地磁緩變區域的多維特征量匹配方法

陳勵華，王仕成，孫 淵，鄭玉航，劉志國

（第二炮兵工程學院，西安 710025）

近年來，利用地球物理特征實現無源自主導航的方法得到學者們的廣泛關注，地磁導航由于具有無源、隱蔽、自主和低成本等特點已成為當前研究的熱點之一[1-6]。

地磁導航算法主要有地磁濾波和地磁匹配兩類。其中地磁濾波研究較為成熟，而地磁匹配的研究尚處于初始階段[1]。地磁匹配的基本原理是通過求取地磁場實時測量序列與地磁基準圖之間的相關性度量指標最優來獲得對航跡的估計，為準確定位，要求匹配區域地磁場特異性突出，相應的地磁場變化應較為顯著。在地磁場變化平緩、等值線平坦的區域，采用傳統的地磁匹配算法，將無法獲得較高的匹配概率和精度，甚至匹配失敗。

地磁場矢量可以分解為七個基本要素，除此之外還有梯度、梯度張量等多個衍生要素。可以利用地磁場的這種高維特性描述對匹配算法進行改進，以多個要素作為特征量參與匹配計算，利用冗余信息去除誤匹配，與傳統單一特征量匹配相比，多特征量融合有利于提高定位精度。文獻[7]用線性方程擬合三個要素的地磁場變化關系，通過求解線性方程組解決區域范圍內地磁場匹配定位問題。文獻[8]將多個要素各自匹配位置根據貢獻權重，經過加權計算作為最終定位結果。這兩種方法都為多特征量融合提供了解決方案，但也都有明顯的應用限制，如前者要求地磁場線性近似化程度比較高，后者需要單特征量匹配結果具有較高的可信度。

本文針對地磁平緩地區的匹配問題提出一種多維特征量匹配的改進算法，通過建立多特征量最小距離度量指標，同時利用多個地磁場特征量進行相關性運算，在多維基準圖中搜索指標最優值。仿真結果表明，本文提出的多特征量匹配算法在地磁平緩區域也可顯著提高匹配性能，是理想的高精度定位方法。與現有多特征匹配相比，該方法對地磁場環境幾乎沒有使用限制，適應能力更強。

1 基于相關性度量的地磁匹配

1.1 地磁場的多維描述

地磁場是一個矢量場，空間中某一點的地磁場可以分解為7個地磁要素，其定義與方向如圖1所示。圖中F為總磁場強度，D為磁偏角，I為傾角，H為水平強度，Z為垂直強度，X和Y分別為H的北向和東向分量。這7個地磁要素之間的關系可用下式表示：

若要描述空間某點地磁場強度的大小和方向，以上 7個特征量中至少需要知道三個獨立特征量的數值，這三個獨立特征量被稱為地磁三要素。而在匹配定位中，并不需要確切得到地磁場的矢量信息，可選任意一個要素作為特征量完成相關性度量。

1.2 相關性度量

地磁匹配與地形匹配相似，基準圖為區域地磁場信息的二維圖，實時圖是航跡上的一維地磁場序列，匹配是在基準圖的所有可能子圖中尋找與實時圖一致的地磁序列。由于磁傳感器在實時圖測量過程中存在著測量噪聲、變換誤差和其它誤差因素，因此很難找到與實時圖完全一致的基準子序列，匹配通過對實時圖與所有基準子序列之間的相似程度度量完成。在地磁匹配導航中，度量實時圖與基準子圖相似程度的基本方法是相關性函數。

相關性函數指標包括距離與相似性兩類，前者如平均絕對差（MAD）、平均平方差（MSD）等，后者如積相關（Prod）和歸一化的積相關（Nprod）等，度量中要求距離指標最小，而相似性指標最大。

1.3 地磁匹配方法的隱含條件

地磁匹配通過遍歷基準圖搜索指標函數最值，因此可獲得全局最優解。匹配計算中，為了減小搜索空間，用于度量的基準子圖只在慣性導航系統（INS，Inertial Navigation System）指示航跡的平行航跡中選取。這表示地磁匹配無法脫離INS單獨使用，只能作為慣性系統的輔助導航方式。搜索航跡與INS指示航跡形狀相同的隱含假設是INS定位誤差大小不變，而指示航向誤差為零。當INS航向誤差較小時，這種假設是合理的。

2 多維特征量最小距離度量匹配

利用三軸磁強計可以測量出地磁場的7個要素，本文提出的多維地磁匹配采用其中兩個或兩個以上的地磁要素作為匹配特征量，建立度量指標，在相應的多維基準圖中搜索指標最優的位置。

以MAD度量指標為例。單一特征量匹配的情況下，預先存儲在機載計算機中的地磁基準圖數據為地磁場某一要素的幅值信息，表示為ML×NL的平面網格，Tm(u,v)為基準圖坐標(u,v)處的值。載體運行中，沿著航跡實際測量地磁場相應要素的數據序列為T(k) ，k=1,… ,N，構成實時圖，其中N為匹配序列長度。MAD距離度量最優函數計算如下：

在所有與INS指示航跡平行的基準子圖中搜索以上指標函數最小值所對應的(u(k),v(k) )，作為對真實航跡的估計。匹配建立在對地磁場輪廓的識別之上，因此以上算法稱作 MAGCOM(Magnetic Contour Matching)，是目前地磁匹配的基本算法。理想情況下，實時圖與基準圖之間不存在誤差，真實航跡必然指標最優，但指標最優的航跡并非一定是真實航跡，因為最優航跡可能并不唯一，這與地磁場本身的地理特異性是否突出、磁異常信息的豐富程度有關，因此從原理上看，匹配在地磁場平緩變化區域容易產生誤匹配。實際匹配時，由于存在實測條件與基準圖制備條件不一致、傳感器誤差等因素造成的噪聲，更增加了誤匹配的可能性。

采用m個要素進行匹配時，每個要素作為特征量根據式（1）均可計算MAD距離度量指標。估計航跡應滿足每個要素的度量指標達到最優，即：

在估計航跡上m個指標di(u,v)都為所對應的最小值，可見這是個多目標優化問題。

理想情況下，估計航跡恰好為真實航跡時，能夠實現各個子目標同時最優。但由于各個要素都不同程度地存在隨機噪聲，以上子目標難以匹配到完全相同的航跡上，因此一般情況下式（2）的優化問題難以找到絕對最優解。

求解時可將多目標問題轉化到與之關聯的單目標問題：

式中，iλ為權系數，權系數是否歸一化不影響匹配結果，因此不作約束。權系數大小取決于各維地磁要素匹配定位的可信度。可信度能通過匹配概率體現，可對式（3）權系數賦值如下：

其中pi為各單一特征量的匹配概率，即某一要素匹配概率越高，對該特征量越重視。但某一區域單一特征量匹配概率往往與噪聲密切相關，難以預先獲知，因此需要給出更為實用的賦權方法。

匹配概率與地磁匹配區域的適配性有很大關系。所謂適配性是指特定區域地磁匹配提供INS導航位置修正信息的能力，由該區域地磁場的宏觀起伏特征和微觀破碎特征所決定，可以用一系列特征參數描述，如標準差、信息熵、分形維數、累加梯度等。即使同一區域，不同要素的適配性并不相同，可利用適配性參數得到權系數。

我們利用粗糙集理論對主要的適配性參數進行篩選[9]，再利用層次分析法（AHP）對適配性影響較大的特征參數——標準差、分形維數、累加梯度、粗糙度進行總體排序[10]，發現影響最顯著的是分形維數，其次是標準差，得到用于評價適配性的綜合指標：

式中，I(i)表示第i個要素的綜合評價指標，1r表示分形維數，r2表示標準差。區域地磁場的標準差和分形維數越大，綜合適配性指標越大，第i個要素在該區域匹配就易獲得較高匹配概率，該要素在式（3）中權系數相應越大，因此將權系數賦值為：

3 仿真實驗

根據地磁場自身特點并結合匹配中各個環節產生的誤差來源，基準圖和實時圖之間的誤差的最主要來源是地磁場短期變化和傳感器噪聲。前者經過補償后的剩余誤差可用分布于[-a/ 2,a/2]的均勻隨機噪聲描述，后者可用均值為0，方差σ2=b的高斯噪聲描述[9]。

為驗證多特征量匹配性能，對X、Y、Z三要素單獨匹配和按照式（3）（4）對這個三要素同時最小距離度量匹配進行仿真。三要素基準圖網格數目均為60×60，網格間距均為100 m×100 m。根據文獻[9]地磁場信息熵定義計算各要素的熵均在11.8135附近，接近該區域熵的最大值11.8138，表明地磁場變化非常平滑，缺少起伏信息，是不適宜MAGCOM計算的地理區域。

匹配序列長度設置為N=10，實測序列兩采樣點間隔100 m，設置噪聲參數a=10，b=10，噪聲單位為nT。進行100次匹配的仿真結果如圖2所示。圖中表示方法說明如下：在MAGCOM假設條件下，認為INS無航向誤差，匹配子圖與INS航跡平行，因此忽略航跡形狀，將匹配的結果起點與真實航跡起點間的距離作為匹配誤差用于衡量定位性能。圖中深色*標志代表真實路徑起點所在位置，淺色?標志則代表匹配航跡起點所在位置，這樣的圖表示更能體現在隨機噪聲作用下多次匹配結果的分散程度。

由圖2可看出地磁緩變區域中，單一特征量匹配結果都造成目標函數不同程度地落入多個虛假定位點，匹配結果較為分散，以致匹配成功概率較低。而同時采用三個特征量計算度量指標，匹配結果都在期望解附近，這表示該方法避免了單特征量匹配中出現的虛定位，從而大幅度提高了匹配精度和匹配概率。文中以平均定位誤差半徑作為匹配精度指標，平均定位誤差半徑定義為多次匹配后匹配點平均值與真實位置的距離。定義正確匹配為匹配結果與真實位置之間誤差不超過網格邊長的 2倍，即141.4 m。正確匹配之外的所有定位點稱為虛定位點。相應的完全匹配概率為正確匹配次數與總匹配次數的比值。

單特征量匹配和多維特征量匹配的精度和匹配概率數據對比如表1所示。

圖 2 不同特征量匹配的結果Fig.2 Matching results of various feature elements

表1 不同特征量匹配概率與誤差對比Tab.1 Comparison of matching probability and error in various elements matching

4 特征量維數影響分析

多維特征量匹配定位應選擇多少維地磁要素參與匹配最適宜？以下將通過仿真實驗給出相關結論，為多特征量匹配問題提供指導。

仿真實驗重點關注特征量數目，因此在實驗設計中，以現有地磁要素組合為基礎，觀察每增加一個新的特征量帶來的性能指標變化。地磁場包含兩類特征量：2個角度與5個強度幅度。二者量綱不同，距離度量計算必須考慮尺度變換。對尺度變換本文未作分析，因此仿真實驗僅針對5個強度幅值要素進行。

在不同維數m條件下，選擇特征量{Z}、{Y,Z}，{X,Y,Z}、{X,Y,Z,F}、{X,Y,Z,F,H}，以完全匹配概率和平均定位誤差半徑來衡量匹配結果的優劣。仿真區域、噪聲條件、匹配長度同上，完成100次匹配，根據結果建立維數與匹配概率、定位誤差的關系曲線如圖3所示。

由圖3可以看出，匹配性能隨著匹配特征量維數的增加提高，表現為匹配概率總體呈現上升，同時定位誤差下降。另一方面，當匹配特征量從一個增長為二個時，帶來的匹配性能的提高最為顯著，此后隨維數增加，匹配概率提高的趨勢逐漸緩慢，當特征量維數增加到5，匹配概率、精度與4維相比并未提高。表明維數增大到一定程度，難以通過增加維數來提高匹配性能。

圖3 特征量維數對匹配概率和誤差的影響Fig.3 Matching probability and accuracy vs.dimension of elements

在相同匹配區域與匹配長度下，特征量個數的增加會造成計算量增長。這意味著多特征量匹配一定程度上是以增加計算量為代價獲得匹配性能改善。綜合考慮計算量與匹配性能兩方面影響，最小距離度量的特征量維數選擇2～3為宜。

5 結 論

本文利用空間地磁場的向量特點，選用多個地磁場要素作特征量對現有地磁匹配方法進行改進，提出了多目標最小距離度量的信息融合方法。仿真試驗表明，多維地磁場要素參與匹配過程，可濾除單特征量誤匹配點，更易獲得良好的精度和匹配概率，即使在地磁場變化平緩的區域也能得到令人滿意的定位性能。

多特征量匹配充分利用地磁場信息，定位精度和匹配概率表現優異，而且對地磁場選區要求不高，擴展了地磁匹配的適用范圍，為地磁場導航工程化提供了算法支持。該方法的不足之處在于匹配中用到多個地磁要素信息，引起基準圖制備工作量的增加，還可能在實時測量中由于坐標軸變換引起新的誤差。

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