文獻[4]、[5]以理論計算公式產生RCS序列研究了彈道目標進動周期的提取方法，但理論公式與實測數據相差甚遠；文獻[6]研究了外場RCS數據的統計特性；文獻[7]通過循環自相關函數(CAUTOC)對進動周期進行估計，該方法能一定程度上改善RCS周期估計的精確性。

縱觀現有的基于RCS的進動周期估計方法，絕大部分假設RCS是平穩序列[4-5，7]，進而采用譜分析方法估計進動周期。在較短的時間段內，將RCS看成是平穩的有一定的合理性；但在較長的時間段內，目標的平動角已經發生根本性變化，RCS序列可能會帶有趨勢項和異方差(方差時變)項，這些干擾項會影響進動周期的提取精度。特別是對于事后分析，往往需要利用較長一段時間甚至整個中段的時間序列對進動周期進行穩健估計，此時再將RCS序列當成是平穩的有失偏頗。本文反演了某型彈道目標的動態全極化RCS序列，仿真表明：其RCS序列具有典型的非平穩性、相關性和擬周期性的特點，利用常規基于平穩序列的譜分析方法的估計效果較差。為此建立了非平穩RCS序列的迭合濾波分解模型進行逐層分解。所提方法能夠有效分離數據的非平穩和平穩分量，而其中的平穩分量可以直接用來提取進動周期。

2.動態RCS時間序列分析

2.1 數據的動態反演

由于母艙分離以及誘餌釋放時的橫向干擾，彈頭在中段飛行過程中將不可避免地產生微運動(進動和自旋)。一般來說，一旦彈體分離，彈頭的進動角和進動頻率是確定的。為了保證彈頭以較小的攻角再入大氣層，進動角θ通常控制在幾度到十幾度，進動頻率f約為幾Hz量級，而進動軸的指向通常被設計為再入時的零攻角方向。

為了獲取RCS數據，本文利用微波暗室靜態測量數據，動態反演了某實際彈頭模型在典型戰情下的全極化RCS回波序列。在微波暗室中對該目標進行了全極化、全方位測量。雷達采用步進頻測量方式，工作頻率范圍為8.75～10.75 GHz，步長20 MHz；目標橫滾角和俯仰角均為0°；方位角范圍0°～180°；方位角步長0.2°；極化狀態為水平極化和垂直極化。

彈道目標動態RCS序列仿真的基本步驟為：戰情設置、彈道建模與仿真、微運動調制、電波入射角解算、靜態測量數據插值、添加觀測噪聲。具體步驟參看文獻[8]。

2.2 數據的初步分析

仿真戰情如下：考慮某近程TBM彈道(射程760 km)，中段總飛行時間為370 s.彈頭進動頻率f=0.5Hz，進動角θ=5°.雷達位于彈道偏向落點的一側，跟蹤數據率為10 Hz.

圖1為目標在中段的RCS時間序列(HH通道為例)。由圖可知RCS序列的時間起伏特性相當劇烈。直觀地感覺到RCS序列的均值和方差均是時變的，初步可以判定該序列是非平穩時間序列。

圖1 目標在中段的RCS時間序列(HH通道)

為了檢驗RCS序列的非平穩性，采用基于逆序數的分段子序列均值和方差進行檢驗[10]。理論上如果序列為平穩的，則分段子序列的均值與方差應無顯著差異。典型戰情下的檢驗結果均拒絕原假設，因此，可以認為彈道目標的RCS序列具有典型的非平穩特性。

圖2(a)給出了RCS序列的自相關函數，由圖可知，目標在50 s內的自相關系數都在0.7以上，反映出一定的長程相關性，因此，RCS序列應具有某種趨勢項。另外，相關函數具有周期震蕩行為，反映出RCS時間序列還具有周期性的特點。周期性主要由目標進動引起，但由于目標RCS和電波入射角并不是一一對應的，因此，RCS的周期性并不是很規則(稱之為擬周期性)，除了含有進動引起的周期分量外，還有很多寄生頻率分量，直接利用功率譜提取進動周期的性能是不佳的(如圖2(b)所示，采用自相關法估計功率譜，0.5 Hz的進動頻率并不明顯)。實際上，由于目標RCS本身為非平穩時間序列，此時再采用基于平穩序列的譜估計方法是不適宜的。

(a) 自相關函數 (b) 歸一化功率譜圖2 目標RCS序列的自相關函數和功率譜

3.非平穩RCS序列的迭合濾波模型

前述分析表明：彈道目標的RCS序列是一均值和方差都時變的非平穩時間序列。且不同戰情條件、不同極化通道、不同階段的數據演化規律均不太一樣。為此，本文根據數據特性進行逐層分解。

3.1 趨勢項建模

目標RCS序列σ(t)具有趨勢項，該趨勢項反映了目標RCS在一段時間內的平均RCS水平。在時間序列分析中，對趨勢項一般通過多項式進行建模[10]。本文利用B樣條函數進行逼近。B樣條基的優點是具有局部支撐特性，而且估計結構更加穩定。

采用r個待估參數進行表征，則時間區間[a，b]上的趨勢項可以表示為

(1)

式中：N為小區間個數；Mm(t)為樣條基函數[10]；τj=a+jh=a+j(b-a)/N.小區間個數N一般靠經驗選取，對式(1)進行最小二乘估計即可得到N+3個估計參數αj.

(a) 趨勢項擬合結果 (b) 剩余項圖3 RCS序列趨勢項建模結果

3.2 波動項建模

h2(t)=κ+G1h2(t-1)+…+Gph2(t-p)+

(2)

式中，e(t)為新息，在GARCH模型中一般認為是平穩白噪聲序列。在本文中由于進動項的存在，e(t)的條件可以放寬，可以認為是一時間相關的零均值平穩序列。h2(t)是條件異方差，p，q為GARCH模型的階數，在實際中應用較多的是GARCH(1，1)模型。

表1 GARCH模型估計結果(HH通道)

(a)

(b)圖4 GARCH模型處理結果

3.3 周期項和噪聲項建模

通過B樣條和GARCH模型雙層建模后，剩余部分為歸一化新息e(t)，包含周期項和噪聲項。至此，原RCS序列的所有非平穩分量已經被分離，而e(t)則保留了目標的進動特征，可以表征為一噪聲污染的緩變正弦過程，即

e(t)=A(t)sin[2πft+φ0]+B(t)ε(t)

(3)

式中：A(t)、B(t)均為隨時間慢變的確定性函數；φ0為初相；ε(t)為Gauss白噪聲過程。

下面證明式(3)等價于一個參數緩變的ARMA(2，2)模型。事實上，將式(3)離散化有

ek=Aksin(2πftk+φ0)+Bkεk

=Aksin(φk)+Bkεk

(4)

式中,φk2πftk+φ0為正弦函數的相位，令 Δφk-1，k=φk-φk-1，則有

ek=Aksin(φk-1+Δφk-1，k)+Bkεk

=Aksin(φk-1)cos(Δφk-1，k)+

Akcos(φk-1)sin(Δφk-1，k)+Bkεk

(5)

注意到

sin(φk-2) =sin(φk-1-Δφk-2，k-1)

=sin(φk-1)cos(Δφk-2，k-1)-

cos(φk-1)sin(Δφk-2，k-1)

(6)

故

cos(φk-1)= sin(φk-1)ctan(Δφk-2，k-1)-

(7)

將式(7)代入式(5)整理可得

ek=Ak[cos(Δφk-1，k)+

ctan(Δφk-2，k-1)sin(Δφk-1，k)]sin(φk-1)-

(8)

注意到

sin(φk-1)=(ek-1-Bk-1εk-1)Ak-1

(9)

sin(φk-2)=(ek-2-Bk-2εk-2)Ak-2

(10)

將式(9)和式(10)入式(8)并整理可得

(11)

令

(12)

(13)

(14)

(15)

則式(11)可重寫為

(16)

(17)

對于實際得到的歸一化新息e(t)而言，受寄生頻率(例如式(3)中頻率很可能是多分量的)和未考慮建模因素的影響，不一定是嚴格的ARMA(2，2)模型，而是多個ARMA模型的疊加，即ARMA(p，q)模型，為此需要根據實測數據對ARMA模型進行定階。目前常用的準則有最小預報誤差(FPE)、最小信息(AIC)及Bayes信息準則(BIC)準則等[10]。本文采用FPE準則對ARMA(p，q)，0≤p，q≤3的情況進行了估計。HH通道定階結果如表2所示。

表2 FPE定階結果

由表2可知，各種情況下的FPE都比較小，說明采用ARMA模型是非常合適的，其中較高階的ARMA(3，3)模型帶來的預測誤差最小，因此是值得選擇的模型。采用非線性最小二乘法對ARMA模型進行估計[10]，得到HH通道的估計參數如下

Φ(B)= 1-1.047B-0.6072B2+

0.831B3

(18)

Θ(B)= 1-1.062B-0.4862B2+

0.701B3

(19)

因為歸一化新息e(t)近似為平穩序列，此時采用任何一種功率譜估計方法都可以較好地提取進動周期。例如可以采用經典譜估計方法或基于ARMA模型的現代譜估計方法對進動頻率f進行較為精確的估計。圖5是歸一化新息e(t)的功率譜估計結果(自相關法)，可見，相比圖2(b)而言，目標真實的進動周期0.5 Hz已經相當明晰了。

圖5 歸一化新息e(t)的功率譜

4.結 論

基于微波暗室靜態測量數據，反演了某型彈道目標在全極化條件下的RCS序列。分析表明這些時間序列具有非平穩性、相關性和擬周期性的特點。為了刻畫RCS序列的時間演化行為，利用B樣條函數、GARCH模型和ARMA模型構造了RCS序列的迭合濾波模型。仿真表明：所提方法能夠分離數據的快變和慢變分量。其研究成果不僅對于微動特征提取，而且對于彈道目標跟蹤和識別評估等領域都是具有重要意義的。

[1] 金 林. 彈道導彈目標識別技術[J]. 現代雷達,2008, 30 (2): 1-5.

JIN Lin. Technique of target recognition for ballistic missile[J]. Modern Radar, 2008,30(2):1-5. (in Chinese)

[2] 李金梁, 王雪松, 李永禎. 正態空間取向箔條云的極化特性[J]. 電波科學學報,2008, 23 (3): 389-395.

LI Jinliang, WANG Xuesong, LI Yongzhen. Polarization characteristics of gaussian oriented chaff clouds[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2008, 23(3):389-395. (in Chinese)

[3] CAMP W W, MAYHAN J T, O'DONNELL R M. Wideband radar for ballistic missile defense and range-Doppler imaging of satellites[J]. Lincoln Laboratory Journal,2000, 12 (2): 267-280.

[4] 劉麗華, 王 壯, 胡衛東,等. 彈道導彈進動周期雷達測量提取方法研究[J].現代雷達, 2008, 30(1): 26-28.

LIU Lihua, WANG Zhuang, HU Weidong, et al. Precession period extraction of ballistic missile based on radar measurement[J]. Modern Radar, 2008, 30(1): 26-28. (in Chinese)

[5] 劉永祥, 黎 湘, 莊釗文. 空間進動特性及在雷達識別中的應用[J]. 自然科學進展, 2004, 14(11):1329-1332.

LIU Yongxiang, LI Xiang, ZHUANG Zhaowen. Characterisrics of space target precession and its application in radar recognition[J]. Progress in Natural Science, 2004, 14(11):1329-1332. (in Chinese)

[6] 曾勇虎, 王國玉, 陳永光,等. 動態雷達目標RCS的統計分析[J]. 電波科學學報,2007, 22 (4): 610-613.

ZENG Yonghu, WANG Guoyu, CHENG Yongguang, el al. Statistical analysis for RCS of dynamic radar target[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2007, 22 (4): 610-613. (in Chinese)

[7] 馮德軍, 劉 進, 丹 梅. 彈道中段目標RCS周期特性及其估計方法[J]. 宇航學報,2008, 29 (1): 362-365.

FENG Dejun, LIU Jin, DAN Mei. RCS periodicity of ballistic target in midcourse and its estimation algorithms[J]. Journal of Astronautics. 2008, 29 (1): 362-365. (in Chinese)

[8] 張居鳳, 馮德軍, 王雪松,等. 雷達目標動態RCS仿真研究[J]. 系統仿真學報,2005, 17 (4): 834-837.

ZHANG Jufeng , FENG Dejun , WANG Xusong , et al. Simulation of dynamic RCS data of radar targets[J]. Journal of System Simulation, 2005, 17 (4): 834-837. (in Chinese)

[9] 王正明, 易東云, 周海銀. 彈道跟蹤數據的校準與評估[M]. 國防科技大學出版社: 長沙,1999.

[10] BOLLERSLEV T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity[J]. Journal of Econometrics. 1986, 31:307-327.