極小極大值法在賦形反射面天線設(shè)計(jì)中應(yīng)用研究

張新剛 吳 剛 鐘 鷹

(中國(guó)空間技術(shù)研究院西安分院，陜西 西安 710100)

1.引 言

為提高天線的效率,減少對(duì)服務(wù)區(qū)相鄰區(qū)域的信號(hào)干擾，在衛(wèi)星直播系統(tǒng)及宇宙通信中要求飛行器天線的輻射方向圖能與服務(wù)區(qū)形狀匹配，此即所謂的賦形。賦形反射面天線應(yīng)用一個(gè)饋源照射一個(gè)表面形狀發(fā)生變化的拋物反射面天線來(lái)產(chǎn)生賦形波束。由于物理結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、重量輕，此類天線在通訊衛(wèi)星、雷達(dá)、偵察和干擾等方面具有廣泛的應(yīng)用前景。

目前有很多的算法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)賦形反射面天線的優(yōu)化設(shè)計(jì)[1-3]，在眾多的算法中Minimax算法在實(shí)際工程應(yīng)用中更加適用[4-5]，因?yàn)榧偃缒軌驅(qū)崿F(xiàn)的話，極小極大值(Minimax)算法能夠保證即使在性能最差的評(píng)估站點(diǎn)所得到的性能也滿足設(shè)計(jì)要求。

本文首先對(duì)計(jì)算反射面天線遠(yuǎn)場(chǎng)時(shí)所用的物理光學(xué)(PO)和物理繞射(PTD)方法進(jìn)行了簡(jiǎn)單介紹，然后在用雅可比-貝塞爾(Jacobi-Bessel)函數(shù)表示反射面形狀的基礎(chǔ)上，以表征反射面形狀的展開系數(shù)作為變量，建立了用Minimax算法對(duì)賦形反射面天線進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，并指出了在求解時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題，最后通過(guò)一個(gè)實(shí)際的設(shè)計(jì)例子來(lái)說(shuō)明此算法在工程應(yīng)用中的有效性和可行性。

2.問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

由于反射面天線尺寸相對(duì)于工作波長(zhǎng)(λ)屬于電大尺寸，一般采用PO法進(jìn)行分析計(jì)算[6-7]，根據(jù)PO可得反射面的遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)表達(dá)式為

(1)

Je=2(n×Hi)

(2)

式中：Hi是饋源在反射面上的入射磁場(chǎng)；Je是反射面表面的感生電流；n是反射面上法線的單位矢量；μ0是自由空間的磁導(dǎo)率；ω是角頻率；k是波數(shù)，k=2π/λ；r是觀察點(diǎn)所在的位置矢量；r=|r|；r0=r/r；r′是場(chǎng)源所在的位置矢量；S′代表反射面表面。

如果要考慮交叉極化增益或遠(yuǎn)區(qū)旁瓣，PO法的計(jì)算精度就不能滿足要求，必須把反射面邊緣的繞射作用考慮進(jìn)去。本文采用物理繞射理論[8-10]對(duì)PO方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行修正，以提高計(jì)算結(jié)果的精度。

(3)

式中：IT和MT分別是反射面邊緣等效電流和磁流；s是散射波單位矢量；t是反射面邊緣切向單位矢量；R=|r-r′|；Z0是自由空間特征阻抗；C是反射面邊緣的閉合曲線。

用Minimax算法對(duì)賦形反射面天線進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的一個(gè)重要前提條件就是在對(duì)反射面建模時(shí)，必須用一組完備的正交基函數(shù)來(lái)表示其形狀。應(yīng)用正交基函數(shù)展開法可以保證反射面具有全局的光滑性，滿足物理光學(xué)的光滑性假設(shè)，減少優(yōu)化過(guò)程中變量的數(shù)目。經(jīng)常用到的有Jacobi-Bessel函數(shù)、Zernike函數(shù)、B-樣條函數(shù)等,可以根據(jù)具體需要加以選擇。

為了實(shí)現(xiàn)特定的設(shè)計(jì)目標(biāo)而調(diào)整的變量就是設(shè)計(jì)參數(shù)，它可能包括反射面的尺寸、焦距、饋源尺寸、反射面的展開系數(shù)等。在對(duì)賦形反射面天線進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，通常把表征反射面形狀的展開系數(shù)作為設(shè)計(jì)參數(shù)。因?yàn)檎归_系數(shù)是影響天線系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的參數(shù)，所以賦形反射面天線的優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)非線性問(wèn)題。

把所有展開系數(shù)合成起來(lái)構(gòu)成N維變量x=(x1,x2,…,xN)T，理論上xi可以取任何值，但是在實(shí)際應(yīng)用中為了滿足特定的加工要求，對(duì)參數(shù)的取值必須加以限制。這一限制可以通過(guò)反射面的表面曲率或者反射面的形變量來(lái)加以體現(xiàn)。

天線的主要性能指標(biāo)有增益、交叉極化隔離度、副瓣電平等。為了獲得高性能的天線，在進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)通常把指標(biāo)中的一項(xiàng)或者幾項(xiàng)作為必須滿足的主要評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)[11-12]。在服務(wù)區(qū)范圍內(nèi)放置M個(gè)觀測(cè)站點(diǎn)來(lái)形成觀測(cè)變量y=(y1,y2,…,yM)T，然后利用反射面天線的散射場(chǎng)模型計(jì)算每個(gè)觀測(cè)站點(diǎn)的電場(chǎng)值，并與設(shè)計(jì)指標(biāo)進(jìn)行對(duì)比構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)F(x,y).當(dāng)以主極化增益和交叉極化隔離度作為主要評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，具體形式如下式所示

F(x,y)= (F1(x,y1),…F1(x,yM),

F2(x,y1),…F2(x,yM))T

(4)

F1(x,yi)=wi[D1(yi)-fco(x,yi)]

1≤i≤M

(5)

式中：wi是第i個(gè)觀測(cè)站點(diǎn)的權(quán)重系數(shù)；D1(yi)、D2(yi)分別是第i個(gè)觀測(cè)站點(diǎn)設(shè)計(jì)要求的主極化電場(chǎng)值和交叉極化隔離度值,fco(x,yi)、fcross(x,yi)分別是設(shè)計(jì)參量為x的情況下第i個(gè)觀測(cè)站點(diǎn)的主極化和交叉極化電場(chǎng)的計(jì)算結(jié)果。

Minimax方法就是通過(guò)優(yōu)化變量x來(lái)使得目標(biāo)函數(shù)F(x，y)的最大值最小化，可以寫成如下的形式

(6)

(7)

即在x的某個(gè)限定范圍內(nèi)，尋找能夠使函數(shù)ψ(x)取值最小的點(diǎn)x*.基于一種限步長(zhǎng)的梯度迭代算法[13]，以Matlab作為編程工具，自編了一個(gè)求解Minimax問(wèn)題的優(yōu)化程序來(lái)進(jìn)行仿真計(jì)算，得到了比較理想的結(jié)果。

另外一個(gè)值得注意的問(wèn)題是由于賦形反射面天線的設(shè)計(jì)問(wèn)題是凹的最優(yōu)化問(wèn)題，梯度算法并不能保證所得到的結(jié)果是全局最優(yōu)解。在實(shí)際設(shè)計(jì)過(guò)程中，為了使設(shè)計(jì)結(jié)果盡可能接近全局最優(yōu)解，必須選擇合適的初始狀態(tài)，防止觀測(cè)站點(diǎn)正好位于副瓣上。

3.設(shè)計(jì)實(shí)例

通過(guò)一個(gè)設(shè)計(jì)實(shí)例來(lái)說(shuō)明Minimax算法在賦形反射面天線設(shè)計(jì)問(wèn)題中的有效性。

此設(shè)計(jì)的目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)波束覆蓋巴西全部領(lǐng)土的單偏置拋物反射面天線，衛(wèi)星位于地球靜止軌道，定點(diǎn)西經(jīng)55°上空。在此設(shè)計(jì)中，把主極化增益和交叉極化隔離度作為主要的評(píng)判指標(biāo)，要求在服務(wù)區(qū)范圍內(nèi)，主極化增益至少要達(dá)到28 dBi，交叉極化隔離度要在21 dB以上，服務(wù)區(qū)形狀及其觀測(cè)站點(diǎn)如同圖1所示。

圖1 服務(wù)區(qū)形狀及其站點(diǎn)位置示意圖

單偏置拋物反射面天線結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，在本次設(shè)計(jì)過(guò)程中，所采用的具體設(shè)計(jì)參數(shù)如下：?jiǎn)纹脪佄锓瓷涿婵趶酵队暗闹睆紻=2a=1.524 m，焦距f=1.506 m，H=1.245 m，θ=42.77° ，饋源采用x極化的 (cosθ)q式饋源，在反射面邊緣有-12 dB(q=14.28)的凋落，設(shè)計(jì)的工作頻率為11.95 GHz.

圖2 單偏置拋物反射面天線結(jié)構(gòu)示意圖

反射面表面用Jacobi-Bessel函數(shù)來(lái)對(duì)反射面表面進(jìn)行展開，具體形式如下

(8)

標(biāo)準(zhǔn)的單偏置拋物反射面天線在遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)等值線圖如圖3所示。從圖中可以看出：在服務(wù)區(qū)域內(nèi)，其輻射能量分布是十分不均勻的，在中心區(qū)域高達(dá)44 dBi，而在邊緣區(qū)域則低于10 dBi.天線的輻射方向圖與服務(wù)區(qū)形狀不匹配，因此，在實(shí)際衛(wèi)星通信系統(tǒng)中不能直接采用此類天線，必須對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

采用Minimax算法對(duì)反射面天線進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)的單偏置拋物面不能選為初始狀態(tài)。從圖3中可以看到：此時(shí)天線的副瓣位于要求的服務(wù)區(qū)內(nèi)。假如某個(gè)采樣站點(diǎn)正好位于副瓣上，用Minimax算法進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，無(wú)論如何調(diào)節(jié)都會(huì)造成此站點(diǎn)增益的降低，優(yōu)化就有可能困于這個(gè)錯(cuò)誤結(jié)果而無(wú)法進(jìn)行下去。因此，必須在標(biāo)準(zhǔn)單偏置拋物面的基礎(chǔ)上疊加一個(gè)形變來(lái)防止上面情況的出現(xiàn)，所疊加型變量的具體計(jì)算公式如下式所示[14]

(9)

x1=(x-x0)cos(α)+(y-y0)sin(α)

y1=-(x-x0)sin(α)+(y-y0)cos(α)

(10)

式中：μ0、ν0是在(μ,ν)坐標(biāo)系下環(huán)繞覆蓋區(qū)域橢圓的中心坐標(biāo)，ω1、ω2是橢圓的半軸長(zhǎng)度；α是橢圓的旋轉(zhuǎn)角度。x0、y0是天線口徑的中心坐標(biāo)，D、f分別是天線的口徑和焦距。

圖3 標(biāo)準(zhǔn)偏置拋物反射面遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)等值線圖(單位:dBi)

仿真中參數(shù)μ0、ν0、ω1、ω2、α的取值分別為-0.00349、-0.00175、0.0995、0.0436、54.46°，在標(biāo)準(zhǔn)單偏置拋物反射面的基礎(chǔ)上疊加此形變量后，得到天線的遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)等值線圖如圖4所示。由圖可見：在服務(wù)區(qū)內(nèi)不存在副瓣，可以避免采樣站點(diǎn)正好位于副瓣上的情況出現(xiàn)，保證優(yōu)化程序順利進(jìn)行。

圖4 標(biāo)準(zhǔn)偏置拋物反射面疊加形變量后遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)等值線圖 (單位:dBi)

在天線的基本參數(shù)和初始狀態(tài)確定以后，用Minimax算法對(duì)反射面表面展開系數(shù)Cnm和Dnm進(jìn)行優(yōu)化，經(jīng)過(guò)150次迭代后，得到如圖5所示的主極化增益等值線圖。如果所疊加的形變量不合適，優(yōu)化開始時(shí)服務(wù)區(qū)內(nèi)存在副瓣，即使經(jīng)過(guò)更多次的迭代，也無(wú)法收斂到較好的結(jié)果。相反，只要保證服務(wù)區(qū)內(nèi)沒有旁瓣，疊加不同的形變量對(duì)算法收斂性無(wú)明顯影響。因此，在對(duì)參數(shù)μ0、ν0、ω1、ω2、α進(jìn)行取值時(shí)，只要使所確定的橢圓基本上能把服務(wù)區(qū)包含在內(nèi)，保證服務(wù)區(qū)沒有旁瓣即可，對(duì)橢圓的具體大小和位置不必過(guò)分關(guān)注。

圖5 優(yōu)化后主極化增益等值線圖 (單位:dBi)

從圖5中可以看到：在巴西所有的領(lǐng)土范圍內(nèi)，主極化增益都在28.5 dBi以上,并且在約30%的區(qū)域內(nèi)高于30 dBi，比設(shè)計(jì)要求的28 dBi至少高出0.5 dB.能量在整個(gè)服務(wù)區(qū)內(nèi)分布比較均勻，與服務(wù)區(qū)形狀匹配。應(yīng)用于衛(wèi)星通信系統(tǒng)中作為發(fā)射天線時(shí)，只需要生產(chǎn)一種型號(hào)的地面接收設(shè)備(能接收到增益為28.5 dBi的信號(hào))，就可以在整個(gè)巴西領(lǐng)土范圍內(nèi)任意一點(diǎn)接收到衛(wèi)星信號(hào)。圖6給出了優(yōu)化后服務(wù)區(qū)的交叉極化隔離度等值線圖，由圖可見：在服務(wù)區(qū)內(nèi)任何一點(diǎn)交叉極化隔離度都在21 dB以上，并且在60%以上的區(qū)域，交叉極化隔離度在25 dB以上。

圖6 優(yōu)化后交叉極化隔離度等值線圖(單位:dB)

優(yōu)化后反射面相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)單偏置拋物面形變量的等值線圖如圖7所示。可見優(yōu)化后反射面形變量在(-0.8λ，0.4λ)范圍內(nèi)，而且沒有發(fā)生突變的區(qū)域，整個(gè)表面比較光滑，滿足實(shí)際加工要求。

圖7 優(yōu)化后反射面形變量等值線圖 (單位:λ)

4.結(jié) 論

為得到覆蓋整個(gè)巴西領(lǐng)土的對(duì)主極化增益和交叉極化隔離度都有嚴(yán)格要求的賦形波束，本文建立了用Minimax算法對(duì)單偏置拋物反射面天線進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行了仿真計(jì)算。從數(shù)值模擬結(jié)果可以看出，在服務(wù)區(qū)內(nèi)主極化增益都在28.5 dBi以上,交叉極化隔離度都在21 dB以上，完全滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)要求。優(yōu)化得到的反射面表面比較光滑，滿足實(shí)際加工要求。優(yōu)化結(jié)果對(duì)工程應(yīng)用具有重要的參考價(jià)值，此優(yōu)化方法還可以用于星載多波束賦形和在軌重構(gòu)方面。

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