表面裂紋疲勞擴展壽命可靠性分析

孫鵬飛，袁杰紅

(國防科技大學指揮軍官基礎教育學院，湖南長沙 410072)

0 引言

隨著結構的大型化和復雜化、使用環境的惡劣(低溫、高壓)、隨機因素的增加，疲勞斷裂已成為工程結構的主要失效形式，據統計［1］:因交變載荷引起的疲勞斷裂事故占機械結構失效總數的95%。疲勞斷裂的危險性表現在結構到達疲勞壽命時無明顯先兆(顯著變形)就會突然斷裂解體。疲勞裂紋的擴展受到材料特性、構件幾何特性、載荷歷程及環境條件等因素控制，一般情況下這些因素均具有一定的隨機性。因此，結構的疲勞壽命也表現出很大的不確定性。為考慮這些不確定性的影響，確保結構的安全，必須采用概率統計分析方法對構件的疲勞裂紋擴展進行可靠性分析。

目前，對于結構疲勞壽命的可靠性分析主要有統計模型法［2-3］和直接 Monte Carlo 法［4］。采用統計模型法考慮的隨機變量個數有限，且需用經驗公式計算應力強度因子，結果精度差，而直接Monte Carlo法雖然不受隨機變量分布形式和個數的影響，但其精度受抽樣次數的制約，且收斂速度較慢。拉丁超立方抽樣(Latin hypercube sampling，LHS)能夠有效改進抽樣效率，用較少的抽樣次數得到較理想的結果。因此，文中利用線彈簧模型法計算應力強度因子幅值，用LHS方法實現隨機抽樣，進行裂紋擴展壽命的可靠性分析。

1 疲勞裂紋擴展壽命計算公式

在疲勞裂紋擴展分析中，Paris公式是應用最普遍的裂紋擴展模型，其表達式為:

式中 da/dN——裂紋擴展速率

a——裂紋擴展長度

N——裂紋擴展壽命(循環次數)

C，n——材料常數

ΔK——應力強度因子幅值

將式(1)積分，可得裂紋擴展壽命的估算公式為:

式中 a0，ac——初始裂紋長度和臨界裂紋長度

對于表面裂紋，利用線彈簧模型計算應力強度因子幅值，式(2)不易直接積分，于是可將裂紋擴展的過程離散成為s個裂紋擴展段，則式(2)可寫成如下的分段形式:

式中 ai——第i段裂紋擴展長度

ΔKi，Ni——與 ai對應的應力強度因子幅值和裂紋擴展壽命

對 N，C和 n隨機性的研究已有很多［5-6］，一般認為C和n分別服從對數正態分布和正態分布，且統計相關;裂紋擴展壽命N服從對數正態分布。

2 線彈簧模型

線彈簧模型法是進行表面裂紋斷裂分析的一種解析方法，最初是由 Rice和 Levy［7］基于 Kirchoff板理論提出的，Delale等［8］代之以 Reissner板理論求解，使得線彈簧模型的解更加精確。之后，袁杰紅等［9-11］將線彈簧模型的理論和適用范圍進行了推廣。用其求解表面裂紋問題具有精度、效率高，適用性強的特點。

如圖1(a)所示，在無窮遠處單位寬度上作用有外力N∞和外力矩M∞半橢圓形表面裂紋(a，c分別為裂紋深和半長)，可以等效地轉化為裝有線彈簧、長度為2c的穿透裂紋(見圖1(b))，而線彈簧的本構關系可由相應位置的平面應變邊裂紋板條所受的廣義力和由于裂紋存在引起的附加廣義位移的關系來確定(見圖1(c))。表面裂紋前緣各點的應力強度因子等于相應位置的邊裂紋板條的應力強度因子。

圖1 表面裂紋線彈簧模型

由積分變換方法，可獲得穿透裂紋平板無量綱形式的性能積分方程［9］為:

E——彈性模量

c——裂紋半長

h——板厚

μ1(t)，μ2(t)——未知位錯密度函數

σM()，(σB()——未知應力

其中:

但是技術變革的速度還是令消費者和環保組織感到震驚，因為他們認為新的基因編輯技術尚未通過充分的審查就已經上市，他們已經請求監管組織進一步加強基因編輯食品安全性審查。

線彈簧本構關系由圖1(c)所示的平面應變邊裂紋板條所受廣義力和由于裂紋存在引起的附加廣義位移之間的關系來確定，其表達式［9］為:

式中 υ——泊松比

［γij］——矩 陣，［γij］ = ［αij］-1，αij=，其中 gi(ξ)為已知函數(i，j=M，B)

如圖1(c)所示，邊裂紋板條應力強度因子的表達式［10］為:

其中，ξ=l(x)/h，l(x)為板條邊裂紋的尖端至橢圓長軸軸線之間的距離(見圖1(c))，σM()，σB()，gM(ξ)和gB(ξ)均如前所指。

將式(5)代入平板性能方程(4)，可得到一Cauchy型奇異積分方程。利用Gauss-Chebyshev方法［12］求解。之后，通過式(4)和(6)就可求得坐標為k(k為Chebyshev多項式零點)點處的線彈簧內力和裂紋前緣對應點的應力強度因子。為能得到裂紋前緣任意點的應力強度因子，可對所得對應k的應力強度因子作多項式擬合。

3 拉丁超立法抽樣

LHS方法由 Mckay等［13］于1979年提出的，是一種多維分層抽樣方法。與直接Monte Carlo法相比，它具有樣本記憶功能，避免了大量反復的抽樣工作，并且能使變量分布的尾部參與抽樣。因此，對均值和方差的估計效果顯著改善。

假設對n維隨機變量 x=(x1，x2，…，xn)T進行N次抽樣，其基本過程為:首先將［0，1］區間劃分為N個互不重疊的區間間隔，在每個子區間內對所有輸入變量按各自概率分布進行獨立的隨機抽樣。為了確保抽取的隨機數屬于各子區間，則第i個子區間內的隨機數為:

式中 U——［0，1］區間內均勻分布的隨機數

Ui——屬于第i個子區間的隨機數

由于存在下列關系式:

因而，每個子區間僅能產生一個隨機數。然后利用反變換法，由N個子區間產生N個服從某一概率密度函數的隨機變量值;再對x1的N個取值隨機地與x2的N個取值組成x1x2的N個配對;然后，這 N個配對再與 x3的 N個取值配對為x1x2x3。依次類推，可得一組N個抽樣的n維變量組值 x1x2…xn。

4 算例及結果分析

4.1 算例1

某天然氣管道由X射線探傷結果發現縱向半橢圓形表面裂紋，原始數據取自文獻［3］。初始裂紋尺寸a0、管道交變應力幅值Δσ和疲勞參數C的統計特性為lga0～N(0.3875，0.122)，lgΔσ ～N(1.8231，0.092)，lgC ～ N(-12.78，0.232)。在裂紋擴展過程中裂紋形狀比a/c=0.1786保持不變，裂紋臨界尺寸 ac=5.5 mm、管壁厚h=8 mm和疲勞參數n=3.72為定值。

應用拉丁超立方抽樣103次，然后進行數據擬合，求得裂紋疲勞擴展壽命的分布規律為lg N～N(3.9459，0.44162)。與文獻［3］的結果對比見表1，可以看出兩者計算結果一致，表明了本文方法的正確性。

表1 算例1計算結果

4.2 算例2

以含表面裂紋、在遠場作用有交變拉伸載荷的16MnR鋼平板為例進行分析。疲勞參數采用文獻［14］中的試驗數據，ln C～N(-22.3849，1.13232)，n～N(4.0080，0.33812)，C和n的相關關系為 ln C=-8.8829-3.3688 n+N(0，0.11822);假定材料的泊松比υ=0.3為定值，在擴展過程中，裂紋的形狀比a/c=0.4保持不變。其他參數的統計特性見表2。

應用拉丁超立法抽樣法進行103次抽樣，表2列出了在5種參數分布情形下裂紋擴展壽命的統計參數。

從表3可以看出，在相同的可靠度下，初始裂紋尺寸和交變應力幅值均值的變化對疲勞壽命的影響遠大于臨界裂紋尺寸和板厚均值的變化;從表4也可以看出，經歷4×106次交變載荷作用后，若初始裂紋尺寸增加1 mm(情形1至情形2)，則可靠度下降53.6%;若交變應力幅值增加10 MPa(情形1至情形5)，則可靠度下降46%。而其他兩種情形的變化對可靠度的影響要遠小于情形2和5。因此，對承受一定交變載荷的構件，嚴格控制初始裂紋尺寸對提高疲勞壽命的可靠性是十分重要的。

表2 算例2參數統計特性及計算結果

表3 給定可靠度下的疲勞壽命

5 結論

(1)將線彈簧模型法與拉丁超立法抽樣法相結合，建立了表面裂紋疲勞擴展壽命可靠性分析的新方法，通過算例驗證了本文方法的正確性;

表4 給定疲勞壽命下的可靠度

(2)對于承受一定交變載荷的構件，初始裂紋尺寸均值的變化對于疲勞壽命可靠性的影響遠大于其他變量;

(3)該方法具有計算程序簡單、編程方便、計算量小等特點，結果精度高，適用于工程中疲勞壽命擴展的可靠性分析。

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